Pravidlo 2

Pokud jsou LHS a RHS výrazů zaměněny, pak se nerovnost obrátí. Říká se tomu converse property.

• Pokud a> b, pak b
• Pokud A
• Jestliže a ≥ b, pak b ≤ a
• Jestliže a ≤ b, pak b ≥ a

Pravidlo 3

Pokud se stejná konstanta k přičte nebo odečte od obou stran nerovnosti, pak jsou obě strany nerovnosti stejné.

• Pokud a> b, pak a + k> b + k
• Pokud a> b, pak a – k> b – k

Stejně tak u dalších nerovností.

• Pokud
• Pokud
• Jestliže a ≤ b, pak a + k ≤ b + k
• Jestliže a ≤ b, pak a – k ≤ b – k
• Jestliže a ≥ b, pak a + k ≥ b + k
• Pokud a ≥ b, pak a – k ≥ b – k

Směr nerovnosti se po přičtení nebo odečtení konstanty nemění.

Pravidlo 4

Je-li k kladná konstanta, která je vynásobena nebo vydělena oběma stranami nerovnosti, pak nedochází ke změně směru nerovnosti.

• Pokud a> b, pak ak> bk
• Pokud
• Jestliže a ≤ b, pak ak ≤ bk
• Jestliže a ≥ b, pak ak ≥ bk

Pokud je k záporná konstanta, která je vynásobena nebo dělena oběma stranami nerovnosti, pak se směr nerovnosti obrátí.

• Jestliže a> b, pak ak
• Pokud a> b, pak ak
• Jestliže a ≥ b, pak ak ≤ bk
• Jestliže a ≤ b, pak ak ≥ bk

Pravidlo 5

Druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule.

• A²≥ 0

Pravidlo 6

Odmocniny na obou stranách nerovnosti nemění směr nerovnosti.

• Jestliže a> b, pak √a> √b
• Pokud
• Jestliže a ≥ b, pak √a ≥ √b
• Jestliže a ≤ b, pak √a ≤ √b

Graf pro nerovnosti

Nerovnice jsou buď s jednou proměnnou nebo se dvěma nebo máme systém nerovnic, všechny lze vykreslit do kartézské roviny, pokud obsahuje pouze dvě proměnné. Nerovnice v jedné proměnné jsou vyneseny na reálné čáry a dvě proměnné jsou vyneseny na kartézské rovině.

Intervalová notace pro nerovnosti

Důležité body pro zápis intervalů pro nerovnosti:

• V případě většího a rovného ( ≥ ) nebo menší než rovno ( ≤ ), koncové hodnoty jsou zahrnuty, takže se používají uzavřené nebo hranaté závorky [ ].
• V případě většího než ( > ) nebo méně než ( < ), koncové hodnoty jsou vyloučeny, takže jsou použity otevřené závorky ().
• Pro kladné i záporné nekonečno se používají otevřené závorky ().

Následující tabulka představuje intervaly pro různé nerovnosti:

Graf pro lineární nerovnosti s jednou proměnnou

Z následující tabulky můžeme pochopit, jak vykreslit různé lineární nerovnosti s jednou proměnnou na reálnou čáru.

Nerovnost	Interval	Graf
x> 1	(1, ∞)	Lineární nerovnosti s jednou proměnnou
x <1	(-∞, 1)
x ≥ 1	[1, ∞)
x ≤ 1	(-∞, 1]

Graf pro lineární nerovnosti se dvěma proměnnými

Vezměme si příklad lineárních nerovností se dvěma proměnnými.

Uvažujme lineární nerovnost 20x + 10y ≤ 60, protože možná řešení pro danou nerovnost jsou (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0 ,5), (0,6), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1) ), (2,2), (3,0) a také všechny body za těmito body jsou také řešením nerovnice.

Nakreslete graf z uvedených řešení.

Stínovaná oblast v grafu představuje možná řešení pro danou nerovnost.

Přečtěte si také

• Grafické řešení lineárních nerovnic ve dvou proměnných

Typy nerovností

Existují různé typy nerovností, které lze klasifikovat takto:

• Polynomiální nerovnosti: Polynomiální nerovnosti jsou nerovnosti, které lze znázornit ve formě polynomů. Příklad- 2x + 3 ≤ 10.
• Absolutní nerovnosti hodnot: Nerovnice absolutní hodnoty jsou nerovnosti v rámci znaménka absolutní hodnoty. Příklad- |y + 3| ≤ 4.
• Racionální nerovnosti: Racionální nerovnosti jsou nerovnosti se zlomky spolu s proměnnými. Příklad- (x + 4) / (x – 5) <5.

