logo

TechCodeview

Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník je číselný vzor uspořádaný do trojúhelníkového tvaru. Tento trojúhelník poskytuje koeficienty pro expanzi jakéhokoli binomického výrazu s čísly organizovanými tak, že tvoří trojúhelníkový tvar. tj. druhý řádek v Pascalově trojúhelníku představuje koeficienty v (x+y)2a tak dále.

V Pascalově trojúhelníku je každé číslo součtem dvou výše uvedených čísel. Pascalův trojúhelník má různé aplikace v teorii pravděpodobnosti, kombinatorice, algebře a různých dalších odvětvích matematiky.



Pojďme se dozvědět více o Pascalův trojúhelník, jeho konstrukce a různé vzory v Pascalově trojúhelníku podrobně v tomto článku.

Obsah

Co je Pascalův trojúhelník?

Je pojmenován po slavném filozofovi a matematikovi Balise ‚Pascalovi‘, který vyvinul vzor čísel začínajících 1 a čísla pod ním jsou součtem výše uvedených čísel. Nejprve si zapište číslo 1 a začněte vytvářet Pascalův trojúhelník. Druhý řádek se opět opíše o dvě 1s. Další řádky jsou generovány pomocí předchozích řádků, aby se vytvořil trojúhelník čísel. Každý řádek začíná a končí 1.



Základní struktura Pascalova trojúhelníku je znázorněna na obrázku přidaném níže,

Co je Pascalův trojúhelník?

Pascalův trojúhelník definujeme jako základní sadu čísel uspořádaných do trojúhelníkového pole tak, že každý prvek v Pascalově trojúhelníku je součtem dvou čísel nad ním. Pascalův trojúhelník začíná číslem 1 a poprvé to navrhl slavný francouzský matematik Balise Pascal, a proto pojmenoval Pascalův trojúhelník.

Tento trojúhelník představuje koeficienty binomického rozvoje pro různé mocniny. (musíme se ujistit, že mocnina v binomickém rozvoji je pouze přirozené číslo, pak pouze Pascalův trojúhelník představuje koeficienty v binomickém rozvoji).



Definice Pascalova trojúhelníku

Pascalův trojúhelník je trojúhelníkové pole čísel, ve kterém je každé číslo součtem dvou přímo nad ním.

Konstrukce Pascalova trojúhelníku

Můžeme snadno sestavit trojúhelník Pad=scal pouhým sečtením dvou čísel z výše uvedeného řádku, abychom získali další číslo v řádku níže. Můžeme předpokládat, že nultý řádek začíná jedním prvkem 1 a potom prvek v druhém řádku je 1 1, který vznikne sečtením 1+0 a 1+0. Podobně jsou prvky ve druhé řadě, 1 2 1 2které vzniknou sčítáním, 1+0, 1+1 a 1+0, a tak se získají prvky ve třetí řadě. Rozšířením tohoto konceptu na n-tou řadu dostaneme Pascalův trojúhelník s n+1 řadami.

Pascalův trojúhelník až do 3. řádku je zobrazen na obrázku níže,

Z výše uvedeného obrázku snadno zjistíme, že první a poslední prvek v každém řádku je 1.

Pascalův trojúhelníkový vzorec

Vzorec Pascal Triangle je vzorec, který se používá k nalezení čísla, které má být vyplněno v m-tém sloupci a n-tém řádku. Jak víme, členy v Pascalově trojúhelníku jsou součtem členů ve výše uvedeném řádku. Požadujeme tedy, aby prvky v (n-1)-tém řádku a (m-1)-tém a n-tém sloupci získaly požadovaný počet v m-tém sloupci a n-tém řádku.

Přečtěte si podrobně: Pascalův trojúhelníkový vzorec

Jsou dány prvky n-té řady Pascalova trojúhelníku,nC0,nC1,nC2, …,nCn.

