Podobné trojúhelníky jsou trojúhelníky se stejným tvarem, ale mohou mít různé velikosti. Podobné trojúhelníky mají odpovídající strany ve vzájemném poměru a odpovídající úhly se navzájem rovnají. Podobné trojúhelníky se liší od shodných trojúhelníků. Dva shodné obrazce jsou vždy podobné, ale dva podobné obrazce se nemusí shodovat.

Dva trojúhelníky jsou považovány za podobné, když se jejich odpovídající úhly shodují a jejich strany jsou úměrné. To znamená, že podobné trojúhelníky mají stejný tvar, i když se jejich velikosti mohou lišit. Na druhé straně jsou trojúhelníky definovány jako shodné, když nejen sdílejí stejný tvar, ale mají také odpovídající strany, které jsou stejné délky.

Nyní se pojďme dozvědět více o podobné trojúhelníky a jejich vlastnosti s řešenými příklady a další podrobně v tomto článku.

Obsah

• Co jsou podobné trojúhelníky?
• Podobné definice trojúhelníků
• Podobné příklady trojúhelníků
• Základní věta o proporcionalitě (Thalesova věta)
• Podobná kritéria pro trojúhelníky
• Podobné Triangles Formule
• Vzorec pro podobné trojúhelníky v geometrii
• Podobná pravidla trojúhelníku
• Úhel-úhel (AA) nebo AAA Věta podobnosti
• Side-Angle-Side neboli Věta podobnosti SAS
• Side-Side-Side neboli Věta podobnosti SSS
• Jak najít podobné trojúhelníky?
• Oblast podobných trojúhelníků – věta
• Rozdíl mezi podobnými trojúhelníky a shodnými trojúhelníky
• Aplikace podobných trojúhelníků
• Důležité poznámky k podobným trojúhelníkům
• Vyřešené otázky k podobným trojúhelníkům
• Cvičné otázky Podobné trojúhelníky

Co jsou podobné Trojúhelníky?

Podobné trojúhelníky jsou trojúhelníky, které se navzájem podobají, ale jejich velikosti se mohou lišit. Podobné předměty mají stejný tvar, ale různé velikosti. To znamená, že podobné tvary by se při zvětšení nebo zmenšení měly překrývat jeden přes druhý. Tato vlastnost podobných tvarů je známá jako Podobnost .

Existují tři podobné věty o trojúhelníku:

• AA (nebo AAA) nebo Věta o podobnosti úhlu a úhlu
• SAS nebo Věta o podobnosti Side-Angle-Side
• SSS nebo Věta o podobnosti Side-Side-Side

Podobné definice trojúhelníků

Dva trojúhelníky se nazývají podobné trojúhelníky, pokud jsou jejich odpovídající úhly stejné a odpovídající strany jsou ve stejném poměru. Odpovídající úhly dvou podobných trojúhelníků musí být stejné. Podobné trojúhelníky mohou mít různé délky stran trojúhelníku, ale poměr délek odpovídajících stran musí být stejný.

Když jsou dva trojúhelníky podobné, znamená to, že:

vstupní řetězec java

• Všechny dvojice odpovídajících úhlů v trojúhelníku jsou stejné.
• Všechny dvojice odpovídajících si stran trojúhelníku jsou úměrné.

Symbol ∼ se používá k vyjádření podobnosti mezi podobnými trojúhelníky. Takže když jsou dva trojúhelníky podobné, zapíšeme to jako △ABC ∼ △DEF.

Podobné příklady trojúhelníků

Různé příklady podobných trojúhelníků jsou:

• Pokud vezmeme dva trojúhelníky, které mají strany v poměru, pak jsou to podobné trojúhelníky.
• Vlajkové stožáry a jejich stíny představují podobné trojúhelníky.

Trojúhelníky zobrazené na obrázku níže jsou podobné a představujeme je jako, △ABC ∼ △PQR.

