Algebra je jedním ze základních témat matematiky. Polynomy jsou nezbytnou součástí algebry. Vietův vzorec se používá v polynomech. Tento článek je o Vietově vzorci, který dává do souvislosti součet a součin odmocnin s koeficientem polynomu. Tento vzorec se specificky používá v algebře.
Formule Viety
Vietovy vzorce jsou ty vzorce, které poskytují vztah mezi součtem a součinem kořenů polynomu s koeficienty polynomů. Vietův vzorec popisuje koeficienty polynomu ve formě součtu a součinu jeho kořene.
Formule Viety
Vietův vzorec se zabývá součtem a součinem kořenů a koeficientem polynomu. Používá se, když musíme najít polynom, když jsou dány kořeny, nebo když musíme najít součet nebo součin odmocnin.
Vietův vzorec pro kvadratickou rovnici
- Li f(x) = ax 2 + bx + c je kvadratická rovnice s kořeny A a b pak,
- Součet kořenů = α + β = -b/a
- Součin kořenů = αβ = c/a
- Pokud je dán součet a součin odmocnin, je kvadratická rovnice dána vztahem:
- X 2 – (součet kořenů)x + (součin kořenů) = 0
Vietův vzorec pro kubickou rovnici
- Li f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d je kvadratická rovnice s kořeny a, b a C pak,
- Součet kořenů = α + β + γ = -b/a
- Součet součinu dvou kořenů = αβ + αγ + βγ = c/a
- Součin kořenů = αβγ = -d/a
- Pokud je dán součet a součin odmocnin, je kubická rovnice dána vztahem:
- X 3 – (součet kořenů)x 2 + (součet součinu dvou kořenů)x – (součin odmocnin) = 0
Vietův vzorec pro zobecněnou rovnici
Li f(x) = a n X n + a n-1 X n-1 + a n-2 X n-2 + ……… + a 2 X 2 + a 1 x + a 0 je kvadratická rovnice s kořeny r 1 , r 2 , r 3 , …… r n-1 , r n pak,
r 1 + r 2 + r 3 +………. + r n-1 + r n = -a n-1 /A n
(r 1 r 2 + r 1 r 3 +…. +r 1 r n ) + (r 2 r 3 + r 2 r 4 +……. +r 2 r n ) + ……… + r n-1 r n = a n-2 /A n
:
:
převést řetězec na interger
r 1 r 2 …r n = (-1) n (A 0 /A n )
Ukázkové problémy
Úloha 1: Jestliže α , β jsou kořeny rovnice : x 2 – 10x + 5 = 0, pak najděte hodnotu (α 2 + b 2 )/(A 2 b + ab 2 ).
Řešení:
Dáno Rovnice:
- X2– 10x + 5 = 0
By Vieta’s Formula
a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10
ap = c/a = 5/1 = 5
Jako2+b2) = (a + b)2– 2ab
= (10)2– 2×5
= 100–10
(A2+b2) = 90
Nyní hodnota (α2+ b2)/(A2b + ab2)
= (a2+ b2)/(αβ(α + β))
= 90/(5×10)
= 90/50
= 1.8
Úloha 2: Jestliže α , β jsou kořeny rovnice : x 2 + 7x + 2 = 0 , pak najděte hodnotu 14÷(1/α + 1/ β).
Řešení:
Daná rovnice:
- X2+ 7x + 2 = 0
By Vieta’s Formula
a + b = -b/a = -7/1 = -7
ap = c/a = 2/1 = 2
operační systémNyní, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ
(1/a + 1/b) = -7/2
Nyní hodnota 14÷(1/α + 1/ β)
= 14 ÷ (-7/2)
= 14 × (-2/7)
= -4
Úloha 3: Jestliže α , β jsou kořeny rovnice : x 2 + 10x + 2 = 0 , pak najděte hodnotu (α/β + β/α).
Řešení:
Daná rovnice:
- X2+ 10x + 2 = 0
By Vieta’s Formula
a + b = -b/a = 10/1 = 10
ap = c/a = 2/1 = 2
Jako2+b2) = (a + b)2– 2ab
= 102– 2×2
= 100 – 4
= 96
Nyní hodnota (a/b + b/a) = (a2+b2)/ab
= 96/2
kat timpf sestra= 48
Úloha 4: Jsou-li α a β kořeny rovnice a za předpokladu, že α + β = -100 a αβ = -20, najděte kvadratickou rovnici.
Řešení:
vzhledem k tomu,
- Součet kořenů = α + β = -100
- Součin kořenů = αβ = -20
Kvadratická rovnice je dána vztahem:
X2– (součet kořenů)x + (součin kořenů) = 0
X2– (-100)x + (-20) = 0
X 2 + 100x – 20 = 0
Úloha 5: Jsou-li α , β a γ kořeny rovnice a za předpokladu, že α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 a αβ γ = -6, najděte kubickou rovnici.
Řešení:
vzhledem k tomu,
- Součet kořenů = α + β + γ = 10,
- Součet součinu dvou kořenů = αβ + αγ + βγ = -1
- Součin kořenů = prům = -6
Kubická rovnice je dána vztahem:
X3– (součet kořenů)x2+ (součet součinu dvou kořenů)x – (součin odmocnin) = 0
X3– 10x2+ (-1)x – (-6) = 0
X 3 – 10x 2 – x + 6 = 0
Úloha 6: Jestliže α , β a γ jsou kořeny rovnice x 3 + 1569x 2 – 3 = 0, pak najděte hodnotu [(1/α) + (1/β )] 3 + [(1/c) + (1/b)] 3 + [(1/c) + (1/a)] 3
Řešení:
vzhledem k tomu,
- Součet kořenů = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
- Součet součinu dvou kořenů = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
- Součin kořenů = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3
Vzhledem k tomu, (str3+ q3+ r3– 3pqr) = (p + q + r) (p2+q2+ r2– pq – qr – pr) ……(1)
Nechť, p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)
p + q + r = 2[(1/α) + (1/β ) + (1/γ) ] = 2 (αβ + αγ + βγ)/αβγ
= 2(0/3) = 0
Z rovnice (1):
(str3+ q3+ r3– 3pqr) = 0
p3+ q3+ r3= 3pqr
[(1/a) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/b)]3+ [(1/c) + (1/a)]3= 3[(1/a) + (1/b)][(1/c) + (1/b)][(1/c) + (1/a)]
tisk výpisu v jazyce Java= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)
= -3/průměr = -3/3
= -1
Úloha 7: Jsou-li α a β kořeny rovnice x 2 – 3x +2 =0 pak najděte hodnotu α 2 – b 2 .
Řešení:
vzhledem k tomu,
- Součet kořenů = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
- Součin kořenů = αβγ = c/a = 2/1 = 2
Jako (a – b)2= (a + b)2-4ab
(a – b)2= (3)2– 4(2) = 9 – 8 = 1
(a – b) = 1
Od té doby,
A2– b2= (a – b) (a + b) = (1) (3) = 3
A 2 – b 2 = 3