A Hyperbola je hladká křivka v rovině se dvěma větvemi, které se navzájem zrcadlí, připomínající dvě nekonečné úklony. Je to kuželosečka vytvořená protnutím pravého kruhového kužele s rovinou pod úhlem tak, že se obě poloviny kužele protínají.

Pojďme se o Hyperbole dozvědět podrobněji, včetně její rovnice, vzorců, vlastností, grafů a odvození.

Hyperbola

Obsah

• Co je Hyperbola?
• Definice hyperboly
• Hyperbola rovnice
• Části Hyperboly
• Excentricita hyperboly
• Standardní rovnice hyperboly
• Pravá strana Hyperboly
• Odvození rovnice hyperboly
• Formule Hyperbola
• Graf hyperboly
• Konjugovaná hyperbola
• Vlastnosti Hyperboly
• Pomocné kruhy hyperboly
• Obdélníková hyperbola
• Parametrické znázornění hyperboly
• Hyperbola třída 11
• Vyřešené příklady na Hyperbole
• Cvičné problémy na Hyperbole

Co je Hyperbola?

Hyperbola je místo bodů, jejichž rozdíl ve vzdálenostech od dvou ohnisek je pevnou hodnotou. Tento rozdíl získáme odečtením vzdálenosti bližšího ohniska od vzdálenosti vzdálenějšího ohniska.

Jestliže P (x, y) je bod na hyperbole a F, F' jsou dvě ohniska, pak je místo hyperboly

PF – PF' = 2a

Poznámka: Viz diagram přidaný v odvození pro obrázek.

Definice hyperboly

V analytické geometrii je hyperbola typem kuželosečky vytvořené, když rovina protíná obě poloviny dvojitého pravého kruhového kužele pod úhlem . Výsledkem tohoto průniku jsou dvě samostatné, neomezené křivky, které jsou navzájem zrcadlovými obrazy a tvoří hyperbolu.

Hyperbola rovnice

Rovnice hyperboly v jejím standardním tvaru závisí na její orientaci a na tom, zda je vystředěna v počátku nebo v jiném bodě. Zde jsou dvě primární formy pro hyperboly se středem v počátku, jedna se otevírá vodorovně a druhá svisle:

X ² /A ² - a ² /b ² = 1

Tato rovnice představuje hyperbolu, která se otevírá doleva a doprava. Body (±a,0) jsou vrcholy hyperboly umístěné na ose x.

Části Hyperboly

Hyperbola je kuželosečka, která vzniká, když rovina řeže dvojitý pravý kruhový kužel pod úhlem tak, že obě poloviny kužele jsou spojeny. Lze jej popsat pomocí pojmů jako foci, directrix, latus rectum a excentricita.

Excentricita hyperboly

Excentricita hyperboly je poměr vzdálenosti bodu od ohniska k jeho kolmé vzdálenosti od přímky. Označuje se písmenem „ to je '.

• Excentricita hyperboly je vždy větší než 1, tj. e>1.
• Excentricitu hyperboly snadno zjistíme podle vzorce:

e = √[1 + (b ² /A ² )]

kde,

• A je délka hlavní poloosy
• b je Délka vedlejší vedlejší osy

Přečtěte si více: Excentricita

Standardní rovnice hyperboly

Standardní rovnice hyperboly jsou:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

NEBO

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

Hyperbola má dvě standardní rovnice. Tyto rovnice hyperboly jsou založeny na její příčné ose a konjugované ose.

gimp uložit jako jpeg

• Standardní rovnice hyperboly je [(x²/A²) - (a²/b²)] = 1, kde osa X je příčná osa a osa Y je konjugovaná osa.
• Kromě toho další standardní rovnice hyperboly je [(y²/A²)- (X²/b²)] = 1, kde osa Y je příčná osa a osa X je sdružená osa.
• Standardní rovnice hyperboly se středem (h, k) a osou X jako příčnou osou a osou Y jako sdruženou osou,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Dále další standardní rovnice hyperboly se středem (h, k) a osou Y jako příčnou osou a osou X jako sdruženou osou

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Pravá strana Hyperboly

Latus rectum hyperboly je čára procházející kterýmkoli z ohnisek hyperboly a kolmá k příčné ose hyperboly. Koncové body latus rectum leží na hyperbole a její délka je 2b²/A.