Základní věta o proporcionalitě (Thalesova věta)

Základní věta o proporcionalitě, známá také jako Thalesova věta, je základní koncept v geometrii, který souvisí s podobností trojúhelníků. Uvádí, že pokud je čára nakreslena rovnoběžně s jednou stranou trojúhelníku, proporcionálně rozděluje další dvě strany. Jednodušeji řečeno, pokud přímka rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku protíná další dvě strany, rozděluje tyto strany proporcionálně.

Matematicky, pokud je přímka DE nakreslena rovnoběžně s jednou stranou trojúhelníku ABC, protínající strany AB a AC v bodech D a E, pak podle Základní věty o proporcionalitě:

BD/DA = CE/HER

Tato věta je důsledkem podobnosti trojúhelníků tvořených rovnoběžkou a stranami původního trojúhelníku. Konkrétně trojúhelníky ADE a ABC, stejně jako trojúhelníky ADC a AEB, jsou podobné, protože odpovídající úhly jsou stejné. V důsledku toho jsou poměry odpovídajících stran v podobných trojúhelníkech stejné, což vede ke vztahu proporcionality popsanému Základní větou o proporcionalitě.

Základní věta o proporcionalitě je široce používána v geometrii a trigonometrii k řešení různých problémů zahrnujících rovnoběžky a trojúhelníky. Slouží jako základní princip pro pochopení vlastností podobných trojúhelníků a vztahů mezi jejich odpovídajícími stranami a úhly. Navíc tvoří základ pro pokročilejší koncepty v geometrii, jako je věta o rovnoběžných přímkách a aplikace v různých geometrických konstrukcích a důkazech.

Podobná kritéria pro trojúhelníky

Pokud jsou dva trojúhelníky podobné, musí splňovat jedno z následujících pravidel:

• Dvě dvojice odpovídajících úhlů jsou stejné. (pravidlo AA)
• Tři páry odpovídajících stran jsou proporcionální. (pravidlo SSS)
• Dva páry odpovídajících stran jsou proporcionální a odpovídající úhly mezi nimi jsou stejné. (pravidlo SAS)

Přečtěte si podrobně: Kritéria pro podobné trojúhelníky

Podobné Triangles Formule

V minulé části jsme studovali dvě podmínky, pomocí kterých můžeme ověřit, zda jsou dané trojúhelníky podobné nebo ne. Podmínky jsou, když jsou dva trojúhelníky podobné; jejich odpovídající úhly jsou stejné nebo odpovídající strany jsou v poměru. Pomocí obou podmínek můžeme dokázat, že △PQR a △XYZ jsou podobné z následující sady podobných trojúhelníkových vzorců.

Vzorec pro podobné trojúhelníky v geometrii

V △PQR a △XYZ, pokud,

1. ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, ∠R = ∠Z
2. PQ/XY = QR/YZ = RP/ZX

Výše uvedené dva trojúhelníky jsou podobné, tj. △PQR ∼ △XYZ.

Podobná pravidla trojúhelníku

Věty o podobnosti nám pomáhají zjistit, zda jsou tyto dva trojúhelníky podobné nebo ne. Když nemáme míru úhlů nebo stran trojúhelníků, použijeme věty o podobnosti.

Existují tři hlavní typy pravidel podobnosti, jak je uvedeno níže:

• AA (nebo AAA) nebo Věta o podobnosti úhlu a úhlu
• SAS nebo Věta o podobnosti Side-Angle-Side
• SSS nebo Věta o podobnosti Side-Side-Side

Úhel-úhel (AA) nebo AAA Věta podobnosti

Kritérium podobnosti AA říká, že pokud jsou libovolné dva úhly v trojúhelníku rovny libovolným dvěma úhlům jiného trojúhelníku, pak musí jít o podobné trojúhelníky. Pravidlo podobnosti AA lze snadno použít, když známe pouze míru úhlů a nemáme ponětí o délce stran trojúhelníku.

