Místní maxima a minima odkazují na body funkcí, které definují nejvyšší a nejnižší rozsah této funkce. Derivaci funkce lze použít k výpočtu lokálních maxim a lokálních minim. Místní maxima a minima lze nalézt pomocí testu první derivace i testu druhé derivace.

V tomto článku probereme úvod, definici a důležitou terminologii Local Maxima a Minima a jejich význam. Budeme také rozumět různým metodám výpočtu místních maxim a minim v matematice a počet . Budeme také řešit různé příklady a poskytovat cvičné otázky pro lepší pochopení konceptu tohoto článku.

Obsah

• Co je to Local Maxima a Local Minima?
• Definice lokálních maxim a lokálních minim
• Podmínky související s místními maximy a místními minimy
• Jak najít místní maxima a minima?
• Příklady na Local Maxima a Local Minima

Co je to Local Maxima a Local Minima?

Místní maxima a minima se označují jako maximální a minimální hodnoty v určitém intervalu. Místní maximum nastane, když hodnoty a funkce v blízkosti určitého bodu jsou vždy nižší než hodnoty funkce ve stejném bodě. V případě Local Minima jsou hodnoty funkce v blízkosti určitého bodu vždy větší než hodnoty funkce ve stejném bodě.

V jednoduchém smyslu se bod nazývá lokální maximum, když funkce dosáhne své nejvyšší hodnoty v určitém intervalu, a bod se nazývá lokální minimum, když funkce dosáhne nejnižší hodnoty v určitém intervalu.

Pokud například jdete do kopcovité oblasti a stojíte na vrcholu kopce, tento bod se nazývá bod Local Maxima, protože jste v nejvyšším bodě ve svém okolí. Podobně, pokud stojíte v nejnižším bodě řeky nebo moře, tento bod se nazývá bod místního minima, protože jste v nejnižším bodě ve svém okolí.

Definice lokálních maxim a lokálních minim

Místní maxima a minima jsou počáteční hodnoty jakékoli funkce, abyste získali představu o jejích hranicích, jako jsou nejvyšší a nejnižší výstupní hodnoty. Local Minima a Local Maxima se také nazývají Local Extrema.

Místní Maxima

Bod lokálního maxima je bod na jakékoli funkci, kde funkce dosáhne své maximální hodnoty v určitém intervalu. Bod (x = a) funkce f (a) se nazývá lokální maximum, pokud je hodnota f(a) větší nebo rovna všem hodnotám f(x).

harald baldr

Matematicky f (a) ≥ f (a -h) af (a) ≥ f (a + h), kde h> 0, pak a se nazývá bod lokálního maxima.

Místní minima

Bod lokálního minima je bod na jakékoli funkci, kde funkce dosáhne své minimální hodnoty v určitém intervalu. Bod (x = a) funkce f (a) se nazývá lokální minimum, pokud je hodnota f(a) menší nebo rovna všem hodnotám f(x).

Matematicky, f (a) ≤ f (a -h) a f (a) ≤ f (a + h), kde h> 0, pak a se nazývá bod lokálního minima.

Podmínky související s místními maximy a místními minimy

Důležitá terminologie související s Local Maxima a Minima je diskutována níže:

Maximální hodnota

Pokud nějaká funkce udává maximální výstupní hodnotu pro vstupní hodnotu x. Tato hodnota x se nazývá maximální hodnota. Pokud je definován v určitém rozsahu. Pak se tento bod nazývá Místní Maxima .

Absolutní maximum

Pokud nějaká funkce udává maximální výstupní hodnotu pro vstupní hodnotu x v celém rozsahu funkce. Tato hodnota x se nazývá absolutní maximum.

Minimální hodnota

Pokud nějaká funkce udává minimální výstupní hodnotu pro vstupní hodnotu x. Tato hodnota x se nazývá minimální hodnota. Pokud je definován v určitém rozsahu. Pak se tento bod nazývá Místní minima .

Absolutní minimum

Pokud nějaká funkce udává minimální výstupní hodnotu pro vstupní hodnotu x v celém rozsahu funkce. Tato hodnota x se nazývá absolutní minimum.