Vzorec pro nalezení libovolného čísla v Pascalově trojúhelníku je:

n Cm = n-1 C m-1 + n-1 C m

Kde,

  • n C m představuje (m+1)-tý prvek v n-té řadě. a
  • n je nezáporné celé číslo [0 ≤ m ≤ n]

Tento vzorec můžeme pochopit pomocí níže uvedeného příkladu,

Příklad: Najděte třetí prvek ve třetím řádku Pascalova trojúhelníku.

Řešení:

Musíme najít 3. prvek ve 3. řadě Pascalova trojúhelníku.

Formule Pascal Triangle je,

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

kdenCkreprezentovat (k+1)čtprvek v nčtřádek.

Třetím prvkem ve 3. řádku je tedy

3C2=2C1+2C2

⇒3C2= 2 + 1

⇒3C2= 3

Třetí prvek ve třetí řadě Pascalova trojúhelníku je tedy 3.

Binomická expanze Pascalova trojúhelníku

Můžeme snadno najít koeficient binomické expanze pomocí Pascalova trojúhelníku. Prvky v (n+1)té řadě Pascalova trojúhelníku představují koeficient rozšířeného výrazu polynomu (x + y)n.

Víme, že expanze (x + y)nje,

(x + y)n= a0Xn+ a1Xn-1a + a2Xn-2a2+ … + an-1xyn-1+ anan

Zde, a0, a1, a2, a3, …., anjsou termíny v (n+1) řadě Pascalova trojúhelníku

Podívejte se například na rozšíření (x+y)4

(x + y)4=4C0X4+4C1X3a +4C2X2a2+4C3xy3+4C4X0a4

⇒ (x + y)4= (1)x4+ (4)x3y + (6)x2a2+ (4)xy3+ (1)y4

Zde jsou koeficienty 1, 4, 6, 4 a 1 prvky čtvrté řady Pascalova trojúhelníku

Jak používat Pascalův trojúhelník?

Pascalův trojúhelník používáme k nalezení různých případů možných výsledků v podmínkách pravděpodobnosti. To lze pochopit z následujícího příkladu, kdy hozením mincí dostaneme dva výsledky, tj. H a T, to je reprezentováno prvkem v první řadě Pascalova trojúhelníku.

Obdobně, když hodíme mincí dvakrát, dostaneme tři výsledky, tj. {H, H}, {H, T}, {T, H} a {T, T} tato podmínka je reprezentována prvkem ve druhé řadě Pascalova trojúhelníku.

Můžeme tedy snadno zjistit možný počet výsledků při házení mincí pouhým pozorováním příslušných prvků v Pascalově trojúhelníku.

Níže uvedená tabulka nám říká o případech, kdy je mincí hozena jednou, dvakrát, třikrát a čtyřikrát, a o tom, jak je to v souladu s Pascalovým trojúhelníkem.

Počet hodů
NEBO
Řada Pascalova trojúhelníku

Možné výsledky

Prvky v Pascalově trojúhelníku

1

{H},

{T}

jedenáct

2

{HH},

{HT}, {TH},

{TT}

1 2 1

3

{HHH},

{HHT}, {HTH}, {THH}

{HTT}, {THT}, {TTH},

{TTT}

1 3 3 1

4

{HHHH},

weby jako coomeet

{HHHT}, {HHTH}, {HTHH}, {THHH},

{HHTT}, {HTHT}, {HTTH}, {THHT}, {THTH}, {TTHH},

{HTTT}, {THTT}, {TTHT}, {TTTH},

{TTTT}

1 4 6 4 1

Pascalovy trojúhelníkové vzory

V Pascalově trojúhelníku pozorujeme různé vzory:

  • Přidání řádků
  • Prvočísla v trojúhelníku
  • Úhlopříčky v Pascalově trojúhelníku
  • Fibonacciho vzor

Přidání řádků

Při bližším pozorování Pascalova trojúhelníku můžeme dojít k závěru, že součet libovolného řádku v Pascalově trojúhelníku je roven mocnině 2. Vzorec pro totéž je, Pro libovolné (n+1)čtřádek v Pascalově trojúhelníku součet všech prvků je 2n

Aplikováním tohoto vzorce v prvních 4 řádcích Pascalova trojúhelníku dostaneme,

1 = 1 = 20

1 + 1 = 2 = 21

1 + 2 + 1 = 4 = 22

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23

Prvočísla v Pascalově trojúhelníku

Dalším velmi zajímavým vzorem v Pascalově trojúhelníku je, že pokud řádek začíná prvočíslem (zanedbávejte 1 na začátku každého řádku), pak jsou všechny prvky v tomto řádku dělitelné tímto prvočíslem. Tento vzorec neplatí pro složená čísla.