Na obrázku níže, pokud je známo, že ∠B = ∠G a ∠C = ∠F:

A můžeme říci, že podle kritéria podobnosti AA jsou △ABC a △EGF podobné nebo △ABC ∼ △EGF.

⇒AB/EG = BC/GF = AC/EF a ∠A = ∠E.

Side-Angle-Side neboli Věta podobnosti SAS

Podle SAS teorému podobnosti, pokud jsou libovolné dvě strany prvního trojúhelníku v přesném poměru ke dvěma stranám druhého trojúhelníku spolu s úhlem, který tvoří tyto dvě strany jednotlivých trojúhelníků, jsou stejné, pak musí jít o podobné trojúhelníky. Toto pravidlo se obecně používá, když známe pouze míru dvou stran a úhel mezi těmito dvěma stranami v obou trojúhelníkech.

Na obrázku níže, pokud je známo, že AB/DE = AC/DF a ∠A = ∠D

A můžeme říci, že podle kritéria podobnosti SAS jsou △ABC a △DEF podobné nebo △ABC ∼ △DEF.

Side-Side-Side neboli Věta podobnosti SSS

Podle SSS teorému podobnosti budou dva trojúhelníky navzájem podobné, pokud je odpovídající poměr všech stran těchto dvou trojúhelníků stejný. Toto kritérium se běžně používá, když máme pouze míru stran trojúhelníku a máme méně informací o úhlech trojúhelníku.

Na obrázku níže, pokud je známo, že PQ/ED = PR/EF = QR/DF

A můžeme říci, že podle kritéria podobnosti SSS jsou △PQR a △EDF podobné nebo △PQR ∼ △EDF.

Podobné vlastnosti trojúhelníků

Podobné trojúhelníky mají různé vlastnosti, které se široce používají pro řešení různých geometrických problémů. Některé ze společných vlastností podobného trojúhelníku:

• Tvar podobných trojúhelníků je pevný, ale jejich velikosti se mohou lišit.
• Odpovídající úhly podobných trojúhelníků jsou stejné.
• Odpovídající strany podobných trojúhelníků jsou v běžných poměrech.
• Poměr obsahu podobných trojúhelníků se rovná druhé mocnině poměru jejich odpovídajících stran.

Jak najít podobné trojúhelníky?

Dva dané trojúhelníky lze dokázat jako podobné trojúhelníky pomocí výše uvedených vět. Můžeme postupovat podle níže uvedených kroků a zkontrolovat, zda jsou dané trojúhelníky podobné nebo ne:

Krok 1: Poznamenejte si dané rozměry trojúhelníků (odpovídající strany nebo odpovídající úhly).

Krok 2: Zkontrolujte, zda tyto rozměry splňují některou z podmínek pro podobné věty o trojúhelníku (AA, SSS, SAS).

Krok 3 : Dané trojúhelníky, pokud splňují některou z vět o podobnosti, mohou být reprezentovány pomocí ∼ k označení podobnosti.

To lze lépe pochopit pomocí následujícího příkladu:

Příklad: Zkontrolujte, zda jsou △ABC a △PQR podobné trojúhelníky nebo ne pomocí zadaných údajů: ∠A = 65°, ∠B = 70º a ∠P = 70°, ∠R = 45°.

Pomocí daného měření úhlů nemůžeme usoudit, zda dané trojúhelníky splňují kritérium podobnosti AA či nikoli. Najdeme míru třetího úhlu a vyhodnotíme ji.

