Co jsou prvočísla?
A prvočíslo je definováno jako přirozené číslo větší než 1 a je dělitelný pouze 1 a sebou samým.
Jinými slovy, prvočíslo je kladné celé číslo větší než 1, které má právě dva faktory, 1 a samotné číslo. Prvních několik prvočísel je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. . .
Poznámka: 1 není prvočíslo ani složené. Zbývající čísla, kromě 1, jsou klasifikována jako prvočísla a složená čísla.

prvočísla
Několik zajímavých faktů o prvočíslech:
- Kromě 2, která je nejmenší prvočíslo a jediné sudé prvočíslo, všechna prvočísla jsou lichá.
- Každé prvočíslo může být reprezentováno ve tvaru 6n + 1 nebo 6n – 1 kromě prvočísel 2 a 3 , kde n je libovolné přirozené číslo.
- 2 a 3 jsou pouze dvě po sobě jdoucí přirozená čísla, která jsou prvočísla.
- Goldbachova domněnka: Každé sudé celé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel.
- Wilsonova věta : Wilsonova věta říká, že přirozené číslo p> 1 je prvočíslo právě tehdy a jen tehdy
(p – 1)! ≡ -1 proti str
NEBO,
(p – 1)! ≡ (p-1) mod p
- Fermatova malá věta : Jestliže n je prvočíslo, pak pro každé a, 1 ≤ a
An-1≡ 1 (mod n)
NEBO,
An-1% n = 1
- Věta o prvočíslech : Pravděpodobnost, že dané, náhodně zvolené číslo n je prvočíslo, je nepřímo úměrná jeho počtu číslic nebo logaritmu n.
- Lemoineova domněnka : Libovolné liché celé číslo větší než 5 lze vyjádřit jako součet lichých prvočísel (všechna prvočísla kromě 2 jsou lichá) a sudého poloprvého čísla. Poloprvočíslo je součinem dvou prvočísel. Tomu se říká Lemoineova domněnka.
Vlastnosti prvočísel:
- Každé číslo větší než 1 lze vydělit alespoň jedním prvočíslem.
- Každé sudé kladné celé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel.
- Kromě 2 jsou všechna ostatní prvočísla lichá. Jinými slovy, můžeme říci, že 2 je jediné sudé prvočíslo.
- Dvě prvočísla jsou vždy souběžná.
- Každé složené číslo lze rozdělit na prvočinitele a jednotlivě jsou všechny svou povahou jedinečné.
Prvočísla a vedlejší prvočísla:
Je důležité rozlišovat mezi prvočísla a vedlejší prvočísla . Níže jsou uvedeny rozdíly mezi prvočísly a vedlejšími prvočísly.
- Prvočísla jsou vždy považována za pár, zatímco prvočíslo je jediné číslo.
- Vedlejší prvočísla jsou čísla, která nemají žádný společný faktor kromě 1. Naproti tomu prvočísla takovou podmínku nemají.
- Společné prvočíslo může být prvočíslo nebo složené, ale jeho největší společný faktor (GCF) musí být vždy 1. Na rozdíl od složených čísel mají prvočísla pouze dva faktory, 1 a samotné číslo.
- Příklad co-prime: 13 a 15 jsou co-primes. Faktory 13 jsou 1 a 13 a faktory 15 jsou 1, 3 a 5. Vidíme, že mají jako společný faktor pouze 1, jsou to tedy prvočísla.
- Příklad prvočísla: Několik příkladů prvočísel je 2, 3, 5, 7 a 11 atd.
Jak zkontrolovat, zda je číslo prvočíslo nebo ne?
Naivní přístup: Naivní přístup je k
Opakujte od 2 do (n-1) a zkontrolujte, zda se nějaké číslo v tomto rozsahu dělí n . Pokud se číslo dělí n , pak to není prvočíslo.
Časová náročnost: NA)
Pomocný prostor: O(1)
Naivní přístup (rekurzivní): Rekurzi lze také použít ke kontrole, zda je číslo mezi 2 na n – 1 dělí n. Pokud najdeme nějaké číslo, které se dělí, vrátíme false.