Bod inverze

Pokud hodnota x v rozsahu dané funkce nevykazuje nejvyšší a nejnižší výstup, nazývá se bod inverze.

Další informace Absolutní maxima a minima

Jak najít místní maxima a minima?

Místní maxima a minima jsou určena pouze pro konkrétní rozsah, není to maximum a minimum pro celou funkci a nevztahuje se na celý rozsah funkce.

Existují následující přístupy k výpočtu místních maxim a minim. Tyto jsou:

• V prvním kroku vezmeme derivaci funkce.

• Ve druhém kroku nastavíme derivaci rovnou nule a vypočítáme kritické body pro c.

• Ve třetím kroku použijeme První derivace a Druhý derivační test k určení místního maxima a lokálního minima.

Co je to první derivační test?

Nejprve vezmeme první derivaci funkce, která udává směrnici funkce. Jak se přibližujeme k maximálnímu bodu, strmost funkce se zvyšuje, pak se v maximálním bodu stává nulou a poté klesá, jak se od něj vzdalujeme.

Podobně v minimálním bodě, jak se přibližujeme k minimálnímu bodu, sklon křivky klesá, pak se v minimálním bodě stává nulou a poté se zvyšuje, jak se od tohoto bodu vzdalujeme.

Vezměme funkci f(x), která je spojitá v kritickém bodě c, v otevřeném intervalu I a f'(c) = 0, znamená sklon v kritickém bodě c = 0.

Abychom ověřili povahu f'(x) kolem kritického bodu c, máme následující podmínky pro určení hodnoty lokálního maxima a minima z testu první derivace. Tyto podmínky jsou:

• Jestliže f ′(x) mění znaménko z kladného na záporné, když x roste o c, pak f(c) ukazuje nejvyšší hodnotu této funkce v daném rozsahu. Bod c je tedy bod lokálního maxima, pokud je první derivace f '(x)> 0 v libovolném bodě dostatečně blízko nalevo od c a f '(x) <0 v libovolném bodě dostatečně blízko napravo od c.

• Jestliže f ′(x) mění znaménko ze záporného na kladné, když x roste o c, pak f(c) ukazuje nejnižší hodnotu této funkce v daném rozsahu. Bod c je tedy bod lokálního minima, pokud je první derivace f '(x) 0 v libovolném bodě dostatečně blízko napravo od c.

• Pokud f'(x) nemění významně znaménko s x rostoucím přes c, pak bod c nevykazuje nejvyšší (Místní maxima) a nejnižší (Místní minima) hodnotu funkce, V takovém případě je bod c nazvaný Point of Inflection.

Přečtěte si více o První derivační test .

Co je druhý derivační test?

Druhý derivační test se používá ke zjištění hodnoty absolutního maxima a absolutního minima libovolné funkce v daném intervalu. Vezměme funkci f(x), která je spojitá v kritickém bodě c, v otevřeném intervalu I a f'(c) = 0, znamená sklon v kritickém bodě c = 0. Zde vezmeme druhou derivaci f (x) funkce f(x), která udává směrnici funkce.

Abychom ověřili povahu f'(x), máme následující podmínky pro určení hodnoty lokálního maxima a minima z testu druhé derivace. Tyto podmínky jsou:

• Bod c je bod lokálního maxima, pokud první derivace f'(c) = 0 a druhá derivace f(c) <0. Bod v x= c bude lokální maximum a f(c) bude lokální maximální hodnota f(x).

• Bod c je bod lokálního minima, pokud první derivace f'(c) = 0 a f(c) druhá derivace> 0. Bod v bodě x= c bude místní minima a f(c) bude Lokální minimální hodnota f(x).

• Test se nezdaří, pokud první derivace f'(c) = 0 a druhá derivace f(c) = 0, pak bod c nevykazuje nejvyšší (místní maxima) a nejnižší (místní minima) hodnotu funkce. , V takovém případě se bod c nazývá inflexní bod a bod x = c se nazývá inflexní bod Bod inflexe.

