Úhel mezi dvěma vektory je úhel mezi jejich konci a tento úhel lze snadno najít pomocí křížového součinu a bodového součinu vektorových vzorců. Úhel mezi dvěma vektory je vždy mezi 0° a 180°.

V tomto článku se podrobně dozvíme o úhlu mezi dvěma vektory, definici, vzorcích a příkladech.

Jaký je úhel mezi dvěma vektory?

Úhel mezi dvěma vektory je úhel vytvořený v průsečíku jejich ocasů. Úhel mezi dvěma vektory může být ostrý, pravý nebo tupý v závislosti na směru vektorů.

Úhel mezi dvěma vektory se zjistí pomocí dvou vzorců:

• Použití bodového součinu vektorů
• Použití křížového součinu vektorů

To je vysvětleno ve vzorci níže.

Úhel mezi dvěma vektory vzorců

Úhel mezi dvěma vektory lze snadno a nejčastěji nalézt pomocí skalárního součinu vektorů.

Dva vektory A a B

Tečkovaný produkt z A a B je dáno,

vec{A}.vec{B} = |A| |B| cosθ.

Speciální případy

• Když je úhel mezi vektory 0 stupňů.

To je θ = 0°

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos0°

⇒ |A| |B| [cos0° = 1]

• Když je úhel mezi vektory 180 stupňů.

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos180°

⇒ – |A| |B| [cos180° = -1]

• Když je úhel mezi vektory 90 stupňů.

⇒ |A| |B| cosθ

⇒ |A| |B| cos90°

⇒ |A| |B| × 0 [cos90° = 0]

náhodný c

⇒ 0

Vzorec Pro úhel Mezi dvěma vektory

Kosinus úhlu mezi dvěma vektory je roven součtu součinu jednotlivých složek dvou vektorů dělenému součinem velikosti obou vektorů.

Dva vektory A a B

vec{A}.vec{B} =| A | | B | cosθ.

cosθ=frac{vec{A}.vec{B}}B

θ= cos^-1 frac{vec{A}.vec{B}}B

V kartézské formě,

A = A_Xi + A_aj + A_Sk

B = B_Xi + B_aj + B_Sk

cos θ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Vlastnosti produktu Dot

• Bodový součin je komutativní

vec{A}.vec{B}=vec{B}.vec{A}

• Dot produkt je distribuční

vec{A}.(vec{B}+vec{C})=(vec{A}.vec{B}+vec{A}.vec{C})

Úhel mezi dvěma vektory leží mezi 0 ≤ θ ≤ 180. Když se konce nebo hlavy obou vektorů shodují, vypočítá se úhel mezi vektory.

Ocas se shoduje

Hlava se shoduje

Vzorové problémy Úhel mezi dvěma vektory vzorce

Úloha 1: Najděte úhel mezi vektory (pokud tvoří rovnostranný trojúhelník)

• a a b vektory
• b a c vektory
• a a c vektory

Rovnostranný trojúhelník tvořený vektorem a, b, c

Řešení:

• a a b vektory

Pro vektor a a b se hlava obou vektorů vzájemně shoduje, takže úhel mezi vektorem a a b je stejný jako úhel mezi dvěma stranami rovnostranného trojúhelníku = 60°.

• b a c vektory:

Z výše uvedeného obrázku vidíme, že hlava nebo konec vektoru b a c se navzájem neshodují.

Takže pomocí vlastnosti- A vektor zůstane nezměněn, pokud je přenášen paralelně sám se sebou.

Vektor c je posunut rovnoběžně sám se sebou

Nyní vidíme, že konce vektorů b a c jsou navzájem shodné, takže je stejný jako vnější úhel s rovnostranným trojúhelníkem = 120°.

• a a c vektory

Ocas a a c se shodují

Pro vektory a a c se konce obou vektorů vzájemně shodují, takže úhel mezi vektory a a c je stejný jako úhel mezi dvěma stranami rovnostranného trojúhelníku = 60°.

Úloha 2: Najděte úhly mezi vektory, pokud tvoří rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník.