Níže je uvedena implementace výše uvedené myšlenky:
C++
// C++ program to check whether a number> // is prime or not using recursion> #include> using> namespace> std;> > // function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(> int> n)> {> > static> int> i = 2;> > > // corner cases> > if> (n == 0 || n == 1) {> > return> false> ;> > }> > > // Checking Prime> > if> (n == i)> > return> true> ;> > > // base cases> > if> (n % i == 0) {> > return> false> ;> > }> > i++;> > return> isPrime(n);> }> > // Driver Code> int> main()> {> > > isPrime(35) ? cout <<> ' true
'> : cout <<> ' false
'> ;> > return> 0;> }> > // This code is contributed by yashbeersingh42> |
>
>
Jáva
// Java program to check whether a number> // is prime or not using recursion> import> java.io.*;> > class> GFG {> > > static> int> i => 2> ;> > > // Function check whether a number> > // is prime or not> > public> static> boolean> isPrime(> int> n)> > {> > > // Corner cases> > if> (n ==> 0> || n ==> 1> ) {> > return> false> ;> > }> > > // Checking Prime> > if> (n == i)> > return> true> ;> > > // Base cases> > if> (n % i ==> 0> ) {> > return> false> ;> > }> > i++;> > return> isPrime(n);> > }> > > // Driver Code> > public> static> void> main(String[] args)> > {> > if> (isPrime(> 35> )) {> > System.out.println(> 'true'> );> > }> > else> {> > System.out.println(> 'false'> );> > }> > }> }> > // This code is contributed by divyeshrabadiya07> |
>
>
Python3
# Python3 program to check whether a number> # is prime or not using recursion> > # Function check whether a number> # is prime or not> > > def> isPrime(n, i):> > > # Corner cases> > if> (n> => => 0> or> n> => => 1> ):> > return> False> > > # Checking Prime> > if> (n> => => i):> > return> True> > > # Base cases> > if> (n> %> i> => => 0> ):> > return> False> > > i> +> => 1> > > return> isPrime(n, i)> > > # Driver Code> if> (isPrime(> 35> ,> 2> )):> > print> (> 'true'> )> else> :> > print> (> 'false'> )> > # This code is contributed by bunnyram19> |
>
>
C#
// C# program to check whether a number> // is prime or not using recursion> using> System;> class> GFG {> > > static> int> i = 2;> > > // function check whether a number> > // is prime or not> > static> bool> isPrime(> int> n)> > {> > > // corner cases> > if> (n == 0 || n == 1) {> > return> false> ;> > }> > > // Checking Prime> > if> (n == i)> > return> true> ;> > > // base cases> > if> (n % i == 0) {> > return> false> ;> > }> > i++;> > return> isPrime(n);> > }> > > static> void> Main()> > {> > if> (isPrime(35)) {> > Console.WriteLine(> 'true'> );> > }> > else> {> > Console.WriteLine(> 'false'> );> > }> > }> }> > // This code is contributed by divyesh072019> |
>
>
Javascript
> > // JavaScript program to check whether a number> > // is prime or not using recursion> > > // function check whether a number> > // is prime or not> > var> i = 2;> > > function> isPrime(n) {> > > // corner cases> > if> (n == 0 || n == 1) {> > return> false> ;> > }> > > // Checking Prime> > if> (n == i)> return> true> ;> > > // base cases> > if> (n % i == 0) {> > return> false> ;> > }> > i++;> > return> isPrime(n);> > }> > > // Driver Code> > > isPrime(35) ? document.write(> ' true
'> ) : document.write(> ' false
'> );> > > // This code is contributed by rdtank.> > > |
přejmenování adresáře linux
>
>Výstup
false>
Časová náročnost: NA)
Pomocný prostor: O(N), pokud vezmeme v úvahu zásobník rekurze. Jinak je to O(1).
Efektivní přístup: Efektivní řešení je:
Iterujte přes všechna čísla od 2 na druhou odmocninu n a pro každé číslo zkontrolujte, zda dělí n [protože je-li číslo vyjádřeno jako n = xy a kterékoli z x nebo y je větší než odmocnina z n, druhé musí být menší než odmocnina]. Pokud najdeme nějaké číslo, které se dělí, vrátíme false.
