Nechť A, B a C jsou množiny a R je relace z A do B a S je relace z B do C. To znamená, že R je podmnožina A × B a S je podmnožina B × C. Potom R a S dávají vzniknout vztahu od A k C označenému R◦S a definovanému vztahem:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

Vztah R◦S je znám jako složení R a S; někdy se označuje jednoduše RS.

Nechť R je relace na množině A, tedy R je relace z množiny A k sobě samé. Potom je vždy reprezentováno R◦R, složení R se sebou samým. Také R◦R je někdy označováno R². Podobně R³= R²◦R = R◦R◦R a tak dále. Tak Rⁿje definována pro všechna kladná n.

Příklad1: Nechť X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} a Z = {l, m, n}. Zvažte vztah R₁od X do Y a R₂od Y do Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Najděte složení vztahu (i) R₁R₂ (ii) R₁R₁^-1

Řešení:

(i) Kompoziční vztah R₁R₂jak je znázorněno na obr:

R₁R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Kompoziční vztah R₁R₁^-1jak je znázorněno na obr:

R₁R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Složení vztahů a matic

Existuje další způsob, jak najít R◦S. Ať M_Ra M_Soznačte příslušně maticové reprezentace relací R a S. Potom

Příklad

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Řešení: Matice vztahu R a S jsou znázorněny na obr.

(i) Chcete-li získat složení vztahu R a S. Nejprve vynásobte M_Rs M_Szískat matici M_Rx M_Sjak je znázorněno na obr:

Nenulové položky v matici M_Rx M_Sříká prvky související v RoS. Tak,

Složení R o S vztahu R a S je tedy

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Nejprve vynásobte matici M_Rsám o sobě, jak je znázorněno na Obr

Tedy složení R nebo R vztahu R a S je

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Vynásobte matici M_Ss M_Rzískat matici M_Sx M_Rjak je znázorněno na obr:

Nenulové položky v matici M_Sx M_Rříká prvky související v S nebo R.

windows.open javascript

Tedy složení S nebo R vztahu S a R je

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.