Pomocí vlastnosti úhlového součtu trojúhelníku víme, že ∠C v △ABC = 180° – (∠A + ∠B) = 180° – 135° = 45°

parametr ve skriptu shellu

Podobně ∠Q v △PQR = 180° – (∠P + ∠R) = 180° – 115° = 65°

Můžeme tedy dojít k závěru, že v △ABC a △PQR,

∠A = ∠Q, ∠B = ∠P a ∠C = R

△ABC ∼ △QPR

Oblast podobných trojúhelníků – věta

Podobná věta o ploše trojúhelníku říká, že pro dva podobné trojúhelníky je poměr plochy trojúhelníků úměrný druhé mocnině poměru jejich odpovídajících stran. Předpokládejme, že máme dva podobné trojúhelníky, ΔABC a ΔPQR

Podle Podobné věty o trojúhelníku:

(Plocha ΔABC)/(Plocha ΔPQR) = (AB/PQ) ² = (BC/QR) ² = (CA/RP) ²

Rozdíl mezi podobnými trojúhelníky a shodnými trojúhelníky

Podobné trojúhelníky a shodné trojúhelníky jsou dva typy trojúhelníků, které jsou široce používány v geometrii pro řešení různých problémů. Každý typ trojúhelníku má jiné vlastnosti a základní rozdíl mezi nimi je popsán v tabulce níže.

Aplikace podobných trojúhelníků

Různé aplikace podobného trojúhelníku, který vidíme v reálném životě, jsou,

• Stín a výška různých objektů se počítají pomocí konceptu podobných trojúhelníků.
• Měřítko mapy využívá koncept podobného trojúhelníku.
• Fotografická zařízení používají podobné vlastnosti trojúhelníku k zachycení různých obrázků.
• Model Making využívá koncept podobných trojúhelníků.
• Navigace a trigonometrie také používají podobný trojúhelníkový přístup k řešení různých problémů atd.

Důležité poznámky k podobným trojúhelníkům:

• Poměr ploch podobných trojúhelníků se rovná čtverci poměru jejich odpovídajících stran.
• Všechny shodné trojúhelníky jsou podobné, ale všechny podobné trojúhelníky nemusí být nutně shodné.
• Tento ' ~ “ symbol se používá k označení podobných trojúhelníků.

Vyřešené otázky k podobným trojúhelníkům

Otázka 1: Na daném obrázku 1 DE || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Jestliže AD = 2,5 cm, DB = 3 cm a AE = 3,75 cm. Najít AC?

Řešení:

V △ABC, DE || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.

AD/DB = AE/EC (podle Thalesova teorému)

2,5/3 = 3,75/x, kde EC = x cm

(3 × 3,75)/2,5 = 9/2 = 4,5 cm

EC = 4,5 cm

AC = (AE + EC) = 3,75 + 4,5 = 8,25 cm.

Otázka 2: Na obrázku 1 DE || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. Jestliže AD = 1,7 cm, AB = 6,8 cm a AC = 9 cm. Najít AE?

Řešení:

Nechť AE = x cm.

V △ABC, DE || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.

Podle Thalesovy věty máme,

AD/AB = AE/AC

1,7/6,8 = x/9

x = (1,7×9)/6,8 = 2,25 cm

AE = 2,25 cm

Proto AE = 2,25 cm

Otázka 3: Dokažte, že čára vedená středem jedné strany trojúhelníku (obrázek 1) rovnoběžná s druhou stranou půlí třetí stranu.

Řešení:

Je dáno ΔΑΒC, ve kterém D je střed AB a DE || BC, setkání AC v E.

K DŮKAZU AE = EC.

Důkaz: Od DE || př. n. l. podle Thalesovy věty máme:

AE/AD = EC/DB =1 (AD = DB, uvedeno)

AE/EC = 1

AE = EC

Otázka 4: Na daném obrázku 2 AD/DB = AE/EC a ∠ADE = ∠ACB. Dokažte, že ABC je rovnoramenný trojúhelník.

Řešení:

Máme AD/DB = AE/EC DE || př. n. l. [podle Thalesovy věty]

∠ADE = ∠ABC (odpovídající ∠s)

jak třídit pole v Javě

Ale, ∠ADE = ∠ACB (dáno).

Tedy ∠ABC = ∠ACB.

Takže AB = AC [strany opačné ke stejným úhlům].

