TechCodeview

Jakmile budete mít kvadratický vzorec a základy kvadratických rovnic vychladlé, je čas na další úroveň vašeho vztahu k parabolám: dozvědět se o jejich vrcholový tvar .

Čtěte dále, abyste se dozvěděli více o tvaru vrcholu paraboly a jak převést kvadratickou rovnici ze standardního tvaru na vrcholový tvar.

kredit hlavního obrázku: SBA73 /Flickr

Proč je formulář Vertex užitečný? Přehled

The vrcholový tvar rovnice je alternativní způsob zápisu rovnice paraboly.

Za normálních okolností uvidíte kvadratickou rovnici zapsanou jako $ax^2+bx+c$, která v grafu bude parabolou. Z tohoto formuláře je snadné najít kořeny rovnice (kde parabola naráží na osu $x$) nastavením rovnice na nulu (nebo pomocí kvadratického vzorce).

Pokud však potřebujete najít vrchol paraboly, standardní kvadratická forma je mnohem méně užitečná. Místo toho budete chtít převést svou kvadratickou rovnici do tvaru vrcholu.

Co je Vertex Form?

Zatímco standardní kvadratická forma je $ax^2+bx+c=y$, vrcholový tvar kvadratické rovnice je $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

V obou formách je $y$ souřadnice $y$, $x$ je souřadnice $x$ a $a$ je konstanta, která vám říká, zda parabola směřuje nahoru ($+a$) nebo dolů. ($-a$). (Přemýšlím o tom, jako by parabola byla miska jablečného pyré; pokud je tam $+a$, mohu do misky přidat jablečný pyré; pokud je tam $-a$, mohu jablečný pyré z misky vytřást.)

Rozdíl mezi standardní formou paraboly a vertexovou formou je v tom, že vertexová forma rovnice vám také dává vrchol paraboly: $(h,k)$.

Podívejte se například na tuto jemnou parabolu, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Na základě grafu se zdá, že vrchol paraboly je něco jako (-1,5,-2), ale jen z grafu je těžké přesně říct, kde je vrchol. Naštěstí na základě rovnice $y=3(x+4/3)^2-2$ víme, že vrchol této paraboly je $(-4/3,-2)$.

Proč je vrchol $(-4/3,-2)$ a ne $(4/3,-2)$ (jiný než graf, který objasňuje souřadnice $x$- a $y$- vrchol je záporný)?

Pamatovat si: v rovnici vertexového tvaru se $h$ odečte a $k$ přičte . Pokud máte záporné $h$ nebo záporné $k$, musíte se ujistit, že odečtete záporné $h$ a přidáte záporné $k$.

V tomto případě to znamená:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

a vrchol je tedy $(-4/3,-2)$.

Při psaní paraboly ve formě vrcholu byste měli vždy dvakrát zkontrolovat své kladné a záporné znaménko , zejména pokud vrchol nemá kladné hodnoty $x$ a $y$ (nebo pro vás kvadrantové hlavy tam venku, pokud není v kvadrant I ). Je to podobné kontrole, kterou byste provedli, kdybyste řešili kvadratický vzorec ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) a potřebovali byste se ujistit, že zachováte kladné a zápory přímo pro vaše $a$s, $b$s a $c$s.

Níže je tabulka s dalšími příklady několika dalších rovnic tvaru vrcholů paraboly spolu s jejich vrcholy. Všimněte si zejména rozdílu v části $(x-h)^2$ rovnice tvaru vrcholu paraboly, když je souřadnice $x$ vrcholu záporná.

Jak převést ze standardní kvadratické formy na vertexovou formu

Většinou, když budete požádáni o převod kvadratických rovnic mezi různými tvary, budete přecházet ze standardního tvaru ($ax^2+bx+c$) do vertexového tvaru ($a(x-h)^2+k$ ).

Proces převodu vaší rovnice ze standardní kvadratické do vertexové formy zahrnuje provedení sady kroků zvaných dokončení čtverce. (Další informace o dokončení náměstí si přečtěte tento článek.)

