logo

Topologické třídění

Topologické řazení pro Řízený acyklický graf (DAG) je lineární uspořádání vrcholů takové, že pro každou směrovanou hranu u-v je vrchol v přichází dříve v v objednávce.

Poznámka: Topologické řazení pro graf není možné, pokud graf není a DEN .



Příklad:

Vstup: Graf :

příklad

Příklad



Výstup: 5 4 2 3 1 0
Vysvětlení: První vrchol v topologickém třídění je vždy vrchol s in-stupně 0 (vrchol bez vstupních hran). Topologické řazení následujícího grafu je 5 4 2 3 1 0. Pro graf může být více než jedno topologické řazení. Další topologické řazení následujícího grafu je 4 5 2 3 1 0.

Doporučená praxeŘešení založené na DFS pro nalezení topologického řazení již byla projednána.

java hashmap

Topologické pořadí nemusí být jedinečné:

Topologické třídění je problém závislosti, ve kterém dokončení jednoho úkolu závisí na dokončení několika dalších úkolů, jejichž pořadí se může lišit. Pojďme pochopit tento koncept na příkladu:



Předpokládejme, že naším úkolem je dostat se do naší školy a abychom se tam dostali, musíme se nejprve obléknout. Závislosti na nošení oblečení jsou uvedeny v níže uvedeném grafu závislostí. Například nemůžete nosit boty před nošením ponožek.

1

Z výše uvedeného obrázku byste si již uvědomili, že existuje několik způsobů, jak se obléknout, obrázek níže ukazuje některé z těchto způsobů.

2

Můžete seznam všechna možná topologická uspořádání oblékání do výše uvedeného grafu závislosti?

Algoritmus pro topologické třídění pomocí DFS:

Zde je krok za krokem algoritmus pro topologické třídění pomocí hloubkového prvního vyhledávání (DFS):

  • Vytvořte graf pomocí n vrcholy a m - směrované hrany.
  • Inicializujte zásobník a navštívené pole velikosti n .
  • Pro každý nenavštívený vrchol v grafu proveďte následující:
    • Volejte funkci DFS s vrcholem jako parametrem.
    • Ve funkci DFS označte vrchol jako navštívený a rekurzivně zavolejte funkci DFS pro všechny nenavštívené sousedy vrcholu.
    • Jakmile navštívíte všechny sousedy, zatlačte vrchol na hromádku.
  • Koneckonců, vrcholy byly navštíveny, vytahujte prvky ze zásobníku a připojujte je k výstupnímu seznamu, dokud není zásobník prázdný.
  • Výsledný seznam je topologicky seřazené pořadí grafu.

Ilustrace Algoritmus topologického řazení:

Níže uvedený obrázek je ilustrací výše uvedeného přístupu:

Topologické třídění

Celkový pracovní postup topologického třídění

Krok 1:

  • Spustíme DFS od uzlu 0, protože nemá žádné příchozí uzly
  • Vložíme uzel 0 do zásobníku a přesuneme se na další uzel s minimálním počtem sousedních uzlů, tj. uzel 1.

soubor

Krok 2:

  • V tomto kroku, protože u tohoto uzlu není žádný soused, zatlačte na uzel 1 v zásobníku a přesuňte se na další uzel.

soubor

Krok 3:

  • V tomto kroku zvolíme uzel 2, protože má minimální počet sousedních uzlů po 0 a 1.
  • Zavoláme DFS pro uzel 2 a posuneme všechny uzly, které přicházejí v průchodu z uzlu 2, v opačném pořadí.
  • Takže stiskněte 3 a poté stiskněte 2 .

soubor

vyměnit vše

Krok 4:

  • Nyní voláme DFS pro uzel 4
  • Protože 0 a 1 jsou již v zásobníku přítomny, tak jen zatlačíme uzel 4 v zásobníku a vrátíme se.

soubor

Krok 5:

  • V tomto kroku, protože všechny sousední uzly 5 jsou již v zásobníku, zatlačíme uzel 5 do zásobníku a vrátíme se.

soubor

Krok 6: Toto je poslední krok topologického třídění, ve kterém vyjmeme všechny prvky ze zásobníku a vytiskneme je v tomto pořadí.

