Výroková logika je odvětví matematiky, které studuje logické vztahy mezi výroky (nebo tvrzeními, větami, tvrzeními) jako celek a propojenými logickými spojkami.

V tomto článku jsme se podrobně zabývali výrokovou logikou a souvisejícími tématy.

Obsah

• Co je to logika?
• Výroková logika
• Tabulka pravdy
• 1. Negace
• 2. Konjunkce
• 3. Disjunkce
• 4. Exkluzivní Or
• 5. Implikace
• 6. Dvoupodmínečná nebo dvojitá implikace

Co je to logika?

Logika je základem veškerého matematického uvažování a veškerého automatizovaného uvažování. Pravidla logiky specifikují význam matematických výroků. Tato pravidla nám pomáhají porozumět a zdůvodnit výroky jako –

exists~x~such~that~x~ eq~a^2~+~b^2,~where~:x,~a,~bin~Z

Což v jednoduché angličtině znamená Existuje celé číslo, které není součtem dvou čtverců .

Význam matematické logiky

Pravidla logiky dávají přesný význam matematickým výrokům. Tato pravidla se používají k rozlišení mezi platnými a neplatnými matematickými argumenty. Kromě jeho důležitosti pro pochopení matematického uvažování má logika četné aplikace v informatice, od návrhu číslicových obvodů po konstrukci počítačových programů a ověřování správnosti programů.

Výroková logika

Co je to návrh? Propozice je základním stavebním kamenem logiky. Je definována jako deklarativní věta, která je buď pravdivá nebo nepravdivá, ale ne obojí. The Pravdivostní hodnota výroku je pravdivý (označený jako T), pokud se jedná o pravdivý výrok, a nepravdivý (označený jako F), pokud se jedná o nepravdivý výrok. Například,

1. Slunce vychází na východě a zapadá na západě.
2. 1 + 1 = 2
3. „b“ je samohláska.

Všechny výše uvedené věty jsou propozice, kde první dvě jsou Valid (True) a třetí je Invalid (False). Některé věty, které nemají pravdivostní hodnotu nebo mohou mít více pravdivostních hodnot, nejsou výroky. Například,

1. Kolik je hodin?
2. Jdi ven a hraj si
3. x + 1 = 2

Výše uvedené věty nejsou výroky, protože první dvě nemají pravdivostní hodnotu a třetí může být pravdivá nebo nepravdivá. Chcete-li reprezentovat návrhy, výrokové proměnné Jsou používány. Podle konvence jsou tyto proměnné reprezentovány malými abecedami jako napřp,:q,:r,:s . Oblast logiky, která se zabývá výroky, se nazývá výrokový kalkul nebo výroková logika . Zahrnuje také vytváření nových návrhů s využitím stávajících. Tvrzení vytvořená pomocí jednoho nebo více výroků se nazývají složené propozice . Návrhy se kombinují pomocí Logické spojky nebo Logické operátory .

Výroková logika

je bílkovinný tuk

Tabulka pravdy

Protože potřebujeme znát pravdivostní hodnotu výroku ve všech možných scénářích, uvažujeme o všech možných kombinacích výroků, které jsou spojeny logickými spojovacími prvky, aby vytvořily daný složený výrok. Tato kompilace všech možných scénářů v tabulkovém formátu se nazývá a pravdivostní tabulka . Nejběžnější logické spojky -

1. Negace

Lip je návrh, pak negacep je označeno eg p , což při překladu do jednoduché angličtiny znamená- Není tomu tak p nebo prostě ne p . Pravdivostní hodnota -p je opakem pravdivostní hodnoty p . Pravdivostní tabulka -p je:

Příklad, Negace Dnes prší, je Není to tak, že dnes prší nebo prostě Dnes neprší.

2. Konjunkce

Pro libovolné dva návrhyp aq , jejich spojka je označenapwedge q , což znamenáp aq . Konjunkcepwedge q je pravda, když obojíp aq jsou pravdivé, jinak nepravdivé. Pravdivostní tabulkapwedge q je:

Příklad, Konjunkce výrokůp – Dnes je pátek aq - Dnes prší,pwedge q je Dnes je pátek a dnes prší. Tento návrh je pravdivý pouze v deštivých pátcích a je nesprávný v jakýkoli jiný deštivý den nebo v pátek, kdy neprší.

3. Disjunkce

Pro libovolné dva návrhyp aq , jejich disjunkce je označenapvee q , což znamenáp neboq . Disjunkcepvee q je pravda, když buďp neboq je pravda, jinak nepravda. Pravdivostní tabulkapvee q je:

záměr záměr

Příklad, Disjunkce návrhůp – Dnes je pátek aq - Dnes prší,pvee q je Dnes je pátek nebo dnes prší. Toto tvrzení platí v kterýkoli den, který je v pátek nebo v deštivý den (včetně deštivého pátku), a neplatí pro jakýkoli den kromě pátku, kdy také neprší.

