V tomto článku se budeme zabývat analýzou Fourierovy transformace nebo Fourierovou transformací v analýze obvodů. Fourierova transformace je v podstatě matematická operace, která rozkládá signál na jeho základní frekvenční složky. Jednoduše řečeno, převádí signál z časové oblasti do frekvenční oblasti. Časová doména bude reprezentovat signál jako funkci času, zatímco frekvenční doména reprezentuje signál jako funkci frekvence.

Fourierova transformace

Fourierova transformace je úžasný výkonný nástroj pro analýzu chování různých druhů obvodů, protože nám umožňuje vidět, jak obvod reaguje na různých frekvencích. To je užitečné pro různé druhy úkolů, jako jsou:

• Analýza odezvy obvodu na libovolné vstupní signály: To lze snadno použít k návrhu obvodů, které dokážou zpracovat obrovský rozsah vstupních signálů, jako jsou audio signály nebo video signály.
• Identifikace rezonančních frekvencí obvodu: Rezonanční frekvence jsou frekvence, při kterých obvod zesiluje signály. Tyto informace lze použít k návrhu obvodů, které by měly pracovat na konkrétních frekvencích, jako jsou filtry nebo oscilátory.
• Návrh filtrů pro odstranění nežádoucích frekvenčních složek ze signálu: Filtry lze většinou použít k odstranění šumu nebo rušení ze signálu nebo k extrakci specifických frekvenčních složek z konkrétního signálu.
• Pochopení stability obvodu: Stabilní obvod je takový, který jednoduše nebude oscilovat ani divergovat. Fourierova transformace může být použita k analýze stability obvodu pouhým pohledem na frekvenční odezvu obvodu.

Fourierova transformace se také používá v mnoha dalších oblastech, včetně zpracování signálu, zpracování obrazu a kvantové mechaniky.

V tomto článku budeme diskutovat o následujících tématech, která souvisejí s Fourierovou transformací v analýze obvodů:

• Typy Fourierových transformací
• Vlastnosti Fourierovy transformace
• Aplikace Fourierovy transformace v obvodové analýze

Budeme také diskutovat o příkladech a ilustracích, které pomohou správně porozumět pojmům.

Pochopení důvodu evoluce

Fourierova transformace byla poprvé vyvinuta známým francouzským matematikem Jean-Baptistem Josephem Fourierem na počátku 19. století. Hluboce se zajímal o řešení rovnice vedení tepla, což je parciální diferenciální rovnice. Fourier si uvědomil, že by mohl rovnici vyřešit jednoduchým rozkladem počáteční distribuce teploty na její sinusové a kosinové vlny.

Fourierova transformace byla od té doby aplikována na širokou škálu problémů ve fyzice a inženýrství, které zahrnují analýzu obvodů. Při analýze obvodu lze Fourierovu transformaci použít k analýze odezvy obvodu na libovolné vstupní signály.

Účinky Fourierovy transformace

Fourierova transformace má velký počet důležitých účinků na analýzu obvodu. Nejprve nám umožňuje analyzovat odezvu obvodu na libovolné vstupní signály. Za druhé, umožňuje nám identifikovat rezonanční frekvence obvodu. Za třetí nám umožňuje navrhnout filtry, které se používají k odstranění nežádoucích frekvenčních složek ze signálu.

Vzorec Fourierovy transformace

Fourierova transformace signálu x(t) je označena X(f) a je definována takto:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

Zde f je frekvence v parametru Hertz.

Zápis použitý ve vzorci Fourierovy transformace je:

• x(t) je signál v časové doméně.
• X(f) je signál ve frekvenční doméně.
• j je imaginární jednotka.
• e −j2πft je komplexní exponenciální funkce.

Typy Fourierovy transformace

Existují hlavně dva typy Fourierových transformací:

• Spojitá Fourierova transformace (CFT)
• Diskrétní Fourierova transformace (DFT) .

Spojitá Fourierova transformace (CFT)

CFT je definován pro signály se spojitým časem, což jsou v podstatě signály, které mohou kdykoli nabývat jakékoli hodnoty.