Jak řešit nerovnosti

K vyřešení nerovností můžeme použít následující kroky:

• Krok 1: Napište nerovnici ve tvaru rovnice.
• Krok 2: Vyřešte rovnici a získejte kořeny nerovnic.
• Krok 3: Získané hodnoty reprezentujte na číselné ose.
• Krok 4: Znázorněte vyloučené hodnoty také na číselné ose s prázdnými kroužky.
• Krok 5: Najděte intervaly z číselné osy.
• Krok 6: Vezměte náhodnou hodnotu z každého intervalu a vložte tyto hodnoty do nerovnosti a zkontrolujte, zda vyhovuje nerovnosti.
• Krok 7: Řešením nerovnosti jsou intervaly, které nerovnosti vyhovují.

Jak řešit polynomiální nerovnosti

Polynomiální nerovnice zahrnují lineární nerovnosti, kvadratické nerovnice, kubické nerovnosti atd. Zde se naučíme řešit lineární a kvadratické nerovnice.

Řešení lineárních nerovností

Lineární nerovnosti lze řešit jako lineární rovnice, ale podle pravidla nerovností. Lineární nerovnice lze řešit pomocí jednoduchých algebraických operací.

Jedno nebo dvoustupňové nerovnosti

Jednokroková nerovnost jsou nerovnosti, které lze vyřešit jedním krokem.

Příklad: Řešte: 5x <10

Řešení:

⇒ 5x <10 [Dělení obou stran 5]

⇒ x <2 nebo (-∞, 2)

Dvoustupňové nerovnosti jsou nerovnosti, které lze vyřešit ve dvou krocích.

Příklad: Řešte: 4x + 2 ≥ 10

Řešení:

⇒ 4x + 2 ≥ 10

⇒ 4x ≥ 8 [Odečtení 2 z obou stran]

⇒ 4x ≥ 8 [Dělení obou stran 4]

⇒ x ≥ 2 nebo [2, ∞)

Složené nerovnosti

Složené nerovnosti jsou nerovnosti, které mají více nerovností oddělených a nebo nebo. Pro řešení složených nerovnic řešte nerovnice samostatně a pro konečné řešení proveďte průnik získaných řešení, pokud jsou nerovnice odděleny a a proveďte sjednocení získaných řešení, pokud jsou nerovnice odděleny nebo.

Příklad: Řešte: 4x + 6 <10 a 5x + 2 < 12

Řešení:

Nejprve vyřešte 4x + 6 <10

⇒ 4x + 6 <10 [Odečítání 6 od obou stran]

⇒ 4x <4

⇒ x <1 nebo (-∞, 1) —–(i)

Druhé řešení 5x + 2 <12

⇒ 5x + 2 <12 [Odečítání 2 od obou stran]

⇒ 5x < 10

⇒ x <2 nebo (-∞, 2) ——-(ii)

Z (i) a (ii) máme dvě řešení x <1 a x < 2.

Vezmeme průsečík pro konečné řešení, protože nerovnosti jsou odděleny a.

⇒ (-∞, 1) ∩ (-∞, 2)

⇒ (-∞, 1)

Konečné řešení pro danou složenou nerovnici je (-∞, 1).

Přečtěte si více

• Složené nerovnosti
• Slovní úlohy lineárních nerovnic
• Trojúhelníková nerovnost

Solvw kvadratické nerovnosti

Vezměme si příklad řešení absolutních hodnotových nerovností.

Příklad: Vyřešte nerovnici: x ² – 7x + 6 ≥ 0

Řešení:

Následují kroky k vyřešení nerovnosti: x²– 7x + 6 ≥ 0

Krok 1: Napište nerovnost ve tvaru rovnice:

X²– 7x + 6 = 0

Krok 2: Řešte rovnici:

X²– 7x + 6 = 0

X²– 6x – x + 6 = 0

x(x – 6) – 1 (x – 6) = 0

(x – 6) (x – 1) = 0

x = 6 a x = 1

Z výše uvedeného kroku získáme hodnoty x = 6 a x = 1

Krok 3: Z výše uvedených hodnot jsou intervaly (-∞, 1], [1, 6], [6, ∞)

Protože nerovnost je ≥ to zahrnuje rovno, tak pro získané hodnoty použijeme uzavřenou závorku.