Odvození rovnice hyperboly

Uvažujme bod P na hyperbole, jehož souřadnice jsou (x, y). Z definice hyperboly víme, že rozdíl mezi vzdáleností bodu P od dvou ohnisek F a F’ je 2a, tedy PF’-PF = 2a.

Nechť souřadnice ohnisek jsou F (c, o) a F ‘(-c, 0).

Nyní pomocí vzorce souřadnicové vzdálenosti můžeme najít vzdálenost bodu P (x, y) k ohniskům F (c, 0) a F ‘(-c, 0).

√[(x + c)²+ (a – 0)²] – √[(x – c)²+ (a – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ a²] = 2a + √[(x – c)²+ a²]

Nyní, kvadraturou obou stran, dostaneme

(x + c)²+ a²= 4a²+ (x – c)²+ a²+ 4a√[(x – c)²+ a²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ a²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ a²]

Nyní, kvadraturou na obě strany a zjednodušením, dostaneme

[(X²/A²) - (a²/(C²– a²))] = 1

Máme, c²= a²+ b², takže dosazením do výše uvedené rovnice dostaneme

X²/A²- a²/b²= 1

Proto je odvozena standardní rovnice hyperboly.

Podobně můžeme odvodit standardní rovnice jiné hyperboly, tj. [y²/A²- X²/b²] = 1

Formule Hyperbola

Následující vzorce hyperboly jsou široce používány při hledání různých parametrů hyperboly, mezi které patří rovnice hyperboly, hlavní a vedlejší osa, excentricita, asymptoty, vrchol, ohniska a semi-latus rektum.

Kde,

• ( X₀a₀) je středový bod
• A je hlavní poloosa
• b je semi-vedlejší osa.

Graf hyperboly

Hyperbola je křivka, která má dvě neomezené křivky, které jsou navzájem zrcadlovými obrazy. Graf hyperboly ukazuje tuto křivku ve 2-D rovině. Můžeme pozorovat různé části hyperboly v grafech hyperbol pro standardní rovnice uvedené níže:

Rovnice hyperboly	Graf hyperboly	Parametry Hyperboly
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Souřadnice středu: (0, 0) Souřadnice vrcholu: (a, 0) a (-a, 0) Souřadnice ohnisek: (c, 0) a (-c, 0) Délka příčné osy = 2a Délka konjugované osy = 2b Délka latus rectum = 2b2/A Rovnice asymptot: y = (b/a) x a y = -(b/a) x Excentricita (e) = √[1 + (b2/A2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Souřadnice středu: (0, 0) Souřadnice vrcholu: (0, a) a (0, -a) Souřadnice ohnisek: (0, c) a (0, -c) Délka příčné osy = 2b Délka konjugované osy = 2a Délka latus rectum = 2b2/A Rovnice asymptot: y = (a/b) x a y = -(a/b) x Excentricita (e) = √[1 + (b2/A2)]

Konjugovaná hyperbola

Konjugovaná hyperbola jsou 2 hyperboly, takže příčná a konjugovaná osa jedné hyperboly jsou konjugovanou a příčnou osou druhé hyperboly.

Konjugovaná hyperbola (x²/ a²) - (a²/b²) = 1 je,

(X ² / a ² ) - (a ² / b ² ) = 1

Kde,

• A je hlavní poloosa
• b je polo-vedlejší osa
• to je je excentricita Paraboly
• A ² = b ² (To je ² − 1)

Vlastnosti Hyperboly

• Pokud jsou excentricity hyperboly a její konjugátu např₁a e₂pak,

(1 a ₁ ² ) + (1 / e ₂ ² ) = 1

• Ohniska hyperboly a její konjugát jsou koncyklické a tvoří vrcholy čtverce.
• Hyperboly jsou si rovny, pokud mají stejný latus rectum.

Pomocné kruhy hyperboly

Pomocná kružnice je kružnice, která je nakreslena se středem C a průměrem jako příčná osa hyperboly. Pomocná kružnice rovnice hyperboly je,

X ² + a ² = a ²

Obdélníková hyperbola

Hyperbola s příčnou osou 2a jednotek a konjugovanou osou 2b jednotek stejné délky se nazývá Obdélníková hyperbola. tedy v obdélníkové hyperbole,

2a = 2b

⇒ a = b

Rovnice pravoúhlé hyperboly je dána takto:

X ² - a ² = a ²

Poznámka: Excentricita obdélníkové hyperboly je √2.