Spojitá Fourierova transformace (CFT) signálu x(t) může být definována následovně:

X(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-j2pi ft} dt>

kde f je frekvence v Hertzech.

Zápis použitý ve vzorci CFT je:

• x(t) je signál časové domény.
• X(f) je signál ve frekvenční doméně.
• j je imaginární jednotka.
• e −j2πft je komplexní exponenciální funkce.

Odvození CFT

CFT lze snadno odvodit z Fourierovy řady periodického signálu. Fourierova řada periodického signálu x(t) s periodou T je dána vztahem:

x(t) = sum_{n=-infty}^{infty} c_n e^{j2pi nfrac{t}{T}}>

Tady Cn jsou Fourierovy koeficienty signálu.

CFT lze získat jednoduše tím, že vezmeme limitu Fourierovy řady, když se perioda T blíží k nekonečnu. V tomto limitu se Fourierovy koeficienty stávají spojitou funkcí frekvence a Fourierova řada se stává CFT.

Diskrétní Fourierova transformace (DFT)

DFT je definován pro signály s diskrétním časem, což jsou signály, které mohou nabývat pouze určitých hodnot v určitých určitých časech.

Diskrétní Fourierova transformace (DFT) signálu s diskrétním časem x[n] může být definována následovně:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Zde k je frekvenční index a N je délka konkrétního signálového signálu.

Zápis použitý ve vzorci DFT je:

jfx java tutoriál

• x[n] je signál v diskrétním čase.
• X[k] je signál ve frekvenční doméně.
• j je imaginární jednotka.
• e −j2πkn/N
• je komplexní exponenciální funkce.

Odvození DFT

Jednoduše řečeno, CFT je v zásadě definován pro signály se spojitým časem , zatímco DFT je definován pro signály v diskrétním čase . DFT se většinou používá jako typ Fourierovy transformace v analýze obvodů, stejně jako většina elektronických obvodů, které pracují na signálech s diskrétním časem.

DFT signálu s diskrétním časem x[n] je označen X[k] a je definován takto:

X[k] = sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2pi kn/N}>

Zde k je frekvenční index a N je délka signálu.

DFT lze odvodit z CFT jednoduchým vzorkováním CFT na diskrétních frekvencích:

X[k] = X(f = k/N)>

Příklady Fourierovy transformace s diagramem

Podívejme se na následující příklad obvodu:

Jednoduchý RC obvod

Zde je vstupem do obvodu obdélníková vlna a výstupem je filtrovaná obdélníková vlna. Kde Fourierova transformace vstupní obdélníkové vlny je série impulsů na harmonických frekvencích. Fourierova transformace výstupní obdélníkové vlny je série zeslabených impulsů na harmonických frekvencích.

Zde je následující diagram, který ukazuje Fourierovy transformace vstupních a výstupních signálů:

Fourierova transformace Vstup Výstup

Vlastnosti

Fourierova transformace má řadu důležitých vlastností, mezi které patří:

• Fourierova transformace reálného signálu je konjugovaná symetrická.
• Fourierova transformace lineární kombinace signálů je lineární kombinací Fourierových transformací jednotlivých signálů.
• Fourierova transformace časově posunutého signálu je frekvenčně posunutý signál.
• Fourierova transformace frekvenčně posunutého signálu je časově posunutý signál.

Charakteristika

Fourierova transformace signálu má tyto vlastnosti:

• Velikost Fourierovy transformace signálu bude představovat amplitudu frekvenčních složek signálu.
• Fáze Fourierovy transformace signálu bude představovat fázi frekvenčních složek signálu.

Aplikace

Fourierova transformace má obrovské množství aplikací v analýze obvodů, které zahrnují:

• Analýza dané odezvy obvodu na libovolné vstupní signály.
• Identifikace rezonančních frekvencí obvodu.
• Navrhování filtrů pro odstranění nežádoucích frekvenčních složek ze signálu.

Výhody a nevýhody

Některé z výhod a nevýhod Fourierovy transformace jsou:

přenést řetězec do int java

výhody:

• Fourierova transformace je nejmocnějším nástrojem pro analýzu frekvenční odezvy obvodů.
• Lze jej použít k návrhu filtrů k odstranění nežádoucích frekvenčních složek ze signálu.

