Vzhledem k desce rozměrů n × m které je třeba rozřezat na n × m čtverců. Náklady na provedení řezu podél vodorovného nebo svislého okraje jsou poskytovány ve dvou polích:

• x[] : Snížení nákladů podél svislých hran (podélně).
• a[] : Snížení nákladů podél vodorovných okrajů (na šířku).

Najděte minimální celkové náklady potřebné k optimálnímu rozřezání desky na čtverce.

Příklady: 

Vstup: x[] = [2 1 3 1 4] y[] = [4 1 2] n = 4 m = 6
výstup: 42
Vysvětlení:

Zpočátku ne. horizontálních segmentů = 1 & no. svislých segmentů = 1.
Optimální způsob řezání na čtverec je:
Vyberte 4 (z x) -> vertikální řez Cena = 4 × horizontální segmenty = 4
 Nyní horizontální segmenty = 1 vertikální segmenty = 2.
Vyberte 4 (z y) -> horizontální řez Cena = 4 × svislé segmenty = 8
 Nyní horizontální segmenty = 2 vertikální segmenty = 2.
Vyberte 3 (z x) -> vertikální řez Cena = 3 × horizontální segmenty = 6
 Nyní horizontální segmenty = 2 vertikální segmenty = 3.
Vyberte 2 (z x) -> vertikální řez Cena = 2 × horizontální segmenty = 4
 Nyní horizontální segmenty = 2 vertikální segmenty = 4.
Vyberte 2 (z y) -> horizontální řez Cena = 2 × svislé segmenty = 8
 Nyní horizontální segmenty = 3 vertikální segmenty = 4.
Vyberte 1 (z x) -> vertikální řez Cena = 1 × horizontální segmenty = 3
Nyní horizontální segmenty = 3 vertikální segmenty = 5.
Vyberte 1 (z x) -> vertikální řez Cena = 1 × horizontální segmenty = 3
Nyní horizontální segmenty = 3 vertikální segmenty = 6.
Vyberte 1 (z y) -> horizontální řez Cena = 1 × svislé segmenty = 6
Nyní horizontální segmenty = 4 vertikální segmenty = 6.
Takže celkové náklady = 4 + 8 + 6 + 4 + 8 + 3 + 3 + 6 = 42.

Vstup: x[] = [1 1 1] y[] = [1 1 1] n = 4 m = 4
výstup: 15
Vysvětlení:
Zpočátku ne. horizontálních segmentů = 1 & no. svislých segmentů = 1.
Optimální způsob řezání na čtverec je:
Vyberte 1 (z y) -> horizontální řez Cena = 1 × svislé segmenty = 1
Nyní horizontální segmenty = 2 vertikální segmenty = 1.
Vyberte 1 (z y) -> horizontální řez Cena = 1 × svislé segmenty = 1
Nyní horizontální segmenty = 3 vertikální segmenty = 1.
Vyberte 1 (z y) -> horizontální řez Cena = 1 × svislé segmenty = 1
Nyní horizontální segmenty = 4 vertikální segmenty = 1.
Vyberte 1 (z x) -> vertikální řez Cena = 1 × horizontální segmenty = 4
Nyní horizontální segmenty = 4 vertikální segmenty = 2.
Vyberte 1 (z x) -> vertikální řez Cena = 1 × horizontální segmenty = 4
Nyní horizontální segmenty = 4 vertikální segmenty = 3.
Vyberte 1 (z x) -> vertikální řez Cena = 1 × horizontální segmenty = 4
Nyní horizontální segmenty = 4 vertikální segmenty = 4
Takže celkové náklady = 1 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 = 15.

Obsah

• [Naivní přístup] Vyzkoušejte všechny permutace – O((n+m)!×(n+m)) Čas a O(n+m) Prostor
• [Očekávaný přístup] Použití chamtivé techniky - O( n (log n)+m (log m)) Čas a O(1) Prostor

[Naivní přístup] Vyzkoušejte všechny permutace – O((n+m)!×(n+m)) Čas a O(n+m) Prostor

Cílem je vygenerovat všechny možné permutace daných řezů a poté vypočítat náklady na každou permutaci. Nakonec mezi ně vraťte minimální náklady.

Poznámka: Tento přístup není proveditelný pro větší vstupy, protože počet permutací roste faktoriálně jako (m+n-2)!.
Pro každou permutaci musíme vypočítat náklady v O(m+n) čase. Celková časová složitost se tak stává O((m+n−2)!×(m+n)).

[Očekávaný přístup] Použití chamtivé techniky - O( n (log n)+m (log m)) Čas a O(1) Prostor

Cílem je provést nejdražší řezy nejprve pomocí a zištný přístup . Pozorování je, že výběr nejvyššího snížení nákladů v každém kroku snižuje budoucí náklady ovlivněním více kusů najednou. Seřadíme vertikální (x) a horizontální (y) snížené náklady v sestupném pořadí a poté iterativně vybíráme větší, abychom maximalizovali úspory nákladů. Zbývající řezy jsou zpracovávány samostatně, aby bylo zajištěno optimální rozdělení všech částí.

Co se stane, když uděláme řez?

• Horizontální řez → řežete po šířce, takže se zvyšuje počet vodorovných pruhů (hCount++). Náklady se však vynásobí vCount (počet svislých pruhů), protože horizontální řez musí procházet všemi vertikálními segmenty.
• Vertikální řez → řežete přes výšku, takže se zvyšuje počet svislých pruhů (vCount++). Náklady se však násobí hCount (počet vodorovných pásů), protože vertikální řez musí procházet všemi horizontálními segmenty.