△ABC je tedy rovnoramenný trojúhelník.

Otázka 5: Jsou-li D a E body na stranách AB a AC △ABC (obrázek 2), takže AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm a AE = 1,8 cm, ukažte, že DE | | PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.

Řešení:

Dáno, AB = 5,6 cm, AD = 1,4 cm, AC = 7,2 cm a AE = 1,8 cm

AD/AB = 1,4/5,6 = 1/4 a AE/AC = 1,8/7,2 = 1/4

AD/AB = AE/AC

Proto, obrácením Thalesova teorému, DE || PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.

Otázka 6: Dokažte, že úsečka spojující středy libovolných dvou stran trojúhelníku (obrázek 2) je rovnoběžná s třetí stranou.

Řešení:

V △ABC, kde D a E jsou středy AB a AC.

Protože D a E jsou středy AB a AC, máme:

AD = DB a AE = EC.

AD/DB = AE/EC (každý se rovná 1)

Proto, obrácením Thalesova teorému, DE || před naším letopočtem

Důležité odkazy související s matematikou:

• Co je jednoduchý zájem
• Vzorec ztráty
• Vlastnost součet úhlu
• Dělitelnost 11
• Sloupcový graf
• Použití trigonometrie
• Seznam přirozených čísel
• Pythagorův model
• Matematický projekt pro třídu 9

Cvičné otázky Podobné trojúhelníky

Q1. Ve dvou podobných trojúhelníkech △ABC a △ADE, pokud DE || BC a AD = 3 cm, AB = 8 cm a AC = 6 cm. Najděte AE.

Q2. Ve dvou podobných trojúhelníkech △ABC a △PQR, pokud QR || BC a PQ = 2 cm, AB = 12 cm a AC = 9 cm. Najděte PR.

Q3. Ve dvou podobných trojúhelníkech ΔABC a ΔAPQ jsou délky stran dány jako AP = 9 cm , PB = 12 cm a BC = 24 cm. Najděte poměr ploch ΔABC a ΔAPQ.

Q4. Ve dvou podobných trojúhelníkech ΔABC a ΔAPQ jsou délky stran dány jako AP = 3 cm , PB = 4 cm a BC = 8 cm. Najděte poměr ploch ΔABC a ΔAPQ.

Shrnutí – Podobné trojúhelníky

Podobné trojúhelníky jsou geometrické obrazce, které sdílejí stejný tvar, ale liší se velikostí, charakterizované stejnými odpovídajícími úhly a proporcionálně odpovídajícími stranami. Klíčové teorémy jako Úhel-Úhel (AA), Side-Angle-Side (SAS) a Side-Side-Side (SSS) stanovují kritéria pro podobnost trojúhelníků.

Tyto principy jsou základem v oborech, jako je strojírenství, počítačová grafika a architektura, díky jejich schopnosti zachovat integritu tvaru při změně měřítka. Thalesova věta nebo Základní věta o proporcionalitě ilustruje, jak přímka rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníku rozděluje proporcionálně další dvě, což dále demonstruje koncept podobnosti v trojúhelníkech.

Podobné trojúhelníky jsou zásadní pro praktické aplikace, od výpočtu výšek a vzdáleností v navigaci až po optimalizaci návrhů v technologii a konstrukci, což prokazuje jejich široký význam v akademickém i reálném světě.

Podobné trojúhelníky – FAQ

Co jsou podobné trojúhelníky třídy 10?

Podobné trojúhelníky jsou trojúhelníky, které měly všechny úhly stejné a jejich strany jsou ve společném poměru. Mají podobný tvar, ale ne podobnou oblast.

Co jsou vzorce Podobné trojúhelníky?

Podobné trojúhelníkové vzorce jsou vzorce, které nám říkají, zda jsou dva trojúhelníky podobné nebo ne. Pro dva trojúhelníky △ABC a △XYZ platí podobný vzorec trojúhelníků:

• ∠A = ∠X, ∠B = ∠Y a ∠C = ∠Z
• AB/XY = BC/YZ = CA/ZX

Který symbol se používá pro znázornění podobných trojúhelníků?

