Nuly polynomu jsou tyto skutečné, imaginární nebo komplexní hodnoty, když jsou vloženy do polynomu místo proměnné, výsledek se stane nulou (jak název napovídá také nula). Polynomy se používají k modelování některých fyzikálních jevů probíhajících v reálném životě, jsou velmi užitečné při matematickém popisu situací.

Nuly polynomu jsou všechny hodnoty x, díky nimž je polynom roven nule. Nuly polynomu nám říkají o průsečících x grafu polynomu. V tomto článku budeme diskutovat o nuly polynomu, jak je najít, věta o faktoru atd.

Obsah

• Co jsou nuly polynomů?
• Nuly polynomického vzorce
• Jak najít nulu polynomu?
• Pro lineární polynom
• Pro kvadratický polynom
• Pro kubický polynom
• Faktorová věta
• Vztah mezi nulami a koeficientem
• Vztah mezi nulami a koeficientem pro kvadratickou rovnici
• Vztah mezi nulami a koeficientem pro kubickou rovnici
• Sestavení rovnice s nulami polynomu
• Nuly v grafu polynomů
• Základní věta lineární algebry
• Mnohonásobnost kořene
• Články týkající se nul polynomu
• Ukázkové úlohy na nulách polynomu
• Cvičební úlohy na nulách polynomu

Co jsou nuly polynomů?

Pro polynom P(x) říkáme, že x = a je nula polynomu, pokud P(a) = 0, a všechny takové nuly polynomu se běžně nazývají nuly polynomu. Uvažujme například f(x) = 3x – 12. Nyní do polynomu vložte x = 4, tj. f(4) = 3×4 – 12 = 0. Tedy x = 4 je nula polynomu f( x) = 3x – 12.

Příklad: Pro f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6, je x = 1 nula?

Řešení:

Chcete-li zkontrolovat, zda je-li x = 1 nula z f(x) = x³– 6x²+ 11x – 6 nebo ne, vložte x = 1 do (x)

f(1) = (1)³– 6×(1)²+ 11×(1) – 6

⇒ f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 12 -12 = 0

Tedy x = 1 je nula z f(x).

Nuly polynomického vzorce

Pro lineární polynom tvaru ax + b je jeho nula dána x = -b/a.

Pro kvadratický polynom tvaru ax²+ bx + c, jeho nula je dána x = {- b ± √D}/2a, kde D je diskriminační dáno b²– 4ac.

Jak najít nulu polynomu?

Můžeme najít nuly polynomu pro různé typy polynomů pomocí různých metod, které jsou diskutovány níže.

• Pro lineární polynom
• Pro kvadratický polynom
• Pro kubický polynom

Pro lineární polynom

Pro lineární polynomy je nalezení nuly nejjednodušší ze všech. protože je tam jen jedna nula a ta se dá také vypočítat jednoduchým přeskupením polynomu za rovnajícím se polynomem na 0.

Například najděte nulu pro lineární polynom f(x) = 2x – 7.

Řešení:

Chcete-li najít nulu z f(x), srovnejte f(x) s 0.

⇒ 2x – 7 = 0

⇒ 2x = 7

metoda tostring v Javě

⇒ x = 7/2

Pro kvadratický polynom

Existují různé metody, jak najít kořeny nebo nuly kvadratického polynomu, jako je rozdělení prostředního členu, kvadratický vzorec, který je také známý jako vzorec Shree Dharacharya, a dokončení čtverce, který je poněkud podobný kvadratickému vzorci, jak přichází kvadratický vzorec. z doplnění čtverce pro obecnou kvadratickou rovnici.

Dozvědět se víc o řešení kvadratických rovnic nebo polynomy a jak je řešit. Následující příklady podrobně ukazují metodu hledání nul kvadratických polynomů.

Příklad 1: Zjistěte nuly pro P(x) = x ² + 2x – 15.

Odpovědět:

X²+ 2x – 15 = 0

⇒ x²+ 5x – 3x – 15 = 0

⇒ x(x + 5) – 3(x + 5) = 0

⇒ (x – 3) (x + 5) = 0

⇒ x = 3, -5

Příklad 2: Najděte nuly pro P(x) = x ² – 16x + 64.

Odpovědět:

X²– 16x + 64 = 0

Srovnání se sekerou²+ bx + c = 0,

dostaneme, a = 1, b = -16 a c = 64.

