logo

TechCodeview

Newton Raphsonova metoda

Newton Raphsonova metoda nebo Newtonova metoda je výkonná technika pro numerické řešení rovnic. Nejčastěji se používá pro aproximaci kořenů funkcí s reálnou hodnotou. Metodu Newton Rapson vyvinuli Isaac Newton a Joseph Raphson, odtud název Newton Rapson Method.

Metoda Newton Raphson zahrnuje opakované zpřesňování počátečního odhadu, aby se sblížil k požadovanému kořenu. Tato metoda však není účinná pro výpočet kořenů polynomů nebo rovnic s vyššími stupni, ale v případě rovnic malého stupně tato metoda poskytuje velmi rychlé výsledky. V tomto článku se seznámíme s Newton Raphson Method a kroky k výpočtu kořenů pomocí této metody.



Obsah

Co je Newton Raphsonova metoda?

Newton-Raphsonova metoda, známá také jako Newtonova metoda, je iterativní numerická metoda používaná k nalezení kořenů funkce s reálnou hodnotou. Tento vzorec je pojmenován po Siru Isaacu Newtonovi a Josephu Raphsonovi, protože se nezávisle na jeho vývoji podíleli. Newton Raphsonova metoda nebo Newtonova metoda je algoritmus pro aproximaci kořenů nul reálně hodnotných funkcí pomocí odhadu pro první iteraci (x0) a poté aproximací další iterace (x1), který je blízko odmocnin, pomocí následujícího vzorce.

X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )



kde,

  • X 0 je počáteční hodnota x,
  • f(x 0 ) je hodnota rovnice na počáteční hodnotě a
  • f'(x 0 ) je hodnota derivace prvního řádu rovnice nebo funkce na počáteční hodnotě x0.

Poznámka: f'(x0) by neměla být nula, jinak se zlomková část vzorce změní na nekonečno, což znamená, že f(x) by neměla být konstantní funkce.

Vzorec metody Newton Raphson

V obecné podobě je vzorec Newton-Raphsonovy metody zapsán takto:



X n = x n-1 – f(x n-1 )/f'(x n-1 )

Kde,

jak číst soubor json
  • X n-1 je odhadovaný (n-1)čtkořen funkce,
  • f(x n-1 ) je hodnota rovnice v (n-1)čtodhadovaný kořen a
  • f'(x n-1 ) je hodnota derivace prvního řádu rovnice nebo funkce v xn-1.

Výpočet metodou Newton Raphson

Předpokládejme rovnici nebo funkce, jejichž kořeny mají být vypočteny jako f(x) = 0.

Za účelem prokázání platnosti Newton Raphsonovy metody jsou dodržovány následující kroky:

Krok 1: Nakreslete graf f(x) pro různé hodnoty x, jak je znázorněno níže:

Výpočet metodou Newton Raphson

Krok 2: K f(x) v x je nakreslena tečna0. Toto je počáteční hodnota.

Krok 3: Tato tečna bude protínat osu X v nějakém pevném bodě (x1,0), pokud první derivace f(x) není nula, tj. f'(x 0 ) ≠ 0.

Krok 4: Protože tato metoda předpokládá iteraci kořenů, toto x1se považuje za další aproximaci kořene.

Krok 5: Nyní se opakují kroky 2 až 4, dokud nedosáhneme skutečného kořene x*.

Nyní víme, že rovnice průsečíku sklonu libovolné přímky je reprezentována jako y = mx + c,

Kde m je sklon přímky a C je průsečík x přímky.

Pomocí stejného vzorce dostaneme

y = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (x − x 0 )

Zde f(x0) představuje c a f'(x0) představuje sklon tečny m. Protože tato rovnice platí pro každou hodnotu x, musí platit i pro x1. Tedy nahrazením x x1a když rovnici přirovnáme k nule, protože potřebujeme vypočítat kořeny, dostaneme:

0 = f(x 0 ) + f'(x 0 ) (X 1 − x 0 )

X 1 = x 0 – f(x 0 )/f'(x 0 )

Což je vzorec Newton Raphsonovy metody.

Metoda Newtona Raphsona byla tedy matematicky prokázána a přijata jako platná.

Konvergence Newton Raphsonovy metody

Newton-Raphsonova metoda má tendenci konvergovat, pokud platí následující podmínka:

|f(x).f(x)| <|f'(x)|2

To znamená, že metoda konverguje, když modul součinu hodnoty funkce v x a druhé derivace funkce v x je menší než druhá mocnina modulo první derivace funkce v x. Newton-Raphsonova metoda má konvergenci řádu 2, což znamená, že má kvadratickou konvergenci.

Poznámka:

Newton Raphsonova metoda není platná, pokud je první derivace funkce 0, což znamená f'(x) = 0. Je to možné pouze tehdy, když je daná funkce konstantní funkcí.

