Veličina, která je charakterizována nejen velikostí, ale také svým směrem, se nazývá vektor. Rychlost, síla, zrychlení, hybnost atd. jsou vektory.

Vektory lze násobit dvěma způsoby:

• Skalární součin nebo bodový součin
• Vektorový produkt nebo křížový produkt

Obsah

Java generuje náhodné číslo

• Skalární součin/bodový součin vektorů
• Projekce jednoho vektoru na druhý vektor
• Vlastnosti skalárního produktu
• Nerovnosti založené na bodovém produktu
• Křížový součin/vektorový součin vektorů
• Vlastnosti Cross Product
• Křížový produkt ve formě determinantu
• Dot and Cross Product
• Nejčastější dotazy týkající se bodových a křížových produktů na vektorech

Skalární součin/bodový součin vektorů

Výsledný skalární součin/bodový součin dvou vektorů je vždy skalární veličina. Uvažujme dva vektory A a b . Skalární součin se vypočítá jako součin velikostí a, b a kosinusu úhlu mezi těmito vektory.

Skalární součin = |a||b| cos α

Tady,

• |a| = velikost vektoru A,
• |b| = velikost vektoru b , a
• α = úhel mezi vektory.

Vektory a a b s úhlem α mezi nimi

Projekce jednoho vektoru na druhý vektor

Vektor A lze promítnout na řádek l, jak je znázorněno níže:

CD = projekce vektoru a na vektor b

Z výše uvedeného obrázku je zřejmé, že můžeme promítnout jeden vektor přes druhý vektor. AC je velikost vektoru A. Na výše uvedeném obrázku je AD nakreslena kolmo k přímce l. CD představuje projekci vektoru A na vektoru b .

Trojúhelník ACD je tedy pravoúhlý trojúhelník a můžeme použít trigonometrické vzorce.

Jestliže α je míra úhlu ACD, pak

cos α = CD/AC

Nebo, CD = AC cos a

Z obrázku je zřejmé, že CD je projekce vektoru a na vektor b

Můžeme tedy dojít k závěru, že jeden vektor lze promítnout přes druhý vektor o kosinus úhlu mezi nimi.

Vlastnosti skalárního produktu

• Skalární součin dvou vektorů je vždy reálné číslo (skalární).
• Skalární součin je komutativní, tj. a.b =b.a= |a||b| cos α
• Je-li α 90°, pak je skalární součin nula jako cos(90) = 0. Skalární součin jednotkových vektorů ve směrech x, y je tedy 0.
• Je-li α 0°, pak je skalární součin součinem velikostí A a b |a||b|.
• Skalární součin jednotkového vektoru se sebou samým je 1.
• Skalární součin vektoru a se sebou samým je |a|²
• Pokud α je 180⁰, skalární součin pro vektory a a b je -|a||b|
• Skalární součin je distributivní přes sčítání

A. ( b + C ) = a.b + a.c

• Pro jakékoli skalární k a m ​​pak

l A. (m b ) = km a.b

• Pokud je složkový tvar vektorů dán takto:

A = a₁x + a₂a + a₃S

b = b₁x + b₂y + b₃S

pak je skalární součin dán jako

a.b = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃

• Skalární součin je nula v následujících případech:
  • Velikost vektoru a je nulová
  • Velikost vektoru b je nulová
  • Vektory a a b jsou na sebe kolmé

Nerovnosti založené na bodovém produktu

Existují různé nerovnosti založené na bodovém součinu vektorů, jako například:

• Cauchy – Schwartzova nerovnost
• Trojúhelníková nerovnost

Probereme je podrobně následovně:

Cauchy – Schwartzova nerovnost

Podle tohoto principu pro libovolné dva vektory A a b , velikost bodového součinu je vždy menší nebo rovna součinu velikostí vektoru a a vektoru b

|a.b| ≤ |a| |b|

Důkaz:

Protože a.b = |a| |b| cos α

Víme, že 0

Došli jsme tedy k závěru, že |a.b| ≤ |a| |b|

Trojúhelníková nerovnost

Pro libovolné dva vektory A a b , máme vždy

| A + b | ≤ | A | + | b |

Trojúhelníková nerovnost

Důkaz:

| A + b |²=| A + b || A + b |

= a.a + a.b + b.a + b.b

= | A |²+ 2 a.b +| b |²(tečkový součin je komutativní)

≤ | A |²+ 2| a||b | + | b |²

≤ ( |a | + | b| )²

To dokazuje, že | A + b | ≤ | A | + | b|

Příklady bodového součinu vektorů

Příklad 1. Uvažujme dva vektory takové, že |a|=6 a |b|=3 a α = 60°. Najděte jejich bodový produkt.

Řešení:

a.b = |a| |b| cos α

Tak, a.b = 6,3.cos (60°)

=18(1/2)

a.b = 9

Příklad 2. Dokažte, že vektory a = 3i+j-4k a vektor b = 8i-8j+4k jsou kolmé.

Řešení :

Víme, že vektory jsou kolmé, pokud je jejich bodový součin nulový

a.b = (3i+j-4k)(8i-8j+4k)

= (3)(8) +(1)(-8)+(-4)(4)

=24-8-16 =0

icloud obrázky pro android

Protože skalární součin je nulový, můžeme usoudit, že vektory jsou na sebe kolmé.