Také zkontrolujte

• Aplikace derivátů
• Relativní maxima a minima
• Diferenciační a integrační vzorec

Příklady na Local Maxima a Local Minima

Příklad 1: Analyzujte lokální maxima a lokální minima funkce f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 pomocí prvního derivačního testu.

Řešení:

Daná funkce je f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

První derivace funkce je f'(x) = 6x²– 6x – 12, použije ke zjištění kritických bodů.

Chcete-li najít kritický bod, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6 (x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Kritické body jsou tedy x = -1 a x = 2.

Analyzujte bezprostřední bod První derivace ke kritickému bodu x = -1. Body jsou {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 a f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Znaménko derivace je kladné vlevo od x = -1 a záporné vpravo. Znamená to tedy, že x = -1 je místní maximum.

Pojďme nyní analyzovat první derivační bezprostřední bod ke kritickému bodu x = 2. Body jsou {1,3}.

f'(1) = 6(1-1-2) = 6(-2) = -12 a f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

řetězec jsonobject

Znaménko derivace je záporné vlevo od x = 2 a kladné vpravo. Znamená to tedy, že x = 2 je místní minimum.

Proto je místní maximum -1 a místní minimum je 2.

Příklad 2: Analyzujte lokální maxima a lokální minima funkce f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 pomocí druhého derivačního testu.

Řešení:

Daná funkce je f(x) = -x³+6x²-12x +10

První derivace funkce je f'(x) = -x³+6x²-12x +10, použije se ke zjištění kritických bodů.

Chcete-li najít kritický bod, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

X²– 4x + 3 = 0

vyberte multi table sql

(x – 1) (x – 3) = 0

Kritické body jsou tedy x = 1 a x = 3

Nyní vezměte druhou derivaci funkce,

f(x) = 6x – 12

Vyhodnoťte f(x) v kritickém bodě x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, a proto x = 1 odpovídá místnímu maximu.

Vyhodnoťte f(x) v kritickém bodě x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, a proto x = 3 odpovídá místním minimům.

Nyní vypočítáme hodnoty funkcí v kritických bodech:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, Proto je místní maximum na (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, Proto je místní maximum na (3, 1)

Cvičné otázky o místních minimech a maximech

Q1. Najděte Lokální maxima a Lokální minima funkce f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 pomocí druhého derivačního testu.

Q2. Najděte a analyzujte Lokální maxima a Lokální minima funkce f(x) = – x²+4x -5 pomocí druhého derivačního testu.

Q3. Najděte lokální maxima a lokální minima funkce f(x) = x²-4x +5 pomocí prvního derivačního testu.

Q4. Najděte a analyzujte Lokální maxima a Lokální minima funkce f(x) = 3x²-12x +5 pomocí prvního derivačního testu.

Q5. Najděte a analyzujte lokální maxima a lokální minima funkce f(x) = x³– 6x²+9x + 15 pomocí prvního derivačního testu.

Q6. Najděte a analyzujte lokální maxima a lokální minima funkce f(x) = 2x³-9x²+12x +5 pomocí druhého derivačního testu.

Local Maxima a Local Minima – FAQ

Co je Local Maxima?

Bod se nazývá lokální maximum, když funkce dosáhne své nejvyšší hodnoty v určitém intervalu.

Jak zjistíte místní maximum?

Odlišením funkce a nalezením kritické hodnoty, při které je strmost nulová, můžeme najít lokální maximum.

Co je to místní minima?

Bod se nazývá lokální minima, když funkce dosáhne své nejnižší hodnoty v určitém intervalu.

Jaké metody můžete použít k výpočtu místního maxima a místního minima?

Test první derivace a test druhé derivace.

Jaký je rozdíl mezi testem první derivace a testem druhé derivace?

První derivační test je přibližná metoda pro výpočet hodnoty lLcal maxim a lokálních minim a druhý derivační test je systematická a přesná metoda pro výpočet hodnoty lokálních maxim a lokálních minim.

Co znamená bod inverze?

Pokud hodnota bodu v rozsahu dané funkce nevykazuje nejvyšší a nejnižší výstup, nazývá se tento bod bodem inverze.

Jaké je použití místních maxim a místních minim?

Chcete-li zjistit extrémní hodnotu funkce v určitém rozsahu.