Krok 4: Znázornění číselné řady výše uvedených intervalů.

Krok 5: Vezměte náhodná čísla mezi každým intervalem a zkontrolujte, zda odpovídá hodnotě. Pokud vyhovuje, zahrňte do řešení interval.

Pro interval (-∞, 1] nechť je náhodná hodnota -1.

Vložení x = -1 do nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ (-1)²– 7(-1) + 6 ≥ 0

⇒ 1 + 7 + 6 ≥ 0

⇒ 14 ≥ 0 (pravda)

Pro interval [1, 6] nechť je náhodná hodnota 2.

Vložení x = 0 do nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 2²– 7(2) + 6 ≥ 0

⇒ 4 – 14 + 6 ≥ 0

⇒ -4 ≥ 0 (nepravda)

Pro interval [6, ∞) nechť náhodná hodnota je 7.

Dosazení x = 7 do nerovnosti x²– 7x + 6 ≥ 0

⇒ 7²– 7(7) + 6 ≥ 0

⇒ 49 – 49 + 6 ≥ 0

⇒ 6 ≥ 0 (pravda)

Krok 6: Takže řešení pro absolutní hodnotovou nerovnost x²– 7x + 6 ≥ 0 je interval (-∞, 1] ∪ [6, ∞), protože splňuje nerovnost, která může být vykreslena na číselné ose jako:

Jak řešit absolutní hodnotové nerovnosti

Vezměme si příklad řešení absolutních hodnotových nerovností.

Příklad: Vyřešte nerovnici: |y + 1| ≤ 2

Řešení:

Následují kroky k vyřešení nerovnosti: |y + 1| ≤ 2

Krok 1: Napište nerovnost ve tvaru rovnice:

|y + 1| = 2

Krok 2: Řešte rovnici:

y + 1 = ∓ 2

y + 1 = 2 a y + 1 = – 2

y = 1 a y = -3

Z výše uvedeného kroku získáme hodnoty y = 1 a y = -3

Krok 3: Z výše uvedených hodnot jsou intervaly (-∞, -3], [-3, 1], [1, ∞)

Protože je nerovnost ≤ to zahrnuje rovno, tak pro získané hodnoty použijeme uzavřenou závorku.

Krok 4: Znázornění číselné řady výše uvedených intervalů.

Krok 5: Vezměte náhodná čísla mezi každým intervalem a zkontrolujte, zda odpovídá hodnotě. Pokud vyhovuje, zahrňte do řešení interval.

Pro interval (-∞, -3] nechť náhodná hodnota je -4.

Dosazením y = -4 do nerovnosti |y + 1| ≤ 2

⇒ |-4+ 1| ≤ 2

⇒ |-3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (nepravda)

Pro interval [-3, 1] nechť je náhodná hodnota 0.

Dosazením y = 0 do nerovnosti |y + 1| ≤ 2

⇒ |0+ 1| ≤ 2

⇒ |1| ≤ 2

⇒ 1 ≤ 2 (pravda)

Pro interval [1, ∞) nechť náhodná hodnota je 2.

Dosazením y = 2 do nerovnosti |y + 1| ≤ 2

⇒ |2+ 1| ≤ 2

⇒ |3| ≤ 2

⇒ 3 ≤ 2 (nepravda)

Krok 6: Takže řešení pro absolutní hodnotovou nerovnost |y + 1| ≤ 2 je interval [-3, -1], protože splňuje nerovnost, která může být vykreslena na číselné ose jako:

Jak řešit racionální nerovnosti

Vezměme si příklad řešení racionálních nerovností.

Příklad: Řešte nerovnici: (x + 3) / (x – 1) <2

Řešení:

Následují kroky k vyřešení nerovnosti:

Krok 1: Napište nerovnost ve tvaru rovnice: (x + 3) / (x – 1) <2

(x + 3) / (x – 1) = 2

Krok 2: Řešte rovnici:

(x + 3) / (x – 1) = 2

(x + 3) = 2 (x – 1)

x + 3 = 2x – 2

2x – x = 3 + 2

x = 5

Z výše uvedeného kroku získáme hodnotu x = 5

Krok 3: Z výše uvedených hodnot jsou intervaly (-∞,1), (1, 5), (5, ∞)

Vzhledem k tomu, nerovnost je

Protože pro x = 1 je nerovnost nedefinovaná, vezmeme pro x = 1 otevřenou závorku.

