Implikační prohlášení může být reprezentováno ve formě 'jestliže....pak'. Symbol ⇒ se používá k znázornění implikace. Předpokládejme, že existují dva výroky, P a Q. V tomto případě lze výrok „jestliže P pak Q“ zapsat také jako P ⇒ Q nebo P → Q a bude se číst jako „P implikuje Q“. V této implikaci je výrok P hypotézou, která je také známá jako premisa a antecedent, a výrok Q je závěr, který je také znám jako důsledek.
Implikace hraje důležitou roli i v logické argumentaci. Pokud je známo, že implikace výroků je pravdivá, pak vždy, když je splněn předpoklad, musí být pravdivý i závěr. Z tohoto důvodu je implikace známá také jako podmíněný příkaz.
Některé příklady implikací jsou popsány takto:
co je mac os
- 'Pokud bude v GOA slunečné počasí, půjdeme na pláž.'
- 'Pokud má klub slevový systém, půjdeme do tohoto klubu.'
- 'Pokud bude slunečno, když půjdeme na pláž, budeme opálení'.
Logická implikace může být vyjádřena různými způsoby, které jsou popsány takto:
- Jestliže p, pak q
- Pokud p, q
- q když p
- Q pouze v případě, že P
- q pokud ~p
- q kdykoli p
- p je postačující podmínkou pro q
- q sledovat p
- p znamená q
- Nezbytnou podmínkou pro p je q
- q pokud p
- q je nutné pro p
- p je nezbytnou podmínkou pro q
Nyní popíšeme příklady všech výše popsaných implikací s pomocí premisy P a závěru Q. K tomu budeme předpokládat, že P = Je slunečno a Q = Půjdu na pláž.
P ⇒ Q
- POKUD bude slunečno, PAK půjdu na pláž
- POKUD bude slunečno, půjdu na pláž
- Půjdu na pláž, KDYŽ bude slunečno
- Na pláž půjdu, POUZE POKUD bude slunečno
- Půjdu na pláž, POKUD nebude slunečno
- Půjdu na pláž, KDYŽ bude slunečno
- Je slunečno JE DOSTATEČNÁ PODMÍNKA PRO Půjdu na pláž
- Půjdu na pláž NÁSLEDOVAT, že je slunečno
- Je slunečno ZNAMENÁ, že půjdu na pláž
- NUTNÁ PODMÍNKA PRO slunečno je půjdu na pláž
- Půjdu na pláž, POKUD bude slunečno
- Půjdu na pláž JE NUTNÉ, PROTOŽE je slunečno
- Je slunečno JE NUTNÁ PODMÍNKA PRO Půjdu na pláž
Pokud existuje podmíněný příkaz 'if p then q', pak tento příkaz P ⇒ Q bude nepravdivý, když předpoklad p je pravdivý, a závěr q je nepravdivý. Ve všech ostatních případech to znamená, že když p je nepravdivé nebo Q je pravdivé, výrok P ⇒ Q bude pravdivý. Toto tvrzení můžeme znázornit pomocí pravdivostní tabulky, ve které nepravda bude reprezentována F a pravda bude reprezentována T. Pravdivostní tabulka tvrzení „pokud P pak Q“ je popsána následovně:
| P | Q | P ⇒ q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Není nutné, aby premisy a závěr spolu souvisely. Na základě formulace P a Q je závislá interpretace pravdivostní tabulky.
Například:
- Pokud je Jack vyroben z plastu, pak je oceán zelený.
- Prohlášení: Jack je vyroben z plastu
- Výrok: Oceán je zelený
Výše uvedená dvě prohlášení nedávají žádný smysl, protože Jack je člověk a nikdy nemůže být vyroben z plastu, a další prohlášení Ocean is green se nikdy nestane, protože oceán je vždy modrý a barvu oceánu nelze změnit. Jak vidíme, oba výroky spolu nesouvisí. Na druhou stranu platí pravdivostní tabulka pro tvrzení P ⇒ Q. Nejde tedy o to, zda je pravdivostní tabulka správná nebo ne, ale jde o představivost a interpretaci.