Parametrické znázornění hyperboly

Parametrické znázornění pomocných kružnic hyperboly je:

x = a sec θ, y = b tan θ

Lidé také čtou

• Kónická sekce
• Parabola
• Kruh
• Elipsa

Hyperbola třída 11

V matematice třídy 11 je studium hyperbol součástí kuželoseček v analytické geometrii. Pochopení hyperbol na této úrovni zahrnuje zkoumání jejich definice, standardních rovnic, vlastností a různých prvků s nimi spojených.

Učební osnovy třídy 11 obvykle zahrnují odvození těchto rovnic a vlastností, skicování hyperbol na základě daných rovnic a řešení problémů souvisejících s prvky a pozicemi hyperboly. Zvládnutí těchto konceptů poskytuje pevný základ v analýze geometrie , připravující studenty pro další studium matematiky a příbuzných oborů.

Shrnutí – Hyperbola

Hyperbola je typ kuželosečky, která se tvoří, když rovina protíná kužel pod úhlem tak, že vznikají dvě samostatné křivky. Hyperbola se vyznačuje svou zrcadlovou symetrií a skládá se ze dvou oddělených větví, z nichž každá se zakřivuje směrem od druhé. Lze jej definovat matematicky v souřadnicové rovině pomocí standardní rovnice, která se mění na základě její orientace – buď horizontální nebo vertikální – a toho, zda je její střed v počátku nebo v jiném bodě.

Standardní formuláře jsou X ² /A ² - a ² /b ² = 1 pro horizontální otevření hyperboly a a ² /A ² - X ² /b ² = 1 pro jeden otvor svisle, s variantami pro přizpůsobení středu posunutému do (h,k). Klíčové vlastnosti hyperbol zahrnují vrcholy, nejbližší body na každé větvi ke středu; ohniska, body, od nichž vzdálenosti k libovolnému bodu na hyperbole mají konstantní rozdíl; a asymptoty, čáry, ke kterým se větve přibližují, ale nikdy se jich nedotýkají.

Vlastnosti hyperbol je činí významnými v různých oblastech, včetně astronomie, fyziky a inženýrství, pro modelování a analýzu hyperbolických trajektorií a chování.

Vyřešené příklady na Hyperbole

Otázka 1: Určete excentricitu hyperboly x ² /64 – a ² /36 = 1.

Řešení:

Rovnice hyperboly je x²/64 – a²/36 = 0

Porovnáním dané rovnice se standardní rovnicí hyperboly x²/A²- a²/b²= 1, dostáváme

A²= 64, ž²= 36

⇒ a = 8, b = 6

My máme,

Excentricita hyperboly (e) = √(1 + b²/A²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √ (1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Excentricita dané hyperboly je tedy 1,25.

Otázka 2: Je-li rovnice hyperboly [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, najděte délky hlavní osy, vedlejší osy a latus rectum.

Řešení:

Rovnice hyperboly je [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Porovnáním dané rovnice se standardní rovnicí hyperboly, (x – h)²/A²– (a – k)²/b²= 1

Zde je x = 4 hlavní osa a y = 3 je vedlejší osa.

A²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Délka hlavní osy = 2a = 2 × (5) = 10 jednotek

Délka vedlejší osy = 2b = 2 × (3) = 6 jednotek

Délka latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 jednotek

Otázka 3: Najděte vrchol, asymptotu, hlavní osu, vedlejší osu a směrovou přímku, pokud je rovnice hyperboly [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Řešení:

Rovnice hyperboly je [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Porovnáním dané rovnice se standardní rovnicí hyperboly, (x – h)²/A²– (a – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Vrchol hyperboly: (h + a, k) a (h – a, k) = (13, 2) a (-1, 2)

Hlavní osa Hyperboly je x = h x = 6

Vedlejší osa Hyperboly je y = k y = 2

Rovnice asymptot hyperboly jsou

y = k − (b / a) x + (b / a) ha y = k+ (b / a) x – (b / a) h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 a y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 a y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x a y = -1,43 + 0,57x

Rovnice přímky hyperboly je x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Otázka 4: Najděte excentricitu hyperboly, jejíž latus rectum je polovinou její konjugované osy.

Řešení:

Délka latus rectum je polovina jeho konjugované osy

Nechť, rovnice hyperboly je [(x²/ a²) - (a²/ b²)] = 1

Konjugovaná osa = 2b

Délka Latus rectum = (2b²/ a)

Z uvedených údajů (2b²/ a) = (1/2) x 2b

2b = a

příklad formátu json

My máme,

Excentricita hyperboly (e) = √[1 + (b²/A²)]

Nyní dosaďte a = 2b do vzorce excentricity

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √ (5/4)

⇒ e = √5/2

Požadovaná excentricita je tedy √5/2.

