Logaritmická pravidla nebo logaritmická pravidla jsou zásadní pro zjednodušení komplikovaných formulací, které obsahují logaritmické funkce. Log Rules usnadňují výpočet a manipulaci s logaritmy v různých matematických a vědeckých aplikacích. Ze všech těchto pravidel protokolu jsou tři nejběžnější pravidla součinu, kvocientové pravidlo a mocninné pravidlo. Kromě těchto máme mnoho pravidel logaritmu, o kterých budeme diskutovat dále v článku. Tento článek podrobně zkoumá všechna pravidla pro protokoly včetně derivací a integrálů s příklady logaritmických pravidel. Začněme se tedy učit o všech pravidlech, která logaritmy mají.

Obsah

• Co jsou pravidla protokolu?
• Typy logaritmu
• Seznam logaritmických pravidel
• Pravidla přirozeného logu
• Aplikace logaritmu
• Produktové pravidlo logaritmů
• Pravidlo logaritmické moci
• Kvocientové pravidlo logaritmů
• Řešené příklady Log Rules
• Cvičné otázky o pravidlech protokolu

Co jsou pravidla protokolu?

Logaritmická pravidla v matematice jsou pravidla a zákony, které se používají při zjednodušování a manipulaci s výrazy logaritmických funkcí. Tyto principy vytvářejí vztahy mezi exponenciálními a logaritmickými formami a poskytují systematickou techniku ​​pro zvládnutí komplikovaných logaritmických výpočtů.

Klíčová pravidla jsou následující: pravidlo produktu : což nám umožňuje rozdělit součin v rámci logaritmu na součet samostatných logaritmů; podílové pravidlo : což nám umožňuje rozdělit kvocient v logaritmu na rozdíl logaritmů; mocenské pravidlo: což nám umožňuje extrahovat exponenty z logaritmu; pravidlo základního přepínače nebo změna základního pravidla : což nám umožňuje změnit základ logaritmu.

Tyto zákony jsou klíčové v mnoha matematických a vědeckých aplikacích, díky čemuž jsou logaritmy cenným nástrojem pro řešení rovnic, modelování exponenciálního růstu a analýzu velkého množství dat.

Typy logaritmu

Obvykle se zabýváme dvěma druhy logaritmů:

• Společný logaritmus
• Přirozený logaritmus

Poznámka: Může existovat logaritmus s jakýmkoli reálným číslem jako jeho základem, ale tyto dva, tj. společný a přirozený logaritmus, jsou nejběžnější a standardní.

Proberme tyto typy podrobně.

Společný logaritmus

Obyčejný logaritmus, často známý jako log základ 10 nebo jednoduše log, je matematická funkce, která představuje exponent, na který musí být dané číslo zvýšeno, aby bylo dosaženo daného čísla. Vypočítá mocninu deseti nezbytnou k získání určitého čísla.

Například log₁₀(100) se rovná 2, protože 10 umocněno na 2 se rovná 100. Společný logaritmus 100 je v tomto případě 2, což ukazuje, že 10²= 100. Společné logaritmy se používají v mnoha odvětvích, včetně vědy, inženýrství a financí, ke zjednodušení reprezentace velkého počtu a pomoci při výpočtech vyžadujících mocniny 10.

Přirozený logaritmus

Přirozený logaritmus je matematická funkce, která vyjadřuje logaritmus se základem „e“ (Eulerovo číslo, zhruba 2,71828). Je to inverzní funkce exponenciální funkce a představuje množství času potřebného k tomu, aby se veličina zvýšila nebo snížila o konstantní faktor.

Například ln (10) ≈ 2,30259 znamená, že e vynásobené 2,30259 se rovná 10. Přirozený logaritmus se používá v mnoha oblastech, včetně matematiky, fyziky a financí, k popisu jevů, které vykazují exponenciální růst nebo úpadek, jako je populační expanze, radioaktivní rozpad a výpočty složeného úroku.

Co jsou logaritmická pravidla?

Logaritmické operace lze provádět podle specifických pravidel. Tato pravidla jsou známá jako:

• Pravidlo produktu
• Pravidlo podílu
• Nulové pravidlo
• Pravidlo identity
• Mocninné pravidlo nebo exponenciální pravidlo
• Změna základního pravidla
• Reciproční pravidlo

Kromě těchto společných pravidel můžeme mít také některá neobvyklá pravidla, jako například:

• Logaritmická inverzní vlastnost
• Derivát log
• Integrace Log

Produktové pravidlo protokolu

Podle pravidla součinu je logaritmus součinu součtem logaritmů jeho prvků.