Například osmý řádek v Pascalově trojúhelníku je,

1 7 21 35 35 21 7 1

Zde jsou všechny prvky dělitelné 7.

Pro řádky začínající složenými čísly, jako je pátý řádek,

1 4 6 4 1

Vzor neplatí, protože 4 nedělí 6.

Úhlopříčky v Pascalově trojúhelníku

Každá pravá úhlopříčka Pascalova trojúhelníku, když je považována za posloupnost, představuje různá čísla, například první pravá úhlopříčka představuje posloupnost čísla 1, druhá pravá úhlopříčka představuje trojúhelníková čísla, třetí pravá úhlopříčka představuje čtyřstěnná čísla, čtvrtá pravá úhlopříčka představuje Penelope čísla a tak dále.

Fibonacciho sekvence v Pascalově trojúhelníku

Fibonacciho posloupnost můžeme snadno získat jednoduchým sečtením čísel v úhlopříčkách Pascalova trojúhelníku. Tento vzor je zobrazen na obrázku přidaném níže,

Vlastnosti Pascalova trojúhelníku

Různé vlastnosti Pascalova trojúhelníku jsou,

  • Každé číslo v Pascalově trojúhelníku je součtem čísel nad ním.
  • Počáteční a koncové číslo v Pascalově trojúhelníku je vždy 1.
  • První úhlopříčka v Pascalově trojúhelníku představuje přirozené číslo nebo počítací čísla.
  • Součet prvků v každé řadě Pascalova trojúhelníku je dán mocninou 2.
  • Prvky v každém řádku jsou číslice s mocninou 11.
  • Pascalův trojúhelník je symetrický trojúhelník.
  • Prvky v libovolné řadě Pascalova trojúhelníku lze použít k reprezentaci koeficientů binomické expanze.
  • Podél úhlopříčky Pascalova trojúhelníku pozorujeme Fibonacciho čísla.
  • Binomická věta
  • Binomické náhodné proměnné a binomické rozdělení

Příklady Pascalova trojúhelníku

Příklad 1: Najděte pátá řada Pascalova trojúhelníku.

Řešení:

Pascalův trojúhelník s 5 řádky je zobrazen na obrázku níže,

Příklad 2: Rozbalte pomocí Pascalova trojúhelníku (a + b) 2 .

Řešení:

Nejprve napište obecné výrazy bez koeficientů.

(a + b)2= c0A2b0+ c1A1b1+ c2A0b2

Nyní sestavme Pascalův trojúhelník pro 3 řádky, abychom zjistili koeficienty.

Hodnoty posledního řádku nám dávají hodnotu koeficientů.

C0= 1, c1= 2, c2=1

(a + b)2= a2b0+ 2a1b1+ a0b2

Takto ověřeno.

Příklad 3: Rozbalte pomocí Pascalova trojúhelníku (a + b) 6 .

Řešení:

Nejprve napište obecné výrazy bez koeficientů.

(a + b)6= c0A6b0+ c1A5b1+ c2A4b2+ c3A3b3+ c4A2b4+ c5A1b5+ c6A0b6

Nyní sestavme Pascalův trojúhelník pro 7 řádků, abychom zjistili koeficienty.

Hodnoty posledního řádku nám dávají hodnotu koeficientů.

C0= 1, c1= 6, c2= 15, c3= 20, c4= 15, c5= 6 a c6= 1.

(a + b)6= 1a6b0+ 6a5b1+ 15a4b2+ 20a3b3+ 15a2b4+ 6a1b5+ 1a0b6

Příklad 4: Najděte druhý prvek ve třetí řadě Pascalova trojúhelníku.