Křížový součin/vektorový součin vektorů

Čtenáři již znají trojrozměrný pravoúhlý pravoúhlý souřadnicový systém. V tomto systému otáčení osy x proti směru hodinových ručiček do kladné osy y ukazuje, že pravotočivý (standardní) šroub by postupoval ve směru kladné osy z, jak je znázorněno na obrázku.

3D obdélníkový souřadnicový systém

The vektorový součin nebo křížový součin dvou vektorů A a b s úhlem α mezi nimi se matematicky vypočítá jako

a × b = |a| |b| bez α

Je třeba poznamenat, že křížový součin je vektor se specifikovaným směrem. Výslednice je vždy kolmá k a i b.

Také, pokud jsou uvedeny dva vektory,mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)amathbf{b} = (b_1, b_2, b_3), jejich křížový součin, označený a × b, se vypočítá jako:

mathbf{a} imes mathbf{b} = (a_2b_3 – a_3b_2, a_3b_1 – a_1b_3, a_1b_2 – a_2b_1)

V případě, že aab jsou paralelní vektory, výslednice bude nula jako sin(0) = 0

Vlastnosti Cross Product

• Cross Product generuje vektorové množství. Výslednice je vždy kolmá k a i b.
• Křížový součin paralelních vektorů/kolineárních vektorů je nula, protože sin(0) = 0.

i × i = j × j = k × k = 0

• Křížový součin dvou vzájemně kolmých vektorů s jednotkovou velikostí je každý jednotný. (Protože sin(0)=1)
• Křížový součin není komutativní.

a × b se nerovná b × a

• Křížový produkt je rozdělovací přes sčítání

a × ( b + C ) = A × b + A × C

• Pokud je k skalár, pak

k(a × b) = k(a) × b = a × k(b)

• Pohybem ve směru hodinových ručiček a křížovým součinem libovolných dvou párů jednotkových vektorů dostaneme třetí a proti směru hodinových ručiček zápornou výslednici.

Křížový produkt ve směru a proti směru hodinových ručiček

Lze stanovit následující výsledky:

Křížový produkt ve formě determinantu

Pokud je vektor A je reprezentován jako a = a1x + a2y + a3z a vektor b je reprezentován jako b = b1x + b2y + b3z

Pak křížový produkt a × b lze vypočítat pomocí determinantové formy

egin{array}{ccc} x & y & z a 1 & a 2 & a 3 b 1 & b 2 & b 3 end{array}

Pak, a × b = x(a₂b₃– b₂A₃) + y (a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

Jestliže a a b jsou sousední strany rovnoběžníku OXYZ a α je úhel mezi vektory a a b.

Potom je plocha rovnoběžníku dána | a × b | = |a| |b|sin.a

Vektory a a b jako sousední strany rovnoběžníku

Příklady z C Ross produkt společnosti Vectors

Příklad 1. Najděte křížový součin dvou vektorů a a b, pokud jsou jejich velikosti 5 a 10. Vzhledem k tomu, že úhel mezi tím je 30°.

Řešení:

a × b = a.b.sin (30) = (5) (10) (1/2) = 25 kolmo k A a b

Příklad 2. Najděte obsah rovnoběžníku, jehož přilehlé strany jsou

a = 4i+2j-3k

b= 2i +j-4k

Řešení :

Plocha se vypočítá nalezením křížového součinu sousedních stran

a × b = x (a₂b₃– b₂A₃) + y (a₃b₁– a₁b₃) + z(a₁b₂– a₂b₁)

= i(-8+3) + j(-6+16) + k(4-4)

= -5i +10j

Velikost plochy je tedysqrt{(5^2 +10^2)}

=sqrt{(25+100)}

=sqrt{(125)} =5sqrt{5}

Dot and Cross Product

Některé z běžných rozdílů mezi bodovým a křížovým součinem vektorů jsou:

Přečtěte si více,

• Vektorová algebra
• Skalární a vektorové
• Skalární součin dvou vektorů
• Produkt vektorů

Nejčastější dotazy týkající se bodových a křížových produktů na vektorech

Co geometricky představuje bodový součin?

Bodový součin dvou vektorů představuje projekci jednoho vektoru na druhý, zmenšený podle jejich velikostí a kosinusu úhlu mezi nimi.

řetězec v porovnání s javou

Jak se bodový součin používá v geometrii?

Používá se k nalezení úhlů mezi vektory, určování ortogonálních vektorů, výpočtu projekcí a měření podobnosti mezi vektory.

Co se stane, když je bodový součin dvou vektorů nulový?

Pokud je bodový součin nula, znamená to, že vektory jsou navzájem ortogonální (kolmé).

Co geometricky znázorňuje křížový součin?

Křížový součin dvou vektorů představuje vektor kolmý k rovině obsahující původní vektory. Jeho velikost se rovná ploše rovnoběžníku tvořeného vektory.

Jak zjistíte směr křížového produktu?

Použijte pravidlo pravé ruky: Ukažte palec pravé ruky ve směru prvního vektoru, ukazováček ve směru druhého vektoru a prostředníček bude ukazovat ve směru součinu kříže.