Níže je uvedena implementace výše uvedeného přístupu:

C++
#include  using namespace std; // Function to perform DFS and topological sorting void topologicalSortUtil(int v, vector>& adj, vektor & navštívil, stohovat & Stack) { // Označí aktuální uzel jako navštívený[v] = true;  // Opakuje se pro všechny sousední vrcholy pro (int i : adj[v]) { if (!navštívené[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack);  } // Přesune aktuální vrchol do zásobníku, který uloží výsledek Stack.push(v); } // Funkce pro provedení topologického třídění void topologicalSort(vector>& adj, int V) { zásobník Zásobník; // Stack pro uložení výsledného vektoru navštívil(V, nepravda);  // Volání rekurzivní pomocné funkce pro uložení // Topologické řazení začínající od všech vrcholů jeden po // jeden pro (int i = 0; i< V; i++) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, Stack);  }  // Print contents of stack  while (!Stack.empty()) {  cout << Stack.top() << ' ';  Stack.pop();  } } int main() {  // Number of nodes  int V = 4;  // Edges  vector> hrany = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 3, 1 }, { 3, 2 } };  // Graf reprezentovaný jako vektor seznamu sousedství> adj(V);  for (auto i : hrany) { adj[i[0]].push_back(i[1]);  } cout<< 'Topological sorting of the graph: ';  topologicalSort(adj, V);  return 0; }>
Jáva
import java.util.*; public class TopologicalSort {  // Function to perform DFS and topological sorting  static void  topologicalSortUtil(int v, List> adj, boolean[] navštíveno, zásobník stack) { // Označí aktuální uzel jako navštívený[v] = true;  // Opakuje se pro všechny sousední vrcholy for (int i : adj.get(v)) { if (!visited[i]) topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  } // Přesune aktuální vrchol do zásobníku, který uloží // výsledek stack.push(v);  } // Funkce pro provedení topologického třídění statického void topologicalSort(List> adj, int V) { // Stack pro uložení výsledku Stack stack = new Stack();  boolean[] navštíveno = new boolean[V];  // Volání rekurzivní pomocné funkce pro uložení // Topologické řazení počínaje všemi vrcholy po jedné // po jedné pro (int i = 0; i< V; i++) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Print contents of stack  System.out.print(  'Topological sorting of the graph: ');  while (!stack.empty()) {  System.out.print(stack.pop() + ' ');  }  }  // Driver code  public static void main(String[] args)  {  // Number of nodes  int V = 4;  // Edges  List> hrany = new ArrayList();  edge.add(Arrays.asList(0, 1));  edge.add(Arrays.asList(1, 2));  edge.add(Arrays.asList(3, 1));  edge.add(Arrays.asList(3, 2));  // Graf reprezentovaný jako seznam sousedství List> adj = new ArrayList(V);  for (int i = 0; i< V; i++) {  adj.add(new ArrayList());  }  for (List i : hrany) { adj.get(i.get(0)).add(i.get(1));  } topologicalSort(adj, V);  } }>
Python3
def topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack): # Mark the current node as visited visited[v] = True # Recur for all adjacent vertices for i in adj[v]: if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Push current vertex to stack which stores the result stack.append(v) # Function to perform Topological Sort def topologicalSort(adj, V): # Stack to store the result stack = [] visited = [False] * V # Call the recursive helper function to store # Topological Sort starting from all vertices one by # one for i in range(V): if not visited[i]: topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack) # Print contents of stack print('Topological sorting of the graph:', end=' ') while stack: print(stack.pop(), end=' ') # Driver code if __name__ == '__main__': # Number of nodes V = 4 # Edges edges = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] # Graph represented as an adjacency list adj = [[] for _ in range(V)] for i in edges: adj[i[0]].append(i[1]) topologicalSort(adj, V)>
C#
using System; using System.Collections.Generic; class Program {  // Function to perform DFS and topological sorting  static void TopologicalSortUtil(int v,  List> adj, bool[] navštíveno, zásobník stack) { // Označí aktuální uzel jako navštívený[v] = true;  // Opakuje se pro všechny sousední vrcholy foreach(int i v adj[v]) { if (!navštívené[i]) TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  } // Přesune aktuální vrchol do zásobníku, který uloží // výsledek stack.Push(v);  } // Funkce pro provedení statického topologického třídění void TopologicalSort(List> adj, int V) { // Stack pro uložení výsledku Stack zásobník = nový zásobník ();  bool[] navštíveno = nový bool[V];  // Volání rekurzivní pomocné funkce pro uložení // Topologické řazení počínaje všemi vrcholy po jedné // po jedné pro (int i = 0; i< V; i++) {  if (!visited[i])  TopologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Print contents of stack  Console.Write('Topological sorting of the graph: ');  while (stack.Count>0) { Console.Write(stack.Pop() + ' ');  } } // Kód ovladače static void Main(string[] args) { // Počet uzlů int V = 4;  // Seznam hran> hrany = nový seznam>{ nový seznam { 0, 1 }, nový seznam { 1, 2 }, nový seznam { 3, 1 }, nový seznam { 3, 2 } };  // Graf reprezentovaný jako seznam sousedství List> adj = nový seznam>();  for (int i = 0; i< V; i++) {  adj.Add(new List ());  } foreach(Seznam i v hranách) { adj[i[0]].Add(i[1]);  } TopologicalSort(adj, V);  } }>
Javascript
// Function to perform DFS and topological sorting function topologicalSortUtil(v, adj, visited, stack) {  // Mark the current node as visited  visited[v] = true;  // Recur for all adjacent vertices  for (let i of adj[v]) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Push current vertex to stack which stores the result  stack.push(v); } // Function to perform Topological Sort function topologicalSort(adj, V) {  // Stack to store the result  let stack = [];  let visited = new Array(V).fill(false);  // Call the recursive helper function to store  // Topological Sort starting from all vertices one by  // one  for (let i = 0; i < V; i++) {  if (!visited[i])  topologicalSortUtil(i, adj, visited, stack);  }  // Print contents of stack  console.log('Topological sorting of the graph: ');  while (stack.length>0) { console.log(stack.pop() + ' ');  } } // Kód ovladače (() => { // Počet uzlů const V = 4; // Hrany const hran = [[0, 1], [1, 2], [3, 1], [3, 2]] // Graf reprezentovaný jako seznam sousedství const adj = Array.from({ délka: V }, () => [] for (ať i hran) { adj[i[0]].push); (i[1] } topologicalSort(adj, V)();>