Tím pádem,

⇒ x = 8, 8

Pro kubický polynom

K nalezení nul kubických existuje mnoho způsobů, jako je racionální kořenová věta a dlouhé dělení dohromady. Jedna metoda hledání kořenů kubického nebo jakéhokoli polynomu vyššího stupně je následující:

Krok 1: K nalezení možných kořenů použijte racionální kořenovou větu. tj. Pokud má polynom racionální kořen, musí to být dělení p/q, kde p je celočíselná konstanta a q je vedoucí koeficient.

Krok 2: Po nalezení jednoho kořene rozdělte polynom faktorem tvořeným tímto kořenem pomocí dlouhého dělení a zapište polynom jako součin podílu a dividendy.

Krok 3: Je-li kvocient kvadratický výraz, řešte jej výše uvedenými metodami pro kvadratické polynomy. Pokud nejde o polynom stupně 2, opakujte kroky 1 a 2, dokud se z podílu nestane polynom stupně 2.

Krok 4: Výsledkem kroku 3 jsou požadované faktory a přirovnáním faktoru k 0 můžeme najít nuly polynomu.

Příklad: Najděte nuly kubického polynomu p(x) = x ³ + 2x ² – 5x – 6.

nastavit v Javě

Řešení:

p(x) = x³+ 2x²– 5x – 6

Jako p/q = -6

Podle věty o racionálním kořenu jsou všechny možné racionální kořeny polunomu děliteli p/q.

Dělitelé tedy = ±1, ±2, ±3, ±6

x = -1, v p(x), dostaneme

p(-1) = (-1)³+ 2 (-1)²– 5(-1) – 6

⇒ p(-1) = -1 + 2 + 5 – 6 = 0

Podle věty o faktoru je tedy x + 1 faktor p(x).

Tedy x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1) (x²+x – 6)

⇒ x³+ 2x²– 5x – 6 = (x+1)(x-2)(x+3)

Pro nuly platí p(x) = 0,

Nuly p(x) jsou x = -1, x = 2 a x = -3.

Faktorová věta

Pro polynom P(x) faktorová věta říká, že když x =a je nula P(X), když x – a je faktor P(x). tj. měly by platit obě následující podmínky.

• Jestliže a je nula P(x), pak x−a bude faktor P(x)
• Pokud x−a je faktor P(x), pak a bude nula P(x)

To lze ověřit pohledem na předchozí příklady. Faktorová věta může vést k některým zajímavým výsledkům, které jsou následující:

Výsledek 1: Jestliže P(x) je polynom stupně n a r je nula P(x), pak P(x) lze zapsat v následujícím tvaru:

P(x) = (x – r) Q(x)

Kde Q(x) je polynom stupně n-1 a lze jej zjistit dělením P(x) pomocí (x – r).

Výsledek 2: Jestliže P(x) = (x-r)Q(x) a x = t je nula z Q(x), pak x = t bude také nula z P(x).

Pro ověření výše uvedené skutečnosti

Řekněme, že t je nula Q(x), což znamená Q(t) = 0.

Víme, že r je nula polynomu P(x), kde P(x) = (x – r) Q(x),

Musíme tedy zkontrolovat, zda x = t je také nula z P(x), dáme x = t do P(x)

⇒ P(t) = (t – r) Q(t) = 0

Takže x = t je také nula P(x).

Proto Proved.

Vztah mezi nulami a koeficientem

Vztah mezi nulami a koeficientem kvadratické a kubické rovnice je diskutován níže.

Vztah mezi nulami a koeficientem pro kvadratickou rovnici

Pro kvadratickou rovnici tvaru ax²+ bx + c = 0, jsou-li dvě nuly kvadratické rovnice α a β, pak

• Součet odmocniny = α + β = -b/a
• Součin kořenů = α × β = c/a

Vztah mezi nulami a koeficientem pro kubickou rovnici

Jestliže α, β a γ jsou kořenem osy kubického polynomu³+ bx²+ cx + d = 0, pak vztah mezi jeho nulami a koeficienty je dán takto:

• a + b + c = -b/a
• α × β × γ= -d/a
• αβ + αγ + βγ = c/a

Sestavení rovnice s nulami polynomu

• Pro kvadratický polynom s nulami α a β je kvadratický polynom dán vztahem

X ² – (a + b)x + ab .