• a a b vektor
• b a c vektor
• a a c vektory

Řešení:

• a a b vektor

Pravý úhel Rovnoramenný trojúhelník

Z výše uvedeného obrázku vidíme, že hlava nebo konec vektoru aab se navzájem neshodují. Takže pomocí vlastnosti- A vektor zůstane nezměněn, pokud je přenášen paralelně sám se sebou.

vektor je posunut rovnoběžně sám se sebou

Nyní se konce vektorů aab shodují a svírají úhel stejný jako vnější úhel pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku = 135°.

• b a c vektor

Pravý úhel Rovnoramenný trojúhelník

Z výše uvedeného obrázku se vektorová hlava nebo ocasy b a c navzájem neshodují. Takže při použití vlastnosti zůstane vektor nezměněn, pokud je přenášen paralelně sám se sebou.

b vektor je posunut rovnoběžně sám se sebou

Nyní se konce vektorů b a c shodují a svírají úhel stejný jako vnější úhel pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku = 135°.

• a a c vektory

Pravý úhel Rovnoramenný trojúhelník

Z výše uvedeného obrázku se vektorová hlava nebo ocasy a a c navzájem neshodují. Takže pomocí vlastnosti- A vektor zůstane nezměněn, pokud je přenášen paralelně sám se sebou.

c vektor se pohybuje rovnoběžně sám se sebou

Nyní se konce vektorů a a c shodují a svírají úhel stejný jako pravý úhel rovnoramenného trojúhelníku = 90°.

Úloha 3: Najděte úhel mezi vektory A = i + j + k a vektorem B = -2i – 2j – 2k.

Řešení:

ze vzorce,

A = A_Xi + A_aj + A_Sk

B = B_Xi + B_aj + B_Sk

cosθ=frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Zde v dané otázce

A = i + j + k

B= -2i -2j -2k

Dosazení hodnot ve vzorci

⇒ cosθ =frac{(1.(-2)+1.(-2)+1.(-2))}{(sqrt{1^2+1^2+1^2}×sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-2)^2})}

⇒ cosθ =frac{(-2-2-2)}{(sqrt{1+1+1}×sqrt{4+4+4})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{3}×sqrt{12})}

⇒ cosθ =frac{-6}{(sqrt{36})}

⇒ cosθ = -6/6

⇒ cosθ= -1

⇒ 6 = 180°

Úloha 4: Najděte úhel mezi vektorem A = 3i + 4j a B = 2i + j

Řešení:

A = A_Xi + A_aj + A_Sk

B = B_Xi + B_aj + B_Sk

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Zde vzhledem k tomu,

A = 3i + 4j + 0k

B = 2i + j + 0k

Dosazením hodnot ve vzorci,

⇒ cosθ =frac{(3.2+4.1+0.0)}{(sqrt{3^2+4^2+0^2}×sqrt{2^2+1^2+0^2})}

⇒ cosθ =frac{(6+4+0)}{(sqrt{9+16+0}×sqrt{4+1+0})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{25}×sqrt{5})}

⇒ cosθ =frac{(10)}{(sqrt{125})}

⇒ θ = cos^-1(frac{(10)}{5.(sqrt{5})})

⇒ θ = cos^-1(frac{2}{(sqrt{5})})

Úloha 5: Najděte úhel mezi vektorem A = i + j a vektorem B = j + k.

Řešení:

ze vzorce,

A = A_Xi + A_aj + A_Sk

B = B_Xi + B_aj + B_Sk

cosθ =frac{(Ax.Bx+Ay.By+Az.Bz)}{(sqrt{Ax^2+Ay^2+Az^2}×sqrt{Bx^2+By^2+Bz^2})}

Zde v dané otázce

⇒ A = i + j

⇒ B = j + k

⇒ cosθ =frac{(1.0+1.1+0.1)}{(sqrt{1^2+1^2+0^2}×sqrt{0^2+1^2+1^2})}

⇒ cosθ =frac{(1)}{(sqrt{1+1+0}×sqrt{0+1+1})}

⇒ cosθ =frac{1}{(sqrt{2}×sqrt{2})}

⇒ θ = cos^-1(1/2)

slunečný deol

⇒ 6 = 60°