Výstup
Topological sorting of the graph: 3 0 1 2>

Časová náročnost: O(V+E). Výše uvedený algoritmus je jednoduše DFS s extra zásobníkem. Časová složitost je tedy stejná jako u DFS
Pomocný prostor: O(V). Další prostor je potřeba pro zásobník

Topologické řazení pomocí BFS:

C++
#include  #include  #include  using namespace std; // Class to represent a graph class Graph {  int V; // No. of vertices  list * adj; // Ukazatel na pole obsahující // seznamy sousedství public: Graph(int V); // Konstruktor void addEdge(int v, int w); // Funkce pro přidání hrany do grafu void topologicalSort(); // vypíše topologický druh // kompletního grafu }; Graph::Graph(int V) { this->V = V;  adj = nový seznam [PROTI]; } void Graph::addEdge(int v, int w) { adj[v].push_back(w); // Přidejte w do seznamu v. } // Funkce k provedení topologického třídění void Graph::topologicalSort() { // Vytvořte vektor pro uložení vektoru všech vrcholů ve stupních in_degree(V, 0);  // Procházet seznamy sousedství k vyplnění in_degree // vrcholů pro (int v = 0; v< V; ++v) {  for (auto const& w : adj[v])  in_degree[w]++;  }  // Create a queue and enqueue all vertices with  // in-degree 0  queue q;  for (int i = 0; i< V; ++i) {  if (in_degree[i] == 0)  q.push(i);  }  // Initialize count of visited vertices  int count = 0;  // Create a vector to store topological order  vector top_order;  // Jeden po druhém vyřaďte vrcholy z fronty a zařaďte do fronty // sousední vrcholy, pokud se in-stupeň sousedního stane 0 while (!q.empty()) { // Extrahujte přední část fronty (nebo proveďte dequeue) // a přidejte ji do topologické pořadí int u = q.front();  q.pop();  top_order.push_back(u);  // Iterujte všechny jeho sousední uzly // vyřazeného uzlu u a snižte jejich stupeň // o 1 seznam ::iterator itr;  for (itr = adj[u].begin(); itr != adj[u].end(); ++itr) // Pokud se in-degree stane nulou, přidejte jej do fronty if (--in_degree[*itr ] == 0) q.push(*itr);  počet++;  } // Kontrola, zda došlo k cyklu if (count != V) { cout<< 'Graph contains cycle
';  return;  }  // Print topological order  for (int i : top_order)  cout << i << ' '; } // Driver code int main() {  // Create a graph given in the above diagram  Graph g(6);  g.addEdge(5, 2);  g.addEdge(5, 0);  g.addEdge(4, 0);  g.addEdge(4, 1);  g.addEdge(2, 3);  g.addEdge(3, 1);  cout << 'Following is a Topological Sort of the given '  'graph
';  g.topologicalSort();  return 0; }>
Jáva
import java.util.ArrayList; import java.util.LinkedList; import java.util.Queue; // Class to represent a graph class Graph {  private int V; // No. of vertices  private ArrayList [] adj; // Seznam sousedství // reprezentace // grafu // Konstruktor Graph(int V) { this.V = V;  adj = new ArrayList[V];  for (int i = 0; i< V; ++i)  adj[i] = new ArrayList();  }  // Function to add an edge to the graph  void addEdge(int v, int w)  {  adj[v].add(w); // Add w to v’s list.  }  // Function to perform Topological Sort  void topologicalSort()  {  // Create an array to store in-degree of all  // vertices  int[] inDegree = new int[V];  // Calculate in-degree of each vertex  for (int v = 0; v < V; ++v) {  for (int w : adj[v]) {  inDegree[w]++;  }  }  // Create a queue and enqueue all vertices with  // in-degree 0  Queue q = new LinkedList();  for (int i = 0; i< V; ++i) {  if (inDegree[i] == 0)  q.add(i);  }  // Initialize count of visited vertices  int count = 0;  // Create an ArrayList to store topological order  ArrayList topOrder = new ArrayList();  // Jeden po druhém vyřaďte vrcholy z fronty a // zařaďte sousední vrcholy, pokud se in-stupeň // sousední stane 0 while (!q.isEmpty()) { // Extrahujte přední část fronty a přidejte ji do // topologického pořadí int u = q.poll();  topOrder.add(u);  počet++;  // Iterujte všechny jeho sousední uzly // vyřazeného uzlu u a snižte jejich stupeň // o 1 for (int w : adj[u]) { // Pokud se in-degree stane nulou, přidejte jej do // fronty if (--inDegree[w] == 0) q.add(w);  } } // Kontrola, zda došlo k cyklu if (počet != V) { System.out.println('Graf obsahuje cyklus');  vrátit se;  } // Tisk topologického pořadí pro (int i : topOrder) System.out.print(i + ' ');  } } // Kód ovladače public class Main { public static void main(String[] args) { // Vytvořte graf uvedený ve výše uvedeném diagramu Graph g = new Graph(6);  g.addEdge(5, 2);  g.addEdge(5, 0);  g.addEdge(4, 0);  g.addEdge(4, 1);  g.addEdge(2, 3);  g.addEdge(3, 1);  System.out.println( 'Následuje topologické řazení daného grafu');  g.topologicalSort();  } }>