Podobné trojúhelníky jsou znázorněny pomocí symbolu „~“. Pokud jsou dva trojúhelníky △ABC a △XYZ podobné, reprezentujeme je jako △ABC ~ △XYZ, čte se to jako trojúhelník ABC podobný trojúhelníku XYZ.

Jaké jsou 3 podobné věty o trojúhelníku?

Můžeme snadno dokázat, že dva trojúhelníky jsou podobné pomocí věty o třech trojúhelníkech, které jsou,

• AA (nebo AAA) nebo Věta o podobnosti úhlu a úhlu
• SAS nebo Věta o podobnosti Side-Angle-Side
• SSS nebo Věta o podobnosti Side-Side-Side

Jaké jsou vlastnosti podobných trojúhelníků?

Důležité vlastnosti podobného trojúhelníku jsou,

• Podobné trojúhelníky mají pevné tvary, ale jejich velikosti se mohou lišit.
• Odpovídající úhly jsou stejné v podobném trojúhelníku.
• Odpovídající strany jsou ve společných poměrech v podobném trojúhelníku.

Jak zjistit, zda jsou dva trojúhelníky podobné?

Pokud jsou všechny úhly v trojúhelníku stejné, můžeme snadno říci, že trojúhelníky jsou podobné.

Které trojúhelníky jsou vždy podobné?

Trojúhelník, který je vždy podobný, je rovnostranný trojúhelník. Protože všechny úhly v rovnostranných trojúhelníkech jsou vždy 60 stupňů, všechny dva rovnostranné trojúhelníky jsou vždy podobné.

jak zkontrolovat blokovaná čísla na android

Co je oblast podobných trojúhelníků?

Poměr obsahu dvou podobných trojúhelníků je vždy roven poměru čtverců jejich stran. Pro dva trojúhelníky △ABC a △XYZ můžeme říci, že

• plocha △ABC / plocha △XYZ = (AB / XY)²

Co je to podobná trojúhelníková kritéria?

Kritéria podobných trojúhelníků jsou kritéria, ve kterých můžeme prohlásit tři trojúhelníky za podobné trojúhelníky a tato tři kritéria jsou,

• AAA kritéria (úhel-úhel-kritéria)
• SAS kritéria (Side-Angle-Side Criteria)
• Kritéria SSS (Postranní-Side-Side Kritéria)

Kdo je otcem podobných trojúhelníků?

Euclid, starověký řecký matematik často označovaný jako otec geometrie, poskytl základní principy pro pochopení podobných trojúhelníků ve svém díle Elements.

Jsou podobné trojúhelníky úměrné?

Ano, podobné trojúhelníky jsou úměrné. To znamená, že odpovídající strany podobných trojúhelníků jsou v poměru, což znamená, že poměr odpovídajících stran podobných trojúhelníků zůstává konstantní.

Které trojúhelníky jsou si vždy podobné?

Trojúhelníky, které mají stejné tři úhly, jsou vždy podobné. Toto je základní vlastnost známá jako kritérium podobnosti úhel-úhel (AA).

Jsou všechny pravoúhlé trojúhelníky podobné?

Ne, ne všechny pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. Zatímco pravoúhlé trojúhelníky se stejnými ostrými úhly jsou podobné, délka přepony a poměr délek stran se mohou lišit, což vede k nepodobnosti mezi pravoúhlými trojúhelníky.

Jaký je poměr dvou podobných trojúhelníků?

Poměr libovolných dvou odpovídajících stran v podobných trojúhelníkech zůstává konstantní. To znamená, že pokud vezmete odpovídající strany podobných trojúhelníků a vytvoříte poměr, výsledek bude vždy stejný, bez ohledu na konkrétní zvolené délky stran.