Trojúhelníky jsou třístranné uzavřené polygony tvořené průsečíkem tří čar. V běžném životě se s tím setkáváme hodně. Je to jeden ze základních tvarů geometrie. Má tři strany, tři úhly a tři vrcholy. Pravoúhlý trojúhelník je takový, kde jeden z úhlů je vždy roven 90°. Pythagorova věta je odvozena pro pravoúhlé trojúhelníky, což říká, že druhá mocnina přepony (nejdelší strana) je rovna součtu čtverců základny a odvěsny.

Vzhledem k délce alespoň dvou stran pravoúhlého trojúhelníku můžeme najít hodnotu libovolného úhlu pravoúhlého trojúhelníku. K tomu používáme různé goniometrické funkce jako sinus, kosinus, tangens, kotangens, sec a cosec. Ty nám pomáhají spojit úhly pravoúhlého trojúhelníku s jeho stranami.

Vlastnosti

• Mezi třemi vrcholy je pravoúhlý vrchol
• Strana protilehlá k pravoúhlému vrcholu se nazývá přepona .
• Délka stran se řídí Pythagorovou větou, která říká

přepona ² = základna ² + nadmořská výška ²

• Přepona je nejdelší strana pravoúhlého trojúhelníku.
• Úhly jiné než pravý úhel jsou ostré úhly, protože hodnota je menší než 90^Ó

Goniometrické funkce

ABC je pravoúhlý trojúhelník s ∠B jako pravoúhlý

java long to string

• cosθ: To dává poměr základny s přeponou pravoúhlého trojúhelníku.

cosθ = základ / přepona

• sinθ: To dává poměr nadmořské výšky podle přepony pravoúhlého trojúhelníku.

sinθ = nadmořská výška / přepona

• tanθ: Je to poměr nadmořské výšky k základně pravoúhlého trojúhelníku.

tanθ = nadmořská výška / základna

• postýlkaθ: Je to převrácená hodnota tanθ
• sekθ: Je to převrácená hodnota cosθ
• cosecθ: Je to opak sinθ

Abychom našli úhly pravoúhlého trojúhelníku, můžeme vzít trigonometrickou převrácenou hodnotu poměru daných stran trojúhelníku.

Příklad:

Jestliže sinθ = x, pak můžeme psát

θ = hřích ^-1 X.

Tím se vrátí úhel, pro který je sinusová hodnota úhlu x.

Podobně existuje cos^-1θ, takže^-1já, postýlka^-1θ, sek^-1θ a cosec^-1i

Ukázkové problémy

Otázka 1. Je dán pravoúhlý trojúhelník se základnou rovnou 10 cm a přeponou rovnou 20 cm. Najděte hodnotu základního úhlu.

Řešení:

Daná základna = 10 cm

Hypotenze = 20 cm

Nechť je hodnota základního úhlu θ. Můžeme psát

cosθ = základ / přepona = 10/20 = 1/2

θ = cos^-1(1/2) = 60^Ó

Hodnota základního úhlu je tedy 60 ^Ó .

Otázka 2. Najděte hodnotu úhlů pravoúhlého trojúhelníku za předpokladu, že jeden z ostrých úhlů je dvojnásobkem druhého.

Řešení:

Protože víme, že součet všech tří úhlů v trojúhelníku je 180^Ó.

Protože jeden z úhlů je 90^Óa jeden z ostrých úhlů je dvojnásobkem druhého, můžeme je považovat za θ a 2θ.

Takže můžeme psát

90^Ó