Kroky k vyřešení problému:

• Seřaďte pole x a y v sestupném pořadí.
• Použijte dva ukazatele, jeden pro x a jeden pro y, počínaje nejvyšší hodnotou a postupujte směrem k menším hodnotám.
• Udržujte hodnoty hCount a vCount, abyste mohli sledovat, kolik segmentů každý řez ovlivňuje, a podle toho je aktualizujte.
• Opakujte, zatímco x a y mají nezpracované škrty, vždy vyberte vyšší náklady, abyste minimalizovali celkové náklady.
• Pokud x má zbývající řezy, zpracujte je pomocí násobiče hCount; podobně zpracujte zbývající y řezy pomocí vCount.
• Shromážděte celkové náklady v každém kroku pomocí vzorce: snížit náklady * počet dotčených kusů zajišťující minimální náklady.

#include   #include #include   using namespace std; int minCost(int n int m   vector<int>& x vector<int>& y) {    // Sort the cutting costs in ascending order  sort(x.begin() x.end());  sort(y.begin() y.end());   int hCount = 1 vCount = 1;   int i = x.size() - 1 j = y.size() - 1;   int totalCost = 0;  while (i >= 0 && j >= 0) {    // Choose the larger cost cut to   // minimize future costs  if (x[i] >= y[j]) {  totalCost += x[i] * hCount;   vCount++;  i--;  }   else {  totalCost += y[j] * vCount;   hCount++;  j--;  }  }  // Process remaining vertical cuts  while (i >= 0) {  totalCost += x[i] * hCount;  vCount++;  i--;  }  // Process remaining horizontal cuts  while (j >= 0) {  totalCost += y[j] * vCount;  hCount++;  j--;  }  return totalCost; } int main() {    int n = 4 m = 6;  vector<int> x = {2 1 3 1 4};  vector<int> y = {4 1 2};  cout << minCost(n m x y) << endl;  return 0; } 

import java.util.Arrays; class GfG {    static int minCost(int n int m   int[] x int[] y) {    // Sort the cutting costs in ascending order  Arrays.sort(x);  Arrays.sort(y);   int hCount = 1 vCount = 1;   int i = x.length - 1 j = y.length - 1;   int totalCost = 0;  while (i >= 0 && j >= 0) {    // Choose the larger cost cut to   // minimize future costs  if (x[i] >= y[j]) {  totalCost += x[i] * hCount;   vCount++;  i--;  }   else {  totalCost += y[j] * vCount;   hCount++;  j--;  }  }  // Process remaining vertical cuts  while (i >= 0) {  totalCost += x[i] * hCount;  vCount++;  i--;  }  // Process remaining horizontal cuts  while (j >= 0) {  totalCost += y[j] * vCount;  hCount++;  j--;  }  return totalCost;  }  public static void main(String[] args) {    int n = 4m = 6;  int[] x = {2 1 3 1 4};  int[] y = {4 1 2};  System.out.println(minCost(n m x y));  } } 

def minCost(nm x y): # Sort the cutting costs in ascending order x.sort() y.sort() hCount vCount = 1 1 i j = len(x) - 1 len(y) - 1 totalCost = 0 while i >= 0 and j >= 0: # Choose the larger cost cut to  # minimize future costs if x[i] >= y[j]: totalCost += x[i] * hCount vCount += 1 i -= 1 else: totalCost += y[j] * vCount hCount += 1 j -= 1 # Process remaining vertical cuts while i >= 0: totalCost += x[i] * hCount vCount += 1 i -= 1 # Process remaining horizontal cuts while j >= 0: totalCost += y[j] * vCount hCount += 1 j -= 1 return totalCost if __name__ == '__main__': nm = 4 6 x = [2 1 3 1 4] y = [4 1 2] print(minCost(nmx y)) 

using System; class GfG {  public static int minCost(int n int m   int[] x int[] y) {    // Sort the cutting costs in ascending order  Array.Sort(x);  Array.Sort(y);  int hCount = 1 vCount = 1;  int i = x.Length - 1 j = y.Length - 1;  int totalCost = 0;  // Process the cuts in greedy manner  while (i >= 0 && j >= 0) {    // Choose the larger cost cut to   // minimize future costs  if (x[i] >= y[j]) {  totalCost += x[i] * hCount;  vCount++;  i--;  }  else {  totalCost += y[j] * vCount;  hCount++;  j--;  }  }  // Process remaining vertical cuts  while (i >= 0) {  totalCost += x[i] * hCount;  vCount++;  i--;  }  // Process remaining horizontal cuts  while (j >= 0) {  totalCost += y[j] * vCount;  hCount++;  j--;  }  return totalCost;  }    public static void Main() {    int n=4m=6;  int[] x = {2 1 3 1 4};  int[] y = {4 1 2};  Console.WriteLine(minCost(nm x y));  } } 

function minCost( nm x y) {    // Sort the cutting costs in ascending order  x.sort((a b) => a - b);  y.sort((a b) => a - b);  let hCount = 1 vCount = 1;  let i = x.length - 1 j = y.length - 1;  let totalCost = 0;  while (i >= 0 && j >= 0) {    // Choose the larger cost cut to   // minimize future costs  if (x[i] >= y[j]) {  totalCost += x[i] * hCount;  vCount++;  i--;  }   else {  totalCost += y[j] * vCount;  hCount++;  j--;  }  }  // Process remaining vertical cuts  while (i >= 0) {  totalCost += x[i] * hCount;  vCount++;  i--;  }  // Process remaining horizontal cuts  while (j >= 0) {  totalCost += y[j] * vCount;  hCount++;  j--;  }  return totalCost; } // Driver Code let n = 4m = 6; let x = [2 1 3 1 4]; let y = [4 1 2]; console.log(minCost(nm x y)); 

42