Vzorec: log_A(XY) = log_AX + log_AA

Příklad: log₂(3 × 5) = log₂(3) + log₂(5)

Podílové pravidlo logu

Pravidlo podílu tvrdí, že logaritmus podílu se rovná rozdílu logaritmů čitatele a jmenovatele.

Vzorec: log_A(X/Y) = log_AX – log_AA

Příklad: log₃(9 / 3) = log₃(9) – log₃(3)

Nulové pravidlo logu

Podle nulového pravidla je logaritmus 1 k libovolnému základu vždy 0.

Vzorec: log_A(1) = 0

Příklad: log₄(1) = 0

Identity Rule of Log

Podle pravidla identity je logaritmus báze k sobě samému vždy 1.

Vzorec: log_A(a) = 1

Příklad: log₇(7) = 1

Reciproční pravidlo

Podle recipročního pravidla logaritmů je logaritmus reciprokého čísla (1 dělená tímto číslem) roven záporu logaritmu původního čísla. V matematickém zápisu:

Vzorec: log_A(1/X) = – log_A(X)

Příklad: log_A(1/2) = – log_A(2)

Pravidlo moci nebo exponenciální pravidlo logu

Podle mocninného pravidla se logaritmus čísla umocněného na exponent rovná exponentu vynásobenému logaritmem základu.

Vzorec: log_A(Xⁿ) = n × log_AX

Příklad: log₅(9²) = 2 × log₅(9)

Změna základního pravidla protokolu

Pravidlo změny základu umožňuje vypočítat logaritmus čísla v jiném základu použitím společného logaritmu (typicky základ 10 nebo základ e). Nazývá se také změna základního pravidla Pravidlo přepínače základny.

Vzorec: log_A(X) = logᵦ(X) / logᵦ(a)

Příklad: log₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3)

Logaritmická inverzní vlastnost

Vlastnost inverzní logaritmus tvrdí, že výpočet logaritmu umocněné hodnoty dává původní exponent.

Vzorec: log_A(aⁿ) = n

Příklad: log₄(4²) = 2

Derivát log

Derivace přirozeného logaritmu funkce je převrácená hodnota funkce vynásobená derivací funkce.

Vzorec: d/dx [ln(f(x))] = f'(x) / f(x)

Příklad: Pokud y = ln(x²), pak dy/dx = 2x / x²= 2/x

Integrace Log

Kromě derivace můžeme také vypočítat integrál logaritmu. Integrál funkce Log je dán takto:

Vzorec: ∫ln(x) dx = x · ln(x) – x + C = x · (ln(x) – 1) + C

Pravidla přirozeného logu

Protože přírodní a společné, mají oba kmeny pouze rozdíl v základně, takže pravidla pro přírodní kmeny jsou stejná jako pro běžné kmeny, která již byla diskutována. Jediný rozdíl je v tom, že v pravidlech přirozeného logu místo log (symbol běžného log se základem 10) používáme ln (symbol pro přirozený log základ e). Tato pravidla lze uvést takto:

• ln (mn) = ln m + ln n
• ln (m/n) = ln m – ln n
• V mⁿ= n ln m
• ln a = (log a) / (log e)
• ln e = 1
• ln 1 = 0
• to je^{ln x}= x

Aplikace logaritmu

Podívejme se na některé aplikace log.

• K výpočtu kyselosti a zásaditosti chemických roztoků používáme logaritmy.
• Richterova stupnice se používá k výpočtu intenzity zemětřesení.
• Množství hluku se měří v decibelech (dB) na logaritmické stupnici.
• Logaritmy se používají k analýze exponenciálních procesů, jako je rozpad poměrových aktivních izotopů, vývoj bakterií, šíření epidemie v populaci a chlazení mrtvého těla.
• K výpočtu doby splácení půjčky se používá logaritmus.
• Logaritmus se používá v počtu k rozlišení obtížných rovnic a výpočtu plochy pod křivkami.

Produktové pravidlo logaritmů

Podle pravidla součinu pro logaritmy je logaritmus násobení dvou členů stejný jako sčítání logaritmů těchto jednotlivých členů. Jinými slovy, toto pravidlo je vyjádřeno jako log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n). Pokračujme k odvození tohoto pravidla.