Cvičné problémy na Hyperbole

P1. Najděte rovnici standardního tvaru hyperboly s vrcholy (-3, 2) a (1, 2) a ohniskovou vzdáleností 5.

P2. Určete střed, vrcholy a ohniska hyperboly pomocí rovnice 9x ² – 4 roky ² = 36.

P3. Vzhledem k hyperbole s rovnicí (x – 2) ² /16 – (a + 1) ² /9 = 1, najděte souřadnice jeho středu, vrcholů a ohnisek.

P4. Napište rovnici hyperboly s vodorovnou hlavní osou, středem v (0, 0), vrcholem v (5, 0) a ohniskem v (3, 0).

Hyperbola – FAQ

Co je hyperbola v matematice?

Místo bodu v rovině, jehož poměr vzdálenosti od pevného bodu k vzdálenosti od pevné čáry je konstanta větší než 1, se nazývá hyperbola.

Co je standardní rovnice hyperboly?

Standardní rovnice hyperboly je

(X ² /A ² ) - (a ² /b ² ) = 1

Co je excentricita hyperboly?

Excentricita hyperboly je poměr vzdálenosti bodu od ohniska k jeho kolmé vzdálenosti od přímky. Pro Hyperbolu je excentricita vždy větší než 1.

Co je vzorec excentricity hyperboly?

Vzorec pro excentricitu hyperboly je e = √(1 + (b ² /A ² ))

Jaké jsou Foci z Hyperboly?

Hyperbola má dvě ohniska. Pro hyperbolu (x²/A²) - (a²/b²) = 1, ohniska jsou dána (ae, 0) a (-ae, 0)

Co je příčná osa hyperboly?

Pro hyperbolu (x²/A²) - (a²/b²) = 1, příčná osa je podél osy x. Jeho délka je dána vztahem 2a. Čára procházející středem a ohniskem hyperboly se nazývá příčná osa hyperboly.

Co jsou asymptoty hyperboly?

Čáry rovnoběžné s hyperbolou, které se setkávají s hyperbolou v nekonečnu, se nazývají asymptoty hyperboly.

Kolik asymptot má Hyperbola?

Hyperbola má 2 asymptoty. Asymptoty je přímka tečná k hyperbole, která se s hyperbolou setkává v nekonečnu.

K čemu se Hyperbola používá?

Hyperboly nacházejí uplatnění v různých oblastech, jako je astronomie, fyzika, inženýrství a ekonomie. Používají se mimo jiné v družicových trajektoriích, vzorech rádiového přenosu, zaměřování dělostřelectva, finančním modelování a nebeské mechanice.

Jaký je rozdíl mezi Parabolou a Hyperbolou ve standardní formě?

Ve standardní formě rovnice paraboly obsahuje členy umocněné na 1 a 2, zatímco rovnice hyperboly obsahuje členy umocněné na 2 a -2. Také parabola je charakterizována jedním zaostřovacím bodem, zatímco hyperbola má dva.

Co je základní rovnice grafu hyperboly?

Základní rovnice hyperbolového grafu je:

(x – h)²/ a²– (a – k)²/ b²= 1

Nebo

(a – k)²/ b²– (x -h)²/ a²= 1

Jaké jsou typy hyperboly?

Hyperboly lze rozdělit do tří typů na základě jejich orientace: horizontální, vertikální a šikmé hyperboly.

Jak identifikujete rovnici Hyperbola?

Hyperbola rovnice typicky zahrnuje termíny s oběma X a a proměnných, s rozdílem mezi čtverci X a a koeficienty a koeficienty těchto členů jsou kladné a záporné.

Co je vzorec B v Hyperbole?

Ve standardním tvaru rovnice hyperboly, B představuje délku konjugované osy a její vzorec je B = 2 b , kde b je vzdálenost od středu k vrcholům podél konjugované osy.

Jak nakreslit hyperbolu?

Chcete-li nakreslit hyperbolu, obvykle začnete vykreslením středového bodu a poté označíte vrcholy, ohniska, asymptoty a další klíčové body na základě dané rovnice nebo vlastností. Nakonec načrtněte křivky hyperboly pomocí těchto bodů jako vodítek.