Pojďme si projít příklad převodu rovnice ze standardního tvaru do vrcholového tvaru. Začneme rovnicí $y=7x^2+42x-3/14$.

První věc, kterou budete chtít udělat, je přesunout konstantu nebo výraz bez $x$ nebo $x^2$ vedle ní. V tomto případě je naše konstanta $-3/14$. (Víme, že je negativní $3/14$, protože standardní kvadratická rovnice je $ax^2+bx+c$, nikoli $ax^2+bx-c$.)

Nejprve vezmeme tyto $-3/14$ a přesuneme je na levou stranu rovnice:

$y+3/14=7x^2+42x$

Dalším krokem je vyřadit 7 (hodnota $a$ v rovnici) z pravé strany, takto:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Skvělý! Tato rovnice vypadá mnohem více jako vrcholový tvar, $y=a(x-h)^2+k$.

V tuto chvíli si možná říkáte: 'Vše, co teď musím udělat, je přesunout $3/14$ zpět na pravou stranu rovnice, že?' Bohužel ne tak rychle.

Pokud se podíváte na část rovnice uvnitř závorek, všimnete si problému: není ve tvaru $(x-h)^2$. Je jich příliš mnoho $x$s! Takže ještě nejsme úplně hotovi.

To, co teď musíme udělat, je ta nejtěžší část – dokončit náměstí.

Podívejme se blíže na $x^2+6x$ část rovnice. Abychom mohli faktor $(x^2+6x)$ rozdělit na něco, co se podobá $(x-h)^2$, budeme muset přidat konstantu dovnitř závorek – a budeme si muset pamatovat přidat tuto konstantu také na druhou stranu rovnice (protože rovnice musí zůstat vyvážená).

Abychom to nastavili (a ujistili se, že nezapomeneme přidat konstantu na druhou stranu rovnice), vytvoříme prázdné místo, kam bude konstanta patřit na obě strany rovnice:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Všimněte si, že na levé straně rovnice jsme se ujistili, že jsme zahrnuli naši hodnotu $a$, 7, před prostor, kam půjde naše konstanta; je to proto, že konstantu nepřidáváme pouze na pravou stranu rovnice, ale násobíme konstantu čímkoli, co je na vnější straně závorek. (Pokud je vaše hodnota $a$ 1, nemusíte si s tím dělat starosti.)

Dalším krokem je dokončení náměstí. V tomto případě je čtverec, který dokončujete, rovnicí uvnitř závorek – přidáním konstanty z ní uděláte rovnici, kterou lze zapsat jako čtverec.

Chcete-li vypočítat tuto novou konstantu, vezměte hodnotu vedle $x$ (v tomto případě 6), vydělte ji 2 a odmocněte ji.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanta je 9.

Důvod, proč rozpůlíme 6 a odmocnime, je ten, že víme, že v rovnici ve tvaru $(x+p)(x+p)$ (k čemuž se snažíme dostat), $px+px= 6x$, takže $p=6/2$; abychom dostali konstantu $p^2$, musíme tedy vzít $6/2$ (naše $p$) a odmocnit ji.

Nyní nahraďte prázdné místo na obou stranách naší rovnice konstantou 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Dále faktor rovnice uvnitř závorek. Protože jsme čtverec dokončili, budete jej moci rozdělit jako $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Poslední krok: přesuňte hodnotu, která není $y$, z levé strany rovnice zpět na pravou stranu:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Gratulujeme! Úspěšně jste převedli svou rovnici ze standardní kvadratické do vertexové formy.

Nyní vás většina problémů nebude vyžadovat pouze převod vašich rovnic ze standardního tvaru na vrcholový; budou chtít, abyste skutečně uvedli souřadnice vrcholu paraboly.

Abychom se nenechali oklamat změnami znaménka, napišme obecnou rovnici tvaru vrcholu přímo nad rovnici tvaru vrcholu, kterou jsme právě vypočítali:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

A pak můžeme snadno najít $h$ a $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Vrchol této paraboly je na souřadnicích $(-3,-{885/14})$.