Odvozovací proces:

Začněme předpokladem log_b(m) = x a log_b(n) = y. Převedením obou do jejich exponenciálních forem získáme:

log_b(m) = x znamená m = b^X… (1)

log_b(n) = y znamená n = b^a… (2)

Když vynásobíme rovnice (1) a (2) dohromady,

mn = b^{X .}b^a

Využití pravidel pro násobení exponentů,

mn = b^{x + y}

Převedením zpět do logaritmické formy se získá,

log_b(mn) = x + y

Dosazením zpět za x a y,

log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n)

Tím jsme odvodili součinové pravidlo logaritmů. Toto pravidlo lze využít různými způsoby, např.

log(3a) = log 3 + log a log 10 = log(5×2) = log 5 + log 2 log3(ab) = log3 a + log3 b Je důležité si uvědomit, že pravidlo produktu pro logaritmy se nevztahuje na log (m + n), které nelze rozdělit na samostatné logaritmy. Toto pravidlo se striktně vztahuje k logaritmu součinu, log(mn).

Pravidlo logaritmické moci

Pravidlo pro mocninu logaritmu říká, že když je argument logaritmu umocněn, lze tento exponent posunout na začátek logaritmu. Jinými slovy, logb mn = n logb m. Podívejme se na odvození tohoto pravidla.

Odvozovací proces:

Začněte převzetím log_bm se rovná x. Převedením do jeho exponenciální formy dostaneme:

b^X= m

Poté umocněte obě strany na mocninu n, což má za následek:

java string concat

(b^X)ⁿ= mⁿ

Použití pravidla exponentu poskytuje:

b^nx= mⁿ

Převedením zpět do logaritmického tvaru dostaneme:

log_bmⁿ= nx

Nahrazením x logem_bm, dorazíme na:

log_bmⁿ= n log_bm

Tím končí odvození logaritmického mocninného pravidla. Níže uvádíme několik příkladů použití tohoto pravidla:

log 3z = z log 3 log y2 = 2 log y log3 yx = x log3 y

Kvocientové pravidlo logaritmů

Podle pravidla podílu pro logaritmy je logaritmus dělení mezi dvěma čísly odečtením logaritmů každého čísla.

Konkrétně pravidlo uvádí, že log_b(m/n) = log_bm – log_bn. Pokračujme k odvození tohoto pravidla.

Odvozovací proces:

Předpokládejme, že log_bm se rovná x a log_bn se rovná y. Vyjádříme je v jejich exponenciálních formách.

log_bm = x znamená m = b^X… (1)

log_bn = y znamená n = b^a… (2)

Když vydělíme rovnici (1) rovnicí (2),

m/n = b^X/ b^a

Použití pravidla podílu pro exponenty,

m/n = b^x–y

Převod zpět do logaritmické formy,

log_b(m/n) = x – y

Dosazením zpět za x a y,

log_b(m/n) = log_bm – log_bn

Tak jsme odvodili podílové pravidlo pro logaritmy. Toto pravidlo lze použít následovně:

gzip pro linux

log (y/3) = log y – log 3

log 25 = log (125/5) = log 125 – log 5

log7 (a/b) = log7 a – log7 b

Je důležité si uvědomit, že pravidlo kvocientu neimplikuje nic pro log (m – n).

Související témata:

• Antilogová tabulka
• Kalkulačka protokolu
• Přírodní deník
• Tabulka protokolů

Řešené příklady Log Rules

Příklad 1: Zjednodušte protokol ₂ (4 × 8).

Řešení:

Pomocí pravidla součinu rozdělíme součin na součet logaritmů:

log₂(4 × 8) = log₂(4) + log₂(8) = 2 + 3 = 5.

Příklad 2: Zjednodušte protokol ₄ (16/2).

Řešení:

Pomocí pravidla podílu rozdělíme podíl na rozdíl logaritmů:

log₄(16 / 2) = log₄(16) – log₄(2) = 2 – 0,5 = 1,5.

Příklad 3: Zjednodušte protokol ₅ (25 ³ ).

Řešení:

Pomocí mocninného pravidla můžeme snížit exponent jako koeficient:

log₅(25³) = 3 × log₅(25) = 3 × 2 = 6.