Níže je implementace:
C++14
// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(> int> n)> {> > // Corner case> > if> (n <= 1)> > return> false> ;> > > // Check from 2 to square root of n> > for> (> int> i = 2; i <=> sqrt> (n); i++)> > if> (n % i == 0)> > return> false> ;> > > return> true> ;> }> > // Driver Code> int> main()> {> > isPrime(11) ? cout <<> 'true
'> : cout <<> 'false
'> ;> > return> 0;> }> |
>
>
Jáva
// A school method based Java program to> // check if a number is prime> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > > // Check for number prime or not> > static> boolean> isPrime(> int> n)> > {> > > // Check if number is less than> > // equal to 1> > if> (n <=> 1> )> > return> false> ;> > > // Check if number is 2> > else> if> (n ==> 2> )> > return> true> ;> > > // Check if n is a multiple of 2> > else> if> (n %> 2> ==> 0> )> > return> false> ;> > > // If not, then just check the odds> > for> (> int> i => 3> ; i <= Math.sqrt(n); i +=> 2> ) {> > if> (n % i ==> 0> )> > return> false> ;> > }> > return> true> ;> > }> > > // Driver code> > public> static> void> main(String[] args)> > {> > if> (isPrime(> 19> ))> > System.out.println(> 'true'> );> > > else> > System.out.println(> 'false'> );> > }> }> > // This code is contributed by Ronak Bhensdadia> |
>
>
Python3
# A school method based Python3 program> # to check if a number is prime> > > # import sqrt from math module> from> math> import> sqrt> > > > # Function check whether a number> # is prime or not> def> isPrime(n):> > > # Corner case> > if> (n <> => 1> ):> > return> False> > > # Check from 2 to sqrt(n)> > for> i> in> range> (> 2> ,> int> (sqrt(n))> +> 1> ):> > if> (n> %> i> => => 0> ):> > return> False> > > return> True> > > # Driver Code> if> __name__> => => '__main__'> :> > if> isPrime(> 11> ):> > print> (> 'true'> )> > else> :> > print> (> 'false'> )> > # This code is contributed by Sachin Bisht> |
>
>
C#
// A school method based C# program to> // check if a number is prime> using> System;> > class> GFG {> > > // Function check whether a> > // number is prime or not> > static> bool> isPrime(> int> n)> > {> > // Corner case> > if> (n <= 1)> > return> false> ;> > > // Check from 2 to sqrt(n)> > for> (> int> i = 2; i <= Math.Sqrt(n); i++)> > if> (n % i == 0)> > return> false> ;> > > return> true> ;> > }> > > // Driver Code> > static> void> Main()> > {> > if> (isPrime(11))> > Console.Write(> 'true'> );> > > else> > Console.Write(> 'false'> );> > }> }> > // This code is contributed by Sam007> |
>
>
Javascript
java hashset
// A school method based Javascript program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> {> > // Corner case> > if> (n <= 1)> > return> false> ;> > > // Check from 2 to n-1> > for> (let i = 2; i if (n % i == 0) return false; return true; } // Driver Code isPrime(11) ? console.log(' true') : console.log(' false'); // This code is contributed by Mayank Tyagi> |
>
>
PHP
// A school method based PHP program to // check if a number is prime // Function check whether a number // is prime or not function isPrime($n) { // Corner case if ($n <= 1) return false; // Check from 2 to n-1 for ($i = 2; $i <$n; $i++) if ($n % $i == 0) return false; return true; } // Driver Code if(isPrime(11)) echo('true'); else echo('false'); // This code is contributed by Ajit. ?>> |
>
>Výstup
true>
Časová náročnost: O(sqrt(n))
Pomocný prostor: O(1)
Další efektivní přístup: Chcete-li zkontrolovat, zda je číslo prvočíslo nebo ne, postupujte podle níže uvedeného nápadu:
Budeme se zabývat několika čísly jako 1, 2, 3 a čísly, která jsou dělitelná 2 a 3 v samostatných případech a pro zbývající čísla. Iterujte od 5 do sqrt(n) a pro každou iteraci zkontrolujte, zda (tato hodnota) nebo (tato hodnota + 2) dělí n nebo ne, a zvyšte hodnotu o 6 [protože jakékoli prvočíslo lze vyjádřit jako 6n+1 nebo 6n-1 ]. Pokud najdeme nějaké číslo, které se dělí, vrátíme false.
