Hodnost Matrixu je definována jako dimenze vektorového prostoru tvořeného jeho sloupci. Hodnost Matrixu je velmi důležitým pojmem v oblasti lineární algebry, protože nám pomáhá vědět, zda dokážeme najít řešení soustavy rovnic nebo ne. Hodnost matice nám také pomáhá poznat dimenzionalitu jejího vektorového prostoru.

Tento článek se podrobně zabývá konceptem Rank of a Matrix, včetně jeho definice, jak vypočítat hodnost matice a také nulitu a její vztah k pozici. Naučíme se také řešit některé problémy na základě hodnosti matice. Začněme tedy nejprve definicí hodnosti matice.

Obsah

• Co je Rank of Matrix?
• Jak vypočítat hodnost matice?
• Vlastnosti Rank of Matrix
• Příklady hodnosti matice
• Nejčastější dotazy

Co je Rank of Matrix?

Hodnost matice je základní koncept v lineární algebře, který měří maximální počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců v jakékoli matici. Jinými slovy, říká vám, kolik řádků nebo sloupců matice není užitečných a přispívá k celkové informaci nebo rozměrnosti matice. Pojďme definovat hodnost matice.

Definice hodnosti matice

Pořadí matice je definováno jako počet lineárně nezávislých řádků v a matice .

lineární vyhledávání v Javě

Označuje se pomocí ρ(A), kde A je libovolná matice. Počet řádků matice je tedy limitem hodnosti matice, což znamená, že hodnost matice nemůže překročit celkový počet řádků v matici.

Pokud je například matice řádu 3×3, pak maximální hodnost matice může být 3.

Poznámka: Pokud má matice všechny řádky s nulovými prvky, pak se o hodnosti matice říká, že je nulová.

Nulita Matrixu

V dané matici se počet vektorů v nulovém prostoru nazývá nulita matice nebo může být také definován jako rozměr nulového prostoru dané matice.

Celkový počet sloupců v matici = pořadí + nulita

Přečtěte si více o Rank Nullity Theorem .

Jak vypočítat hodnost matice?

Existují 3 metody, které lze použít k získání hodnosti jakékoli dané matice. Tyto metody jsou následující:

• Vedlejší metoda
• Použití formuláře Echelon
• Použití normálního formuláře

Proberme tyto metody podrobně.

Vedlejší metoda

Předpoklad: Nezletilí Matrixu

Chcete-li najít hodnost matice pomocí vedlejší metody, postupujte takto:

• Vypočítejte determinant matice (řekněme A). Pokud det(A) ≠ 0, pak hodnost matice A = řád matice A.
• Je-li det(A) = 0, pak je hodnost matice rovna řádu maximálního možného nenulového minoru matice.

Pojďme pochopit, jak najít hodnost matice pomocí vedlejší metody.

Příklad: Najděte hodnost matice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} pomocí vedlejší metody.

DánoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Krok 1: Vypočítejte determinant A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Jako det(A) ≠ 0, ρ(A) = řád A = 3

Použití formuláře Echelon

Vedlejší metoda se stává velmi únavnou, pokud je řád matice velmi velký. Takže v tomto případě převedeme matici do Echelon Form. Matrice, která je in horní trojúhelníková forma nebo spodní trojúhelníková forma je považován za ve formě Echelon. Matici lze převést na její Echelon Form pomocí základní řádkové operace . Pro výpočet pořadí matice pomocí formuláře Echelon se postupují podle následujících kroků:

• Převeďte danou matici do jejího Echelon Form.
• Počet nenulových řádků získaných ve tvaru Echelon matice je hodnost matice.

Pojďme pochopit, jak najít hodnost matice pomocí vedlejší metody.

Příklad: Najděte hodnost matice egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} pomocí metody formuláře Echelon.

DánoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Krok 1: Převeďte A do tvaru echelon

Použít R₂= R₂– 4R₁

Použít R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Použít R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Protože matice A je nyní v nižším trojúhelníkovém tvaru, je ve formě Echelon.

• Krok 2: Počet nenulových řádků v A = 2. Tedy ρ(A) = 2

Použití normálního formuláře

Matrice se říká, že je v normální formě, pokud ji lze redukovat na formu egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Tady já_rpředstavuje matici identity řádu r. Pokud lze matici převést do její normální formy, pak se o hodnosti matice říká, že je r.