• Pro kubický polynom se třemi nulami α, β a γ je kubický polynom dán vztahem

X ³ – (a + b + c )x ² + (ab + ag + bg)x – abg

Nuly v grafu polynomů

V grafu libovolného polynomu y = f(x) jsou reálné nuly bodem, pro který graf protíná nebo se dotýká osy x. (protože graf s imaginární nulou nikdy neprotíná osu x). Jinými slovy, pokud existují 3 skutečná řešení kubického polynomu, pak graf tohoto kubického polynomu protíná osu x třikrát, ale pokud pro nějaký kubický polynom existuje pouze jedno reálné řešení, pak graf pouze protne osu x. jednou.

Základní věta lineární algebry

Jestliže P(x) je polynom stupně n, pak P(x) bude mít přesně n nul, z nichž některé se mohou opakovat.

zapouzdřovací program

To znamená, že pokud vypíšeme všechny nuly a každou vypíšeme kkrát, když k je její násobnost. V seznamu budeme mít přesně n čísel. To může být užitečné, protože nám to může poskytnout představu o tom, kolik nul by mělo být v polynomu. Takže můžeme přestat hledat nuly, jakmile dosáhneme požadovaného počtu nul.

Mnohonásobnost kořene

Předpokládejme, že máme polynom P(x) = 0, který se rozkladá na,

P(x) = (x – r) ^k (x – a) ^m

Jestliže r je nula polynomu a exponent na jeho členu, který vytvořil kořen, je k, pak říkáme, že r má mnohost k . Často se nazývají nuly s násobkem 1 jednoduchý nuly a nuly s násobností 2 se nazývají dvojité kořeny polynomu.

Příklad: P(x) je polynom stupně 5, který byl pro vás faktorizován. Uveďte kořeny a jejich násobnost.

P(x) = 5x ⁵ -20x ⁴ +5x ³ +50x ² −20x−40=5(x+1) ² (x-2) ³

Řešení:

Je dáno, P(x) = 5 (x+1)²(x-2)³

⇒ P(x) = 5(x+1)(x+1)(x+1)(x−2)(x−2)

Chcete-li najít nuly, P(x) = 0

⇒ x = -1, -1, 2, 2, 2

Všimněte si, že -1 se vyskytuje dvakrát jako nula, takže její násobek je 2, zatímco násobek nuly 2 je 3.

Články týkající se nul polynomu

• Polynom
• Kořeny kvadratické rovnice
• Algebraický výraz

Ukázkové úlohy na nulách polynomu

Problém 1: Vzhledem k tomu, že x = 2 je nula z P(x) = x ³ +2x ² −5x−6. Najděte další dvě nuly.

Řešení:

Ze základní věty, kterou jsme studovali dříve, můžeme říci, že P(x) bude mít 3 nuly, protože je to třístupňový polynom. Jeden z nich je x = 2.

Takže můžeme přepsat P(x),

P(x) = (x – 2) Q(x)

Abychom našli další dvě nuly, musíme zjistit Q(x).

Q(x) lze zjistit vydělením P(x) číslem (x-2).

Po dělení vyjde Q(x) takto:

Q(x) = x²+ 4x + 3

Zbývající dvě nuly lze zjistit z toho,

Q(x) = x²+ 3x + x + 3

⇒ x(x + 3) + 1(x + 3)

⇒ (x + 1) (x + 3)

Q(x) = 0,

x = -1, -3

Další dvě nuly jsou tedy x = -1 a x = -3.

Úloha 2: Vzhledem k tomu, že x = r je nula polynomu, zjistěte ostatní nuly polynomu.

P(x) = x ³ -6x ² −16x; r = -2

Řešení:

Víme, že x = -2 je nula,

Takže P(x) lze přepsat jako, P(x) = (x + 2) Q(x) {Pomocí algoritmu dělení}

Nyní, abychom našli Q(x), uděláme totéž, co jsme udělali v předchozí otázce, vydělíme P(x) pomocí (x + 2).

Dostaneme,

Q(x) = x²– 8x

windows.open javascript

Nyní, abyste našli další dvě nuly, faktorizujte Q(x)

Q(x) = x (x – 8) = 0

Takže nuly jsou x = 0, 8.

Máme tedy tři nuly, x = -2, 0, 8.