Řešení:

Musíme najít 2. prvek ve 3. řadě Pascalova trojúhelníku.

Víme, že n-tá řada Pascalova trojúhelníku jenC0,nC1,nC2,nC3…

Vzorec Pascalova trojúhelníku je,

nCk=n-1Ck-1+n-1Ck

kdenCkreprezentovat (k+1)čtprvek v nčtřádek.

Takže 2. prvek ve 3. řádku je,

je vztah

3C1=2C0+2C1

= 1 + 2

= 3

Druhý prvek ve třetí řadě Pascalova trojúhelníku je tedy 3.

Příklad 5: Hodí se čtyřikrát mincí, zjistěte pravděpodobnost získání přesně 2 ocasů.

Řešení:

Pomocí vzorce Pascal Triangle

Celkový počet výsledků = 24= 16 (1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16)

Zde dostáváme čtyři případy, ve kterých dostaneme 2 ocasy,

Tím pádem,

Pravděpodobnost získání Two Tails = příznivý výsledek/celkový výsledek

= 4/16 = 1/4

Takže pravděpodobnost získání přesně dvou ocasů je 1/4 nebo 25 %

Shrnutí – Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník je trojúhelníkové uspořádání čísel, kde každé číslo je součtem dvou čísel přímo nad ním. Tento trojúhelník, pojmenovaný po matematikovi Blaise Pascalovi, začíná jednou 1 nahoře a každý řádek začíná a končí 1. Čísla v Pascalově trojúhelníku odpovídají koeficientům v binomickém rozvoji, takže je užitečný v algebře, pravděpodobnosti a kombinatorika. Vzory v trojúhelníku zahrnují součty řádků s mocninami 2, spojení s Fibonacciho posloupností a přítomnost prvočísel. Pascalův trojúhelník je také užitečný při výpočtu kombinací a pochopení výsledků v pravděpodobnostních experimentech, jako je házení mincí.

Časté otázky o Pascalově trojúhelníku

Co je Pascalův trojúhelník?

Trojúhelníkové pole čísel, které navrhl slavný matematik Balise Pascal, se nazývá Pascalův trojúhelník. Tento trojúhelník začíná 1 a v dalším řádku je počáteční a koncové číslo pevně nastaveno na 1, pak se prostřední číslo vygeneruje součtem výše uvedených dvou čísel.

Jaká jsou použití Pascalova trojúhelníku?

Pascalovy trojúhelníky mají různá použití,

  • Používá se k nalezení binomického koeficientu binomického rozvoje.
  • Poskytuje alternativní způsob rozšíření binomických členů.
  • Používá se v algebře, teorii pravděpodobnosti, permutaci a kombinaci a dalších odvětvích matematiky.

Jaké je použití Pascalova trojúhelníku v binomické expanzi?

Pascalův trojúhelník používáme ke snadnému nalezení koeficientu libovolného členu v binomickém rozšíření. Libovolný řádek Pascalova trojúhelníku (řekněme n-tý) představuje koeficient binomického rozšíření (x+y)n. Například druhý řádek Pascalova trojúhelníku je 1 2 1 a rozšíření (x+y)2

(x+y)2= x2+ 2xy + y2

Zde je koeficient každého členu 1 2 1, což se podobá 2. řadě Pascalova trojúhelníku.

Jaké jsou různé vzory nalezené v Pascalově trojúhelníku?

Různé vzory, které jsme snadno našli v Pascalově trojúhelníku, jsou:

  • Trojúhelníkový vzor
  • Lichý a sudý vzor
  • Fibonacciho vzor
  • Symetrický vzor

Co je 5čtŘada Pascalova trojúhelníku?

Pátý řádek Pascalova trojúhelníku je znázorněn níže,

1 5 10 10 5 1

Víme, že součet všech prvků v libovolném řádku je dán pomocí 2nkde n představuje počet řádků. Tedy součet všech členů v pátém řádku je,

25= 32

Jaký je první prvek každé řady Pascalova trojúhelníku?

První prvek každé řady Pascalova trojúhelníku je 1. Tento člen nazýváme 0. člen řady.