  • Newtonova metoda hledání kořenů
  • Rozdíl mezi Newton Raphsonovou metodou a běžnou Falsi metodou
  • Rozdíl mezi metodou půlení a metodou Newton Raphson
  • Algoritmus hledání kořene

Příklad metody Newton Raphson

Podívejme se na následující příklad, abychom se dozvěděli více o procesu hledání kořene funkce s reálnou hodnotou.

Příklad: Pro počáteční hodnotu x 0 = 3, aproximujte kořen z f(x)=x 3 +3x+1.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x0= 3 a f(x) = x3+3x+1

f'(x) = 3x2+3

f'(x0) = 3(9) + 3 = 30

f(x0) = f(3) = 27 + 3 (3) + 1 = 37

Použití Newton Raphsonovy metody:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

= 3 – 37/30

= 1,767

Vyřešené problémy Newton Raphsonovy metody

Úloha 1: Pro počáteční hodnotu x 0 = 1, aproximujte kořen z f(x)=x 2 −5x+1.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x0= 1 a f(x) = x2-5x+1

f'(x) = 2x-5

f'(x0) = 2 – 5 = -3

f(x0) = f(1) = 1 – 5 + 1 = -3

Použití Newton Raphsonovy metody:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 1 – (-3)/-3

⇒ x1= 1-1

⇒ x1= 0

Úloha 2: Pro počáteční hodnotu x 0 = 2, aproximujte kořen z f(x)=x 3 −6x+1.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x0= 2 a f(x) = x3-6x+1

f'(x) = 3x2– 6

f'(x0) = 3(4) – 6 = 6

f(x0) = f(2) = 8 – 12 + 1 = -3

Použití Newton Raphsonovy metody:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – (-3)/6

formát řetězce java

⇒ x1= 2 + 1/2

⇒ x1= 5/2 = 2,5

Úloha 3: Pro počáteční hodnotu x 0 = 3, aproximujte kořen z f(x)=x 2 −3.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x0= 3 a f(x) = x2-3

f'(x) = 2x

f'(x0) = 6

f(x0) = f(3) = 9 – 3 = 6

Použití Newton Raphsonovy metody:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 6/6

⇒ x1= 2

Úloha 4: Najděte kořen rovnice f(x) = x 3 – 3 = 0, pokud je počáteční hodnota 2.

Řešení:

Dané x0= 2 a f(x) = x3- 3

f'(x) = 3x2

f'(x0= 2) = 3 × 4 = 12

f(x0) = 8 – 3 = 5

Použití Newton Raphsonovy metody:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 2 – 5/12

⇒ x1= 1,583

Opět použijte metodu Newton Raphson:

X2= 1,4544

X3= 1,4424

X4= 1,4422

Kořen rovnice je tedy přibližně x = 1,442.

Úloha 5: Najděte kořen rovnice f(x) = x 3 – 5x + 3 = 0, pokud je počáteční hodnota 3.

Řešení:

Dané x0= 3 a f(x) = x3– 5x + 3 = 0

f'(x) = 3x2- 5

f'(x0= 3) = 3 × 9 – 5 = 22

f(x0= 3) = 27 – 15 + 3 = 15

soubor otevřít v java

Použití Newton Raphsonovy metody:

X1= x0– f(x0)/f'(x0)

⇒ x1= 3 – 15/22

⇒ x1= 2,3181

Opět použijte metodu Newton Raphson:

X2= 1,9705

X3= 1,8504

X4= 1,8345

X5= 1,8342

Kořen rovnice je tedy přibližně x = 1,834.

Nejčastější dotazy k metodě Newton Raphson

Q1: Definujte metodu Newton Raphson.

Odpovědět:

Newton Raphsonova metoda je numerická metoda pro aproximaci kořenů jakékoli dané funkce s reálnou hodnotou. V této metodě jsme použili různé iterace k aproximaci kořenů a čím vyšší počet iterací, tím menší chyba v hodnotě vypočítaného kořene.

Q2: Jaká je výhoda Newton Raphsonovy metody?

Odpovědět:

Newton Raphsonova metoda má tu výhodu, že nám umožňuje velmi efektivně a rychle odhadnout kořeny rovnice s malým stupněm.

Q3: Jaká je nevýhoda Newton Raphsonovy metody?

Odpovědět:

Nevýhodou Newton Raphsonovy metody je, že má tendenci být velmi složitá, když je stupeň polynomu velmi velký.

Q4: Uveďte jakoukoli reálnou aplikaci Newton Raphsonovy metody.

Odpovědět:

Metoda Newton Raphson se používá k analýze proudění vody ve vodovodních sítích v reálném životě.

Q5: Na jaké teorii je založena Newton-Raphsonova metoda?

Odpovědět:

Newton Raphsonova metoda je založena na teorii počtu a tečny ke křivce.