Příklad 4: Převeďte protokol ₃ (7) do výrazu se základem 10.

Řešení:

Pomocí pravidla přepnutí základny dělíme logaritmem nové základny:

log₃(7) = log₁₀(7) / log₁₀(3) ≈ 1,7712

Příklad 5: Vyhodnocení log ₇ (49) pomocí změny základního pravidla se základem 2.

Řešení:

Použití změny základního pravidla se základem 2:

log₇(49) = log₂(49) / log₂(7) = 5 / 1,807 = 2,77 (přibližně).

Cvičné otázky o pravidlech protokolu

Problém 1: Zjednodušte výraz: log₂(4) + log₂(8).

Problém 2: Zjednodušte: log₅(25) – log₅(5).

Problém 3: Zjednodušte výraz: log₃(9²).

Problém 4: Expresní deník₄(25) z hlediska běžných logaritmů.

Problém 5: Zjednodušte pomocí Log Rules: log₇(49) + 2 log₇(3).

Problém 6: Řešení pro x: log₂(x) = 3.

Problém 7: Řešení pro x: 2^{3x – 1}= 8.

Pravidla protokolu – FAQ

Co jsou logaritmická pravidla?

Logaritmická pravidla jsou sbírkou doporučení pro manipulaci a zjednodušení vzorců pomocí logaritmických funkcí. Nabízejí systematickou metodu pro řešení složitých výpočtů a interakcí mezi exponenciály a logaritmy.

Kolik klíčových logaritmických pravidel existuje?

Pravidlo součinu, pravidlo kvocientu, pravidlo mocniny, pravidlo přepnutí základny a pravidlo změny základního pravidla jsou všechna hlavní logaritmická pravidla. Tyto principy umožňují modifikace a výpočty logaritmických výrazů.

Co je logaritmické produktové pravidlo?

Podle pravidla součinu se logaritmus součinu rovná součtu logaritmů jednotlivých faktorů: logₐ(xy) = logₐx + logₐy.

Jaké jsou dva typy logaritmů?

Dva nejčastěji používané typy logaritmu jsou:

• Společný logaritmus nebo základní 10 logaritmus
• Přirozený logaritmus nebo základní a logaritmus

Co je protokolovací pravidlo pro změnu základny?

Podle změny základního pravidla log, log_A(b) = [log_C(b)]/[log_C(a)], kde c je libovolné kladné reálné číslo.

Co je Log 0?

Logaritmus nuly není znám. Číslo 0 nikdy nezískáme zvýšením jakékoli hodnoty na mocninu jiné hodnoty.

Co je Log 1?

Kvůli nulovému pravidlu je logaritmus 1 k libovolnému základu vždy 0, tj. log_A(1) = 0.

Co je logaritmus libovolného čísla pro sebe jako základ?

Podle pravidla identity je logaritmus báze k sobě samému vždy 1, tj. log_A(a) = 1.

Jaký je vztah mezi logaritmy a exponenciály?

Logaritmy a exponenciály jsou inverzní operace. Logaritmus vám říká exponent potřebný k dosažení určitého čísla, zatímco exponenciála zvyšuje základ na exponent.

Jakých je 7 pravidel logaritmu?

Obsahuje 7 pravidel logaritmů

• Pravidlo produktu
• Pravidlo podílu
• Pravidlo moci
• Změna základních pravidel
• Nulové pravidlo
• Pravidlo identity
• Negativní pravidlo

Tato pravidla se používají pro zjednodušení logaritmických výrazů.

Co je pravidlo exponentu logu?

Pravidlo log exponentu uvádí, že logaritmický základ b z a^Xse rovná x krát log základ b z a, tj. log_bA^X= x log_bA.

Jaký je klíčový rozdíl mezi Common Log a Natural Log?

Klíčový rozdíl mezi běžným a přirozeným logem je v tom, že běžné logy používají základ 10, zatímco přirozené logy používají jako základ matematickou konstantu „e“.

Co je derivační pravidlo pro protokol?

Derivační pravidlo pro funkce log je: d/dx[log_b(x)] = 1 / (x ln(b)), kde „b“ je základ logaritmu.

Co je pravidlo základního přepínače?

Podle pravidla Base Switch Rule lze základ libovolného logaritmu změnit na jakýkoli jiný požadovaný základ pomocí vzorce: loga(X) = logb(X) / logb(a).