Úloha 3: Najděte nuly polynomu, 4x ³ -3x ² -25x-6 = 0

Řešení:

Trik k řešení polynomických rovnic se stupněm 3,

Najděte nejmenší celé číslo, které může vytvořit hodnotu polynomu 0, začněte 1,-1,2 atd.

zjistíme, že pro x = -2 dostaneme hodnotu výrazu nulovou.

Jeden z kořenů je tedy -2.

Podle věty o faktoru je-li a jedna z nul polynomu, je tedy (x-a) faktorem daného polynomu.

Za tímto {x – (-2)} = (x+2) je tedy faktor pof nad polynomem.

Dostaneme kvadratickou rovnici a nula už tam je.

(4x²-11x-3)(x+2) = 0

Faktorizujte kvadratickou rovnici,

(4x²-12x+x-3)(x+2) = 0

[4x(x-3)+1(x-3)](x+2) = 0

(4x+1)(x-3)(x+2) = 0

x = -2, x = 3, x = -1/4

Úloha 4: Najděte nuly polynomu, 4x ⁶ – 16x ⁴ = 0

Řešení:

Polynom má až stupeň 6, existuje tedy 6 nul polynomu.

4x⁴(X²-4) = 0

4x⁴(X²-2²) = 0

4x⁴[(x+2)(x-2)] = 0

Proto x= 0, 0, 0, 0, 2, -2

jak zkontrolovat velikost obrazovky

Úloha 5: Najděte nuly polynomické funkce f(x) = x ³ – 2x ² – 5x + 6

Řešení:

Abychom našli nuly tohoto polynomu, nastavíme f(x) = 0 a vyřešíme x:

f(x) = x³– 2x²– 5x + 6 = 0

Jako d/a = 6

Podle věty o racionálním kořenu jsou všechny možné racionální kořeny polunomu,

Dělitelé d/a = ±1, ±2, ±3, ±6

x = 1, v p(x), dostaneme

f(1) = (1)³– 2(1)²– 5(1) – 6

f(-1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0

Podle věty o faktoru je tedy x – 1 faktorem p(x).

Tedy x³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1) (x²-x - 6)

X³+ 2x²– 5x – 6 = (x-1) (x+2) (x-3)

Pro nuly platí p(x) = 0,

Nuly p(x) jsou x = 1, x = -2 a x = 3.

Cvičební úlohy na nulách polynomu

1. Najděte všechny nuly polynomu f(x) = x ³ – 6x ² + 11x – 6

2. Určete všechny nuly polynomu g(x) = 2x ⁴ – 7x ³ + 3x ² + 4x – 4

3. Najděte nuly polynomu h(x) = x ⁵ – 3x ⁴ + 2x ³ – 6x ² + x + 2

4. Určete všechny nuly polynomu p(x) = 3x ⁴ – 16x ³ + 18x ² + 16x – 12.

Často kladené otázky o nulách polynomu

Co jsou nuly polynomu?

Tyto reálné hodnoty se pro hodnotu polynomu stanou 0, tj. pokud p(x) je polynom a p(a) = 0, pak x = a je nula z p(x).

Jak najít nuly polynomu?

Existuje několik metod pro různé polynomy k nalezení nul, například pro kvadratické rozlití středního členu a kvadratického vzorce. Pro lineární, jednoduché přeskupení proměnných a pro kubické používáme kombinaci věty o racionálním kořenu, dlouhého dělení, věty o faktoru a věty o zbytku.

Může mít polynom více než jednu nulu?

Ano, polynom může mít více než jednu nulu, ve skutečnosti může mít polynom o n stupních maximálně n skutečných nul.

Jaká je násobnost nuly polynomu?

V procesu faktorizace, jeden faktor nebo jedna nula polynomu, pak kolikrát faktor nebo nula přišel, to je voláno multiplicita toho kořenu.

Co je základní věta algebry?

Základní věta o stavech algebry Jestliže P(x) je polynom stupně n, pak P(x) bude mít přesně n nul, z nichž některé se mohou opakovat.

Má polynom se stupněm n vždy n skutečných kořenů?

Ne, polynom se stupněm n nemá vždy n skutečných kořenů, protože některé kořeny mohou být imaginární nebo komplexní čísla.

Jaký je stupeň nulového polynomu?

Stupeň nulového polynomu je nula.