Python3
from collections import defaultdict class Graph: def __init__(self, vertices): # Number of vertices self.V = vertices # Dictionary to store adjacency lists self.adj = defaultdict(list) def addEdge(self, u, v): # Function to add an edge to the graph self.adj[u].append(v) def topologicalSort(self): # Function to perform Topological Sort # Create a list to store in-degree of all vertices in_degree = [0] * self.V # Traverse adjacency lists to fill in_degree of vertices for i in range(self.V): for j in self.adj[i]: in_degree[j] += 1 # Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0 q = [] for i in range(self.V): if in_degree[i] == 0: q.append(i) # Initialize count of visited vertices count = 0 # Create a list to store topological order top_order = [] # One by one dequeue vertices from queue and enqueue # adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0 while q: # Extract front of queue (or perform dequeue) # and add it to topological order u = q.pop(0) top_order.append(u) # Iterate through all its neighbouring nodes # of dequeued node u and decrease their in-degree # by 1 for node in self.adj[u]: # If in-degree becomes zero, add it to queue in_degree[node] -= 1 if in_degree[node] == 0: q.append(node) count += 1 # Check if there was a cycle if count != self.V: print('Graph contains cycle') return # Print topological order print('Topological Sort:', top_order) # Driver code if __name__ == '__main__': # Create a graph given in the above diagram g = Graph(6) g.addEdge(5, 2) g.addEdge(5, 0) g.addEdge(4, 0) g.addEdge(4, 1) g.addEdge(2, 3) g.addEdge(3, 1) print('Following is a Topological Sort of the given graph') g.topologicalSort()>
JavaScript
// Class to represent a graph class Graph {  constructor(V) {  this.V = V; // No. of vertices  this.adj = new Array(V); // Array containing adjacency lists  for (let i = 0; i < V; i++) {  this.adj[i] = [];  }  }  // Function to add an edge to the graph  addEdge(v, w) {  this.adj[v].push(w); // Add w to v’s list.  }  // Function to perform Topological Sort  topologicalSort() {  // Create a array to store in-degree of all vertices  let inDegree = new Array(this.V).fill(0);  // Traverse adjacency lists to fill inDegree of vertices  for (let v = 0; v < this.V; v++) {  for (let w of this.adj[v]) {  inDegree[w]++;  }  }  // Create a queue and enqueue all vertices with in-degree 0  let queue = [];  for (let i = 0; i < this.V; i++) {  if (inDegree[i] === 0) {  queue.push(i);  }  }  // Initialize count of visited vertices  let count = 0;  // Create an array to store topological order  let topOrder = [];  // One by one dequeue vertices from queue and enqueue  // adjacent vertices if in-degree of adjacent becomes 0  while (queue.length !== 0) {  // Extract front of queue and add it to topological order  let u = queue.shift();  topOrder.push(u);  // Iterate through all its neighboring nodes  // of dequeued node u and decrease their in-degree by 1  for (let w of this.adj[u]) {  // If in-degree becomes zero, add it to queue  if (--inDegree[w] === 0) {  queue.push(w);  }  }  count++;  }  // Check if there was a cycle  if (count !== this.V) {  console.log('Graph contains cycle');  return;  }  // Print topological order  console.log('Topological Sort of the given graph:');  console.log(topOrder.join(' '));  } } // Driver code // Create a graph given in the above diagram let g = new Graph(6); g.addEdge(5, 2); g.addEdge(5, 0); g.addEdge(4, 0); g.addEdge(4, 1); g.addEdge(2, 3); g.addEdge(3, 1); console.log('Following is a Topological Sort of the given graph:'); g.topologicalSort(); //This code is contributed by Utkarsh>