Takže v P ⇒ Q nepotřebujeme žádný typ spojení mezi premisou a následkem. Na základě skutečné hodnoty P a Q závisí jejich význam pouze.
Tyto výroky budou také nepravdivé, i když vezmeme v úvahu oba výroky pro náš svět, takže
False ⇒ False
Takže když se podíváme na výše uvedenou pravdivostní tabulku, vidíme, že když P je nepravda a Q je nepravda, pak P ⇒ Q je pravda.
Takže pokud je Jack vyroben z plastu, pak bude oceán zelený.
Premisa p a závěr q však budou souviset a obě tvrzení dávají smysl.
Dvojznačnost
V implikovaném operátoru může být nejednoznačnost. Když tedy použijeme implikační operátor (⇒), v tomto okamžiku bychom měli použít závorku.
Například: V tomto příkladu máme nejednoznačný výrok P ⇒ Q ⇒ R. Nyní máme dva nejednoznačné výroky ((P ⇒ Q) ⇒ R) nebo (P ⇒ (Q ⇒ R)) a musíme ukázat, zda tyto výroky jsou podobné nebo ne.
Řešení: Prokážeme to pomocí pravdivostní tabulky, která je popsána takto:
| P | Q | R | (P ⇒ Q) | (O ⇒ R) | P ⇒ (Q ⇒ R) | (P ⇒ Q) ⇒ R |
|---|---|---|---|---|---|---|
| F | F | F | T | T | T | F |
| F | F | T | T | T | T | T |
| F | T | F | T | F | T | F |
| F | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | T | T | T |
| T | F | T | F | T | T | T |
| T | T | F | T | F | F | F |
| T | T | T | T | T | T | T |
Ve výše uvedené pravdivostní tabulce můžeme vidět, že pravdivostní tabulka P ⇒ (Q ⇒ R) a (P ⇒ Q) ⇒ R nejsou podobné. Oba tedy budou generovat různé výstupy nebo výsledky.
Více o implikaci
Některé další příklady implikací jsou popsány následovně:
- Pokud bude slunečno, půjdu do školy.
- Když dostanu dobrou práci, vydělám peníze.
- Když budu mít dobré známky, budou mít rodiče radost.
Ve všech výše uvedených příkladech jsme zmateni, protože nevíme, kdy bude implikace považována za pravdivou a kdy za nepravdivou. K vyřešení tohoto problému a pochopení pojmu implikace použijeme hypotetický příklad. V tomto příkladu budeme předpokládat, že Marry bude hrát badminton se svým přítelem Jackem a jeho přítel Jack chce Marry trochu motivovat, a tak ji naláká prohlášením:
'If you win then I will buy a ring for you'
Tímto prohlášením Jack znamená, že pokud vyhraje marry, pak samozřejmě koupí prsten. Prostřednictvím tohoto prohlášení se Jack zaváže pouze tehdy, když Marry vyhraje. V žádném případě se ničeho nedopustil, když Mary prohrála. Takže na konci zápasu mohou být pouze čtyři možnosti, které jsou popsány následovně:
- Marry vyhrává - kupte prsten.
- Marry vyhrává - nekupujte prsten.
- Marry prohraje - kup si prsten.
- Marry prohraje - nekupuj prsten.
Jack však neučinil žádné prohlášení týkající se pravidla (B). Ve svém prohlášení také nezmínil pravidla číslo (C) a (D), takže pokud Marry prohraje, pak je zcela na Jackovi, zda jí prsten koupí nebo ne. Ve skutečnosti se výroky (A), (C) a (D) mohou stát výsledkem výroku, který Jack říká Marry, ale (B) výsledkem nebude. Pokud dojde k výsledku (B), bude Jack přistižen při lži. Ve všech ostatních třech případech, tj. (A), (C) a (D), bude mluvit pravdu.
Nyní použijeme jednodušší výrok, abychom mohli Jackův výrok symbolicky definovat takto:
P: you win Q: I will buy a ring for you
V této implikaci používáme logický symbol ⇒, který lze číst jako 'implikuje'. Příkaz Jack's Compound vytvoříme pomocí umístění této šipky od P do Q takto:
P ⇒ Q: If you win, then I will buy a ring for you.