4. Exkluzivní Or

Pro libovolné dva návrhyp aq , jejich výhradní nebo je označenopoplus q , což znamená buďp neboq ale ne obojí. Exkluzivní resppoplus q je pravda, když buďp neboq je True a False, když jsou oba pravdivé nebo oba jsou nepravdivé. Pravdivostní tabulkapoplus q je:

Příklad, Exkluzivní nebo z návrhůp – Dnes je pátek aq - Dnes prší,poplus q je Buď dnes je pátek, nebo dnes prší, ale ne obojí. Tento návrh platí v kterýkoli den, který je v pátek nebo v deštivý den (kromě deštivého pátku), a neplatí pro jakýkoli den kromě pátku, kdy neprší nebo v pátek neprší.

5. Implikace

Pro libovolné dva návrhyp aq , prohlášení ifp pakq se nazývá implikace a označuje sep ightarrow q . V implikacip ightarrow q ,p se nazývá hypotéza nebo předchůdce nebo předpoklad aq se nazývá závěr nebo následek . Důsledkem jep ightarrow q se také nazývá a podmíněný příkaz . Implikace je nepravdivá, kdyžp je pravda aq je nepravdivé, jinak je pravdivé. Pravdivostní tabulkap ightarrow q je:

Někdo by se mohl divit, že pročp ightarrow q pravda kdyp je nepravdivé. To proto, že implikace zaručuje, že kdyp aq jsou pravdivé, pak je implikace pravdivá. Ale implikace nezaručuje nic, když je předpokladp je nepravdivé. Od té doby neexistuje způsob, jak zjistit, zda je implikace nepravdiváp se nestalo. Tato situace je podobná postoji Innocent, dokud se neprokáže vina, což znamená, že implikacep ightarrow q je považováno za pravdivé, dokud se neprokáže, že je nepravdivé. Protože nemůžeme nazvat implikacip ightarrow q nepravda kdyp je nepravdivá, naší jedinou alternativou je nazvat ji pravdivou.

To vyplývá z Princip výbuchu který říká: Nepravdivý výrok implikuje cokoliv Podmíněné výroky hrají v matematickém uvažování velmi důležitou roli, proto se k vyjádření používá celá řada terminologie.p ightarrow q , z nichž některé jsou uvedeny níže.

Jestliže p, pak qp postačuje pro qq, když nezbytnou podmínkou pa pro p je qp, pouze pokud qq, pokud z p nevyplývá ≠pq

Příklad, Pokud je pátek, pak dnes prší, je to návrh, který má formup ightarrow q . Výše uvedená věta platí, pokud není pátek (premisa je nepravdivá) nebo pokud je pátek a prší, a neplatí, když je pátek, ale neprší.

6. Dvoupodmínečná nebo dvojitá implikace

Pro libovolné dva návrhyp aq , prohlášeníp když a jen když (iff)q se nazývá bipodmínkový a označuje sepleftrightarrow q . Prohlášenípleftrightarrow q se také nazývá a bi-implikace .pleftrightarrow q má stejnou pravdivostní hodnotu jako(p ightarrow q) wedge (q ightarrow p) Důsledek je pravdivý, kdyžp aq mají stejné pravdivostní hodnoty a jinak jsou nepravdivé. Pravdivostní tabulkapleftrightarrow q je:

Některé další běžné způsoby vyjadřovánípleftrightarrow q jsou:

p je nutné a dostatečné pro qif p pak q, a naopakp, je-li q

Příklad: Dnes prší právě tehdy, když je dnes pátek. je návrh, který má tvarpleftrightarrow q . Výše uvedená věta platí, pokud není pátek a neprší, nebo pokud je pátek a prší, a neplatí, když není pátek nebo neprší. Cvičení:

char + int v jazyce Java

1) Zvažte následující tvrzení:

• P: Dobré mobilní telefony nejsou levné.
• Otázka: Levné mobilní telefony nejsou dobré.
• L: P znamená Q
• M: Q znamená P
• N: P je ekvivalentní Q

Která z následujících informací o L, M a N je SPRÁVNÁ? (Gate 2014)

(A) Pouze L je PRAVDA.

(B) Pouze M je PRAVDA.

(C) Pouze N je PRAVDA.

(D) L, M a N jsou PRAVDA.

Řešení viz BRÁNA | GATE-CS-2014-(Sada-3) | Otázka 11

2) Která z následujících možností není ekvivalentní p?q (Gate 2015)

(A)( eg p vee q)wedge(p vee eg q ) (B)( eg p vee q)wedge(q ightarrow p ) (C)( eg p wedge q)vee(p wedge eg q ) (D)( eg p wedge eg q)vee(p wedge q )

Řešení viz BRÁNA | GATE-CS-2015 (Sada 1) | Otázka 65