Výstup
Following is a Topological Sort of the given graph 4 5 2 0 3 1>

Časová náročnost:

Časová složitost pro konstrukci grafu je O(V + E), kde V je počet vrcholů a E je počet hran.

Časová složitost pro provádění topologického třídění pomocí BFS je také O(V + E), kde V je počet vrcholů a E je počet hran. Je to proto, že každý vrchol a každá hrana jsou během procházení BFS navštíveny jednou.

Prostorová složitost:

Prostorová složitost pro uložení grafu pomocí seznamu sousedství je O(V + E), kde V je počet vrcholů a E je počet hran.

Další prostor se používá pro uložení stupňů vrcholů, což vyžaduje O(V) prostor.

Pro BFS traversal se používá fronta, která může obsahovat maximálně V vertexů. Prostorová složitost pro frontu je tedy O(V).

Celkově je prostorová složitost algoritmu O(V + E) v důsledku uložení grafu, in-degree pole a fronty.

Stručně řečeno, časová složitost poskytované implementace je O(V + E) a prostorová složitost je také O(V + E).

Poznámka: Zde také můžeme místo zásobníku použít pole. Pokud je pole použito, vytiskněte prvky v opačném pořadí, abyste získali topologické řazení.

Výhody topologického řazení:

  • Pomáhá při plánování úkolů nebo událostí na základě závislostí.
  • Detekuje cykly v orientovaném grafu.
  • Efektivní pro řešení problémů s omezeními priority.

Nevýhody topologického řazení:

  • Platí pouze pro směrované acyklické grafy (DAG), není vhodné pro cyklické grafy.
  • Nemusí být jedinečné, může existovat více platných topologických uspořádání.
  • Neefektivní pro velké grafy s mnoha uzly a hranami.

Aplikace topologického řazení:

  • Plánování úkolů a řízení projektů.
  • Řešení závislostí v systémech správy balíčků.
  • Určení pořadí kompilace v systémech sestavování softwaru.
  • Detekce uváznutí v operačních systémech.
  • Rozvrh kurzů na univerzitách.

Související články:

  • Kahnův algoritmus pro topologické třídění
  • Všechny topologické druhy řízeného acyklického grafu