Páni, to bylo hodně prohazování čísel! Naštěstí je převod rovnic v opačném směru (z vrcholu do standardního tvaru) mnohem jednodušší.

Jak převést z formuláře Vertex na standardní formulář

Převod rovnic z jejich vrcholového tvaru do běžného kvadratického tvaru je mnohem přímočařejší proces: vše, co musíte udělat, je vynásobit vrcholový tvar.

Vezměme si naši příkladovou rovnici z dříve, $y=3(x+4/3)^2-2$. Abychom to převedli do standardního tvaru, rozbalíme pravou stranu rovnice:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Úspěšně jste převedli $y=3(x+4/3)^2-2$ do podoby $ax^2+bx+c$.

Procvičování formy Parabola Vertex: Vzorové otázky

Abychom toto prozkoumání formy vrcholu zakončili, máme čtyři příklady problémů a vysvětlení. Než si přečtete vysvětlení, zjistěte, zda dokážete problémy vyřešit sami!

#1: Jaký je vrcholový tvar kvadratické rovnice $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Převeďte rovnici $7y=91x^2-112$ do vertexového tvaru. Co je to vrchol?

#3: Vzhledem k rovnici $y=2(x-3/2)^2-9$, jaké jsou souřadnice $x$, kde se tato rovnice protíná s osou $x$?

#4: Najděte vrchol paraboly $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Practice: Řešení

#1: Jaký je vrcholový tvar kvadratické rovnice ${i x^2}+ 2,6i x+1,2$?

Začněte oddělením proměnné, která není $x$, na druhou stranu rovnice:

$y-1,2=x^2+2,6x$

Vzhledem k tomu, že naše $a$ (jako v $ax^2+bx+c$) v původní rovnici se rovná 1, nemusíme je zde vypočítávat z pravé strany (i když pokud chcete, můžete napsat $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Dále vydělte koeficient $x$ (2,6) 2 a odmocněte jej, poté přidejte výsledné číslo na obě strany rovnice:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Rozdělte pravou stranu rovnice do závorek:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Nakonec spojte konstanty na levé straně rovnice a poté je přesuňte na pravou stranu.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Naše odpověď je $y=(x+1,3)^2-0,49$.

#2: Převeďte rovnici $7i y=91i x^2-112$ do vertexového tvaru. Co je to vrchol?

Při převodu rovnice do vertexového tvaru chcete, aby $y$ mělo koeficient 1, takže první věc, kterou uděláme, je vydělit obě strany této rovnice 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Dále přeneste konstantu na levou stranu rovnice:

$y+16=13x^2$

Vynásobte koeficient čísla $x^2$ ($a$) z pravé strany rovnice

$y+16=13(x^2)$

Nyní byste normálně museli dokončit čtverec na pravé straně rovnice uvnitř závorek. $x^2$ je však již čtverec, takže nemusíte dělat nic jiného než přesunout konstantu z levé strany rovnice zpět na pravou stranu:

$y=13(x^2)-16$.

Nyní k nalezení vrcholu:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, takže $h=0$

$+k=-16$, takže $k=-16$

Vrchol paraboly je na $(0, -16)$.

#3: Vzhledem k rovnici $i y=2(i x-3/2)^2-9$, co je (jsou) $i x$-souřadnice(y) místa, kde se tato rovnice protíná s $i x$ osa?

Protože otázka po vás žádá, abyste našli $x$-průsečík(y) rovnice, prvním krokem je nastavit $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Nyní existuje několik způsobů, jak se odtud dostat. Záludný způsob je využít skutečnost, že do rovnice tvaru vrcholu je již zapsán čtverec v náš prospěch.

Nejprve přesuneme konstantu na levou stranu rovnice:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Dále vydělíme obě strany rovnice 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

A teď ta záludná část. Vezměte druhou odmocninu obou stran rovnice:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±