Krok 4: Znázornění číselné řady výše uvedených intervalů.

Krok 5: Vezměte náhodná čísla mezi každým intervalem a zkontrolujte, zda odpovídá hodnotě. Pokud vyhovuje, zahrňte do řešení interval.

Pro interval (-∞, 1) nechť je náhodná hodnota 0.

Vložení x = 0 do nerovnosti (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (0 + 3) / (0 – 1) <2

⇒ 3 / (-1) <2

⇒ -3 <2 (pravda)

Pro interval (1, 5) nechť náhodná hodnota je 2.

Vložení x = 3 do nerovnosti (x + 3) / (x – 1) <2

⇒ (3 + 3) / (3 – 1) <2

⇒ 6 / 2 <2

⇒ 3 <2 (nepravda)

Pro interval (5, ∞) nechť je náhodná hodnota 2.

Dosazení y = 6 do nerovnosti (x + 3) / (x – 1) <2

js onclick

⇒ (6 + 3) / (6 – 1) <2

⇒ 9/5 <2

⇒ 1,8 <2 (pravda)

Krok 6: Takže řešení pro nerovnost absolutní hodnoty (x + 3) / (x – 1) <2 je interval (-∞, 1) ∪ (5, ∞), protože splňuje nerovnost, která může být vykreslena na číselné ose jako:

Jak vyřešit lineární nerovnost se dvěma proměnnými

Vezměme si příklad řešení lineární nerovnosti se dvěma proměnnými.

Příklad: Řešení: 20x + 10y ≤ 60

Řešení:

Uvažujme x = 0 a dosaďte ji do dané nerovnosti

⇒ 20x + 10y ≤ 60

⇒ 20(0) + 10y ≤ 60

⇒ 10y ≤ 60

⇒ a ≤ 6 ——(i)

Nyní, když x = 0, y může být 0 až 6.

Podobně vložení hodnot do nerovnosti a kontrola nerovnosti vyhovuje.

Pro x = 1 může být y 0 až 4.

Pro x = 2 může být y 0 až 2.

Pro x = 3 může být y 0.

Možné řešení pro danou nerovnost je (0, 0), (0,1), (0, 2), (0,3), (0,4), (0,5), (0,6), ( 1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,0), (2,1), (2,2), (3, 0).

Systémy nerovností

Systémy nerovností jsou množinou dvou nebo více nerovností s jednou nebo více proměnnými. Systémy nerovnic obsahují více nerovností s jednou nebo více proměnnými.

Systém nerovností má tvar:

A_jedenáctX₁+ a₁₂X₂+ a₁₃X₃…….. + a_1nX_{n 1}

A_{dvacet jedna}X₁+ a₂₂X₂+ a₂₃X₃…….. + a_2nX_{n 2}

A_n1X₁+ a_n2X₂+ a_n3X₃…….. + a_nnX_{n n}

Grafické znázornění soustav nerovnic

Systém nerovnic je skupina vícenásobných nerovností. Nejprve vyřešte každou nerovnost a nakreslete graf pro každou nerovnost. Průsečík grafu všech nerovnic představuje graf pro soustavy nerovnic.

Zvažte příklad,

Příklad: Vyneste graf pro soustavy nerovnic

• 2x + 3 roky ≤ 6
• x ≤ 3
• y ≤ 2

Řešení:

Graf pro 2x + 3y ≤ 6

Stínovaná oblast grafu představuje 2x + 3y ≤ 6

Graf pro x ≤ 3

Stínovaná oblast představuje x ≤ 3

Graf pro y ≤ 2

Stínovaná oblast představuje y ≤ 2

Graf pro daný systém nerovnic

Stínovaná oblast představuje daný systém nerovností.

Nerovnosti – FAQ

Co je to pojem nerovnosti?

Nerovnice jsou matematické výrazy, ve kterých jsou LHS a RHS výrazu nerovné.

Jaké jsou symboly pro nerovnosti?

Symboly nerovnic jsou:>, <, ≥, ≤ a ≠.

Co je tranzitivní vlastnost nerovností?

Tranzitivní vlastnost nerovnic říká, že pokud a, b, c jsou tři čísla, pak

• Pokud a> b a b> c, pak a> c
• Pokud
• Jestliže a ≥ b ab ≥ c, pak a ≥ c
• Jestliže a ≤ b a b ≤ c, pak a ≤ c