Integrál hříchu x je -cos(x) plus konstanta (C). Představuje plochu pod sinusovou křivkou. Funkce se kvůli své periodické povaze opakuje každé 2π radiány. Tento článek vysvětluje integrál funkce sinus, ukazuje jeho vzorec, důkaz a použití při hledání konkrétních určitých integrálů. Dále uvádí řešené problémy a často kladené otázky.

Obsah

• Co je integrál hříchu x?
• Integrál hříchu x vzorce
• Grafický význam integrálu Sin x
• Integrál hříchu x důkaz substituční metodou
• Jednoznačný integrál hříchu x
• Integrál Sin x Od 0 do π
• Integrál Sin x Od 0 do π/2

Co je integrál hříchu x?

Integrál sin(x) týkající se x je -cos(x) plus konstanta (C). To znamená, že když diferencujete -cos(x) vzhledem k x, dostanete sin(x). Integrační konstanta (C) představuje jakoukoli další konstantní hodnotu, která může být přítomna v původní funkci.

Integrál sin x fyzikálně označuje plochu pokrytou sinusovou křivkou.

Učit se,

• Počet v matematice
• Integrace v matematice

Integrál hříchu x vzorce

Integrál funkce sinus, ∫ sin(x) dx, je roven -cos(x) + C, kde C je integrační konstanta.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Zde je cos(x) funkce kosinus a C představuje konstantu, která je přidána k primitivní derivaci, protože derivace konstanty je nula.

Grafický význam integrálu Sin x

Integrál sin(x) od (a) do (b) má grafický význam z hlediska výpočtu plochy pod křivkou v rámci tohoto intervalu. Pojďme prozkoumat grafický význam pomocí metody určitého integrálu a geometrické metody.

Metoda určitého integrálu

Integrál sin(x) od (a) do (b) je dán vztahem:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

To představuje oblast se znaménkem mezi křivkou sin(x) a osou x od (a) do (b).

Geometrická metoda

Uvažujme graf sin(x) od (a) do (b). Oblast pod křivkou lze rozdělit do dvou oblastí:

• Pozitivní oblast: Oblasti, kde je sin(x) kladné (nad osou x). To přispívá k pozitivní oblasti pod křivkou.
• Negativní oblast: Oblasti, kde je sin(x) záporné (pod osou x). To přispívá k negativní oblasti pod křivkou.

Celková plocha je algebraickým součtem těchto kladných a záporných oblastí.

Příklad:

Najít plochu pod křivkou sin(x) od ( a = 0 ) do ( b = π/2 ).

Pomocí metody určitého integrálu:

∫₀^p/2hřích x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Toto je podepsaná oblast pod křivkou.

Pomocí geometrické metody:

Graf sin(x) od 0 do (π/2) je čtvrtina kruhu a plocha je skutečně 1.

Integrace Sin x Důkaz substituční metodou

Abychom našli integrál sin(x) pomocí substituční metody, uvažujme integrál:

Jedna běžná substituce za goniometrické integrály zahrnuje, že u se rovná výrazu uvnitř goniometrické funkce. V tomto případě nechť u = cos(x). Poté vypočítejte du z hlediska dx:

du/dx = -sin(x)

Nyní vyřešte dx:

dx = -1/sin(x) du

Nyní dosaďte u a dx za u do původního integrálu:

Integrál sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Zjednodušte výraz:

Integrál sin(x) dx = -∫ du

Nyní integrujte s ohledem na vás:

Integrál sin(x) dx = -u + C

Nyní dosaďte zpět za u, které bylo definováno jako cos(x):

Integrál sin(x) dx = -cos(x) + C

Pomocí substituční metody jsme tedy dospěli ke stejnému výsledku jako při důkazu pomocí derivací. Integrál sin(x) je -cos(x) + C, kde C je integrační konstanta.

Jednoznačný integrál hříchu x

Určitý integrál sin(x) od a do b, označovaný jako

∫ ^b _A sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Vypočítá čistou plochu pod sinusovou křivkou mezi x = a a x = b s ohledem na směr oblasti nad a pod osou x.

Učit se, Jednoznačný integrál

Integrál hříchu x Od 0 do Pi

K nalezení integrálu sin(x) od 0 do π můžeme použít primitivní derivaci. Primitivní funkce sin(x) je -cos(x). Vyhodnocením této primitivní funkce od 0 do π dostaneme:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Protože cos(π) je -1 a cos(0) je 1, výraz se zjednodušuje na:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Integrál sin(x) od 0 do π je tedy roven 2. To představuje oblast se znaménkem mezi křivkou sin(x) a osou x od x = 0 do x = π.

Integrál hříchu x Od 0 do Pi /2

Určitý integrál představuje oblast se znaménkem mezi křivkou a osou x v daném intervalu.

Integrál je dán takto:

∫₀^p/2sin(x) dx

Použití primitivního -cos(x) k vyhodnocení integrálu:

cos(x) |[0 až π/2]

Nyní dosaďte π/2 do -cos(x):

cos(π/2) – (-cos(0))

Připomeňme, že cos(π/2) = 0 a cos(0) = 1. Dosaďte tyto hodnoty:

-(0) – (-1)

Zjednodušit:

0 + 1 = 1

výhody a nevýhody technologie

Určitý integrál sin(x) od 0 do π/2 se rovná 1. To znamená, že plocha se znaménkem mezi sinusovou křivkou a osou x od x = 0 do x = π/2 je 1.