Níže je uvedena implementace výše uvedeného nápadu:
C++
// A school method based C++ program to> // check if a number is prime> #include> using> namespace> std;> > // Function check whether a number> // is prime or not> bool> isPrime(> int> n)> > > // Driver Code> int> main()> {> > isPrime(11) ? cout <<> 'true
'> : cout <<> 'false
'> ;> > return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi kumari> |
>
>
C
// A school method based C program to> // check if a number is prime> #include> #include> > // Function check whether a number> // is prime or not> int> isPrime(> int> n)> n % 3 == 0)> > return> 0;> > // Check from 5 to square root of n> > // Iterate i by (i+6)> > for> (> int> i = 5; i * i <= n; i = i + 6)> > if> (n % i == 0> > // Driver Code> int> main()> {> > if> (isPrime(11) == 1)> > printf> (> 'true
'> );> > else> > printf> (> 'false
'> );> > return> 0;> }> // This code is contributed by Suruchi Kumari> |
>
>
Jáva
// Java program to check whether a number> import> java.lang.*;> import> java.util.*;> > class> GFG {> > > // Function check whether a number> > // is prime or not> > public> static> boolean> isPrime(> int> n)> > > > if> (n <=> 1> )> > return> false> ;> > > // Check if n=2 or n=3> > if> (n ==> 2> > > > // Driver Code> > public> static> void> main(String[] args)> > {> > if> (isPrime(> 11> )) {> > System.out.println(> 'true'> );> > }> > else> {> > System.out.println(> 'false'> );> > }> > }> }> > // This code is contributed by Sayan Chatterjee> |
>
>
Python3
import> math> > def> is_prime(n:> int> )> -> >> bool> :> > > # Check if n=1 or n=0> > if> n <> => 1> :> > return> 'false'> > > # Check if n=2 or n=3> > if> n> => => 2> or> n> => => 3> :> > return> 'true'> > > # Check whether n is divisible by 2 or 3> > if> n> %> 2> => => 0> or> n> %> 3> => => 0> :> > return> 'false'> > > # Check from 5 to square root of n> > # Iterate i by (i+6)> > for> i> in> range> (> 5> ,> int> (math.sqrt(n))> +> 1> ,> 6> ):> > if> n> %> i> => => 0> or> n> %> (i> +> 2> )> => => 0> :> > return> 'false'> > > return> 'true'> > if> __name__> => => '__main__'> :> > print> (is_prime(> 11> ))> |
>
>
C#
// C# program to check whether a number> using> System;> class> GFG {> > > // Function check whether a number> > // is prime or not> > public> static> bool> isPrime(> int> n)> > > > > // Driver Code> > public> static> void> Main(String[] args)> > {> > if> (isPrime(11)) {> > Console.WriteLine(> 'true'> );> > }> > else> {> > Console.WriteLine(> 'false'> );> > }> > }> }> > // This code is contributed by Abhijeet> // Kumar(abhijeet_19403)> |
>
>
Javascript
// A school method based JS program to> // check if a number is prime> > > // Function check whether a number> // is prime or not> function> isPrime(n)> n % (i + 2) == 0)> > return> false> ;> > > return> true> ;> > > // Driver Code> isPrime(11) ? console.log(> 'true'> ) : console.log(> 'false'> );> > > // This code is contributed by phasing17> |
>
>
kat timpf výškaVýstup
true>
Časová složitost: O(sqrt(n))
Pomocný prostor: O(1)
Efektivní řešení
- Test primality | Sada 1 (Úvod a školní metoda)
- Test primality | Sada 2 (metoda Fermat)
- Test primality | Sada 3 (Miller–Rabin)
- Test primality | Sada 4 (Solovay-Strassen)
- Lucasův test primality
Algoritmy k nalezení všech prvočísel menších než N.
- Eratosthenovo síto
- Eratosthenovo síto v 0(n) časové složitosti
- Segmentované síto
- Síto Sundaram
- Bitové síto
- Nedávné články o Sieve!
Další problémy související s prvočíslem
- Najděte dvě odlišná prvočísla s A daný produkt
- Vytiskněte všechna prvočísla menší nebo rovna N
- Rekurzivní program pro prvočíslo
- Najděte dvě prvočísla s A daná suma
- Najděte nejvyšší vyskytující se číslici v prvočíslech v rozsahu
- Primární faktorizace pomocí Sieve O (log n) pro více dotazů
- Program pro tisk všech prvočísel daného čísla
- Nejmenší prvočinitel čísel do n
- Primární faktory LCM prvků pole – techcodeview.com
- Program pro Goldbachovu domněnku
- Prvočísla a Fibonacciho
- Složené číslo
- Nejnovější články o prvočíslech!