Nevýhody:

• Fourierova transformace může být mnohem složitější na pochopení a použití.
• Výpočet Fourierovy transformace může být výpočetně dražší.

Rozdíl mezi Laplaceovou transformací a Fourierovou transformací

V zásadě je Fourierova transformace většinou podobná Laplaceově transformaci, ale existuje několik klíčových rozdílů. V tom, že Fourierova transformace je definována pro signály se spojitým časem, střední hodnota, zatímco Laplaceova transformace je definována pro signály se spojitým i diskrétním časem. Navíc Fourierova transformace není vhodná pro analýzu přechodných signálů, zatímco Laplaceova transformace je v ní užitečná.

Dopředná a inverzní Fourierova transformace

Dopředná Fourierova transformace může převádět signál z časové oblasti do frekvenční oblasti. Inverzní Fourierova transformace by měla převádět signál z frekvenční oblasti do časové oblasti.

Inverzní Fourierova transformace je definována takto:

x(t) = int_{-infty}^{infty} X(f) e^{j2pi ft} df>

Dopředná sinusová transformace a Fourierova kosinová transformace

Dopředná sinusová transformace a dopředná kosinová transformace jsou v podstatě dvě varianty Fourierovy transformace. Dopředná sinusová transformace je definována takto:

S(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) sin(2pi ft) dt>

Dopředná kosinusová transformace je definována takto:

C(f) = int_{-infty}^{infty} x(t) cos(2pi ft) dt>

Dopředná sinusová transformace a dopředná kosinusová transformace jsou velmi užitečné pro analýzu signálů se sudou a lichou symetrií.

Závěr

Celkově je Fourierova transformace nejdůležitějším nástrojem pro analýzu obvodů. Poskytuje nám oprávnění porozumět tomu, jak obvody reagují na různé frekvence, což je důležitější pro navrhování a analýzu elektronických obvodů. Fourierova transformace má jiný druh aplikací v obvodové analýze, včetně analýzy odezvy obvodu na libovolné vstupní signály, identifikace rezonančních frekvencí daného obvodu, navrhování filtrů k odstranění nežádoucích frekvenčních složek ze signálu a pochopení stability obvodu. obvod.

Fourierova transformace se také používá v mnoha dalších oblastech, které zahrnují zpracování signálu, zpracování obrazu a kvantovou mechaniku. Jedná se o velmi všestranný a výkonný nástroj s širokou škálou aplikací.

Zde jsou některé další pozorné myšlenky o důležitosti Fourierovy transformace v analýze obvodů:

abc s čísly

• Fourierova transformace nám jednoduše umožňuje analyzovat lineární a nelineární obvody.
• Fourierova transformace může být použita k analýze různých druhů obvodů v časové nebo frekvenční oblasti.
• Fourierovu transformaci lze použít pro analýzu obvodů s více vstupy a výstupy.
• Fourierova transformace může být použita k analýze obvodů se zpětnovazebními smyčkami.

Fourierova transformace je mocný nástroj, který lze použít k analýze široké škály problémů s obvody. Je to nezbytný nástroj pro každého obvodového inženýra.

Často kladené otázky

1. Jaký je rozdíl mezi Fourierovou transformací a Laplaceovou transformací?

Laplaceovo použití pro CFT i DFT, ale ne pro Fourierovu transformaci

2. Proč je Fourierova transformace důležitá při analýze obvodů?

Fourierova transformace je v analýze obvodů důležitější právě proto, že nám umožňuje analyzovat frekvenční odezvu obvodů. Frekvenční odezva

3. Jaké jsou některé aplikace Fourierovy transformace v analýze obvodů?

Fourierova transformace může být použita pro různé úkoly v analýze obvodů, jako jsou:

Analýza odezvy obvodu na libovolné vstupní signály.

Identifikace rezonančních frekvencí obvodu.

Navrhování filtrů pro odstranění nežádoucích frekvenčních složek ze signálu.

Pochopení stability obvodu.