Na závěr jsme pozorovali, že implikace bude nepravdivá pouze tehdy, když P je pravdivé a q je nepravdivé. Podle tohoto prohlášení Marry hru vyhraje, ale Jack si bohužel nekoupí prsten. Ve všech ostatních případech/výsledcích bude tvrzení pravdivé. V souladu s tím je pravdivostní tabulka pro implikaci popsána takto:
| P | Q | P ⇒ Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
Seznam odpovídajících logických rovnic pro implikaci je popsán takto:
T → T = T T → F = F F → T = T F → F = T
Příklady implikace:
Existují různé příklady důsledků a některé z nich jsou popsány takto:
Příklad 1: Předpokládejme, že existují čtyři tvrzení, P, Q, R a S kde
P: Jack je ve škole
Otázka: Jack učí
R: Jack spí
S: Jack je nemocný
Nyní popíšeme některé symbolické výroky, které jsou spojeny s těmito jednoduchými výroky.
- P → R
- S → ~P
- ~Q → (S ∧ R)
- (P ∨ R) → ~Q
- (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P)
Zde musíme ukázat reprezentaci interpretace těchto symbolických výroků do slov.
Řešení:
| P → R | Pokud je Jack ve škole, pak Jack učí. |
| S → ~P | Pokud je Jack nemocný, pak není ve škole. |
| ~Q → (S ∧ R) | Pokud Jack neučí, pak je nemocný a spí. |
| (P ∨ R) → ~Q | Pokud je Jack ve škole nebo spí, pak neučí. |
| (~R ∧ ~S) → (Q ∨ ~P) | Pokud Jack nespí a není nemocný, pak učí nebo ne ve škole. |
Příklad 2: V tomto příkladu máme implikaci P → Q. Zde také máme další tři složené výroky, které jsou přirozeně spojeny s touto implikací, která je protikladná, inverzní a obrácená k implikaci. Vztah mezi všemi těmito čtyřmi tvrzeními je popsán pomocí tabulky, která je popsána takto:
| Implikace | P → Q |
| Konverzovat | Q → P |
| Inverzní | ~P → ~Q |
| Kontrapozitivní | ~Q → ~P |
Nyní se podíváme na příklad implikace, který obsahuje výrok: „Když se dobře učíš, máš dobré známky“. Toto tvrzení je ve tvaru P → Q, kde
P: Učíš se dobře
Otázka: Dostáváte dobré známky
Nyní použijeme příkazy P a Q a zobrazíme čtyři související příkazy takto:
Implikace: Pokud se dobře učíte, máte dobré známky.
Konverzovat: Pokud máte dobré známky, dobře se učíte.
Inverzní: Pokud se neučíte dobře, nemáte dobré známky.
Kontrapozitivní: Pokud nemáte dobré známky, neučíte se dobře.
Pravdivostní hodnoty všech výše uvedených přidružených tvrzení jsou popsány pomocí pravdivostní tabulky, která je popsána následovně
| P | Q | ~P | ~Q | P → Q | Q → P | ~P → ~Q | ~Q → ~P |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F | T | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F | T |
| F | F | T | T | T | T | T | T |
Ve výše uvedené tabulce vidíme, že implikace (P → Q) a její kontrapozitiv (~Q → ~P) mají ve svých sloupcích stejnou hodnotu. To znamená, že oba jsou rovnocenní. Můžeme tedy říci, že:
P → Q = ~Q → ~P
Podobně můžeme vidět, že obrácená a inverzní mají ve svých sloupcích podobné hodnoty. Ale to nebude žádný rozdíl, protože inverzní je protikladem obráceného. Podobně může původní implikace vycházet z kontrapozitivu z kontrapozitivu. (To znamená, že pokud negujeme P a Q a pak změníme směr šipky a poté proces znovu zopakujeme, to znamená negujeme ~P a ~Q, a znovu změníme směr šipky, v tomto případě dostaneme tam, kde jsme začali).