Pojďme pochopit, jak najít hodnost matice pomocí vedlejší metody.

Příklad: Najděte hodnost matice old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} pomocí metody normálního tvaru.

objekt v programování Java

DánoA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Použít R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁a R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Použít R₁= R₁– 2R₂a R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použít R₁= R₁+ R₃a R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použít C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

A lze tedy psát jako egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Tedy ρ(A) = 3

Vlastnosti Rank of Matrix

Vlastnosti hodnosti matice jsou následující:

• Hodnost matice se rovná řádu matice, pokud se jedná o nesingulární matici.
• Hodnost matice je rovna počtu nenulových řádků, pokud je ve formě Echelon.
• Hodnost matice se rovná pořadí matice identity v ní, pokud je v normální formě.
• Hodnost matice
• Hodnost matice
• Pořadí matice identity se rovná pořadí matice identity.
• Hodnost nulové matice nebo nulové matice je nulová.

Přečtěte si více,

• Typy matic
• Transpozice matice
• Inverzní k Matrixu

Příklady hodnosti matice

A příklad 1: Najděte hodnost matice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} pomocí vedlejší metody.

Řešení:

DánoA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Krok 1: Vypočítejte determinant A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Jako det(A) ≠ 0, ρ(A) = řád A = 3

Příklad 2. Najděte hodnost matice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} pomocí vedlejší metody.

Řešení:

DánoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Krok 1: Vypočítejte determinant A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Jako det(A) ≠ 0, ρ(A) = řád A = 3

Příklad 3. Najděte hodnost matice old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} pomocí metody formuláře Echelon.

řetězec do int java

Řešení:

DánoA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Krok 1: Převeďte A do tvaru echelon

Použít R₂= R₂– 4R₁

Použít R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Použít R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Protože matice A je nyní v nižším trojúhelníkovém tvaru, je ve formě Echelon.

Krok 2: Počet nenulových řádků v A = 2. Tedy ρ(A) = 2

Příklad 4. Najděte hodnost matice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} pomocí metody formuláře Echelon.

Řešení:

DánoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Krok 1: Převeďte A na echelonovou formu

Použít R₂= R₂– 4R₁

Použít R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Použít R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Protože matice A je nyní v nižším trojúhelníkovém tvaru, je ve formě Echelon.

Krok 2: Počet nenulových řádků v A = 2. Tedy ρ(A) = 2

Příklad 5. Najděte hodnost matice old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} pomocí metody normálního tvaru.

Řešení:

DánoA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Použít R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁a R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Použít R₁= R₁– 2R₂a R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použít R₁= R₁+ R₃a R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použít C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Použít R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

A lze tedy psát jakoegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Tedy ρ(A) = 3

Hodnost matice – FAQ

Definujte hodnost matice.

Pořadí matice je definováno jako počet lineárně nezávislých řádků v matici. Označuje se pomocí ρ(A), kde A je libovolná matice.

Jak zjistit hodnost matice?

Pořadí matice lze vypočítat pomocí různých metod, jako jsou:

• Vedlejší metoda
• Použití formuláře Echelon
• Použití normálního formuláře

Jaká je hodnost matice, pokud determinant matice není roven nule?

Pokud je determinant matice nulový, pak je hodnost matice rovna řádu matice.

Kdy se říká, že Matrix je ve formě Echelonu?

Matrice, která je v horním trojúhelníkovém tvaru nebo v dolním trojúhelníkovém tvaru, je označována jako ve tvaru echelonu.

Co je normální forma matice?

O matici se říká, že je v normální formě, pokud ji lze zapsat jako egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} kde já_rje matice identity řádu ‚r‘.

Jaká je hodnost Null Matrix?

Hodnost nulové matice je nulová.

Jaká je hodnost matice identit?

Hodnost matice identity se rovná řádu matice.

převést řetězec na jsonobject java

Jaký je vztah mezi nulitou a hodností matice?

Vztah mezi nulitou a hodností matice je:

Celkový počet sloupců v matici = pořadí + nulita