Také zkontrolujte

• Integrace Cos x
• Integrace Tan x
• Integrační vzorce

Integrál hříchu x – Řešené příklady

Příklad 1: Najděte integrál sin2(x)

Řešení:

Pro bez²(x), můžete použít vzorec zahrnující cos(2x).

∫sin²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Rozdělte to na dvě části:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integrál dx je právě x. Integrál cos(2x) zahrnuje použití vzorce sin(2x). Vypadá to takto:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Spojte tyto dva výsledky a přidejte konstantu C, abyste zohlednili jakoukoli potenciální konstantu v původním integrálu.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Příklad 2: Najděte integrál sinus ³ X.

Řešení:

Integrál sinusové krychle vzhledem k x lze zapsat jako:

∫sin³x dx

Použijte trigonometrickou identitu pro zjednodušení:

bez³x = [1 – cos²(x)] hřích (x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Distribuujte a oddělujte termíny:

∫[hřích x – hřích x. cos²(x)]dx

Integrujte každý termín samostatně:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Zde ( C ) představuje integrační konstantu.

Příklad 3: Najděte integrál sin x ^-1

Řešení:

integrál sin(x)^-1lze vyjádřit pomocí funkce arcsinus. Integrál je dán:

∫1/sin x = -ln|cosec x + postýlka x| + C

Zde je (C) konstantou integrace.

Příklad 4: Najděte integrál sin x ²

Řešení:

Integrál sin²(x) vzhledem k x lze vyřešit pomocí goniometrické identity.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Nyní integrujte každý termín samostatně:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 hříchu(2x)] + C

kde ( C ) je konstanta integrace.

Příklad 5: Najděte integrál sin x ^-3

Řešení:

Integrál hříchu (x)^-3vzhledem k (x) zahrnuje trigonometrickou substituci. Zde je návod, jak to vyřešit:

Nechť u = sin(x), pak du = cos(x)dx

Nyní je dosaďte do integrálu:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³z

Nyní integrujte s ohledem na (u):

∫u⁻³ty = ty⁻²/-2 + C

Nahraďte zpět z hlediska (x) pomocí u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Takže integrál sin(x)^-3vzhledem k (x) je -1/2sin²x , kde (C) je konstanta integrace.

Příklad 6: Najděte integrál sin inverze x

Řešení:

Najít integrál hříchu^-1(x) s ohledem na (x) můžete použít integraci po částech. Vzorec pro integraci po částech je:

∫udv=uv−∫vdu

u = hřích^-1(x) a dv = dx

Nyní najděte (du) a (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Použijte vzorec integrace podle částí:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Nyní integrujte zbývající termín na pravé straně. Můžete použít substituci tím, že necháte (t = 1 – x²), pak (dt = -2x, dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Nyní nahraďte zpět ve smyslu (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Dát to všechno dohromady:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

kde (C) je konstanta integrace.

Příklad 7: Najděte integrál x sin 2x dx

Řešení:

Chcete-li najít integrál xsin(2x) vzhledem k (x), můžete použít integraci po částech. Vzorec pro integraci po částech je dán takto:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x a dv = sin(2x)dx

Nyní najděte (du) a (v):

du = dx a v = -1/2cos (2x)

Použijte vzorec integrace podle částí:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Nyní integrujte zbývající termín na pravé straně. Integrál -1/2cos(2x) lze najít ponecháním (u = 2x) a použitím jednoduché substituce:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Dosaďte tento výsledek zpět do původní rovnice:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin (2x) + C

pár c++

Takže integrál xsin(2x) vzhledem k (x) je -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, kde (C) je integrační konstanta.

Příklad 8: Najděte integrál sin x cos 2x

Řešení:

Chcete-li najít integrál sin(x) cos(2x) vzhledem k (x), můžete použít integraci po částech. Vzorec integrace po částech je:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) a dv = cos(2x)dx

Nyní najděte (du) a (v):

du = cos(x) dx a v = 1/2 sin(2x)

Použijte vzorec integrace podle částí:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Nyní integrujte zbývající termín na pravé straně. Opět můžete použít integraci po částech:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Pokračujte v procesu, dokud nebude integrál zvládnutelný. Po zjednodušení získáte konečný výsledek:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

kde (C) je konstanta integrace.

Integrál hříchu x – Cvičné otázky

Q1. Najděte integrál sinu od 0 do pí.

Q2. Vypočítejte integrál sinu od -π/2 do π/2.

Q3. Najděte hodnotu integrálu sinus plus kosinus vzhledem k x.

Q4. Vypočítejte integrál sinus (2x) od 0 do π/3.

Q5. Najděte primitivní derivaci sinus (3x) vzhledem k x.

Q6. Vypočtěte integrál sinusu(2x) od π do 2π.

Q7. Integrujte funkci sinus na druhou vzhledem k x.

Q8. Vypočítejte integrál sinusové druhé mocniny od -π/4 do π/4.

Integrál hříchu x – Často kladené otázky

Co je integrál hříchu x?

Integrál hříchu x je -cos x

Co je Sin x?

Sin(x), je trigonometrická funkce, která představuje poměr délky strany protilehlé úhlu k délce přepony v pravoúhlém trojúhelníku.

Co je rozsah hříchu x?

Rozsah Sin x je [-1, 1].

Co je integrál a derivace hříchu x?

Integrál sin x je -cos x a derivace six je cos x

Co je integrál Sin x a Cos x?

Integrál sin x je -cos x + C a negrál cos x je sin x

Co je Integral of Sin 2x?

Integrace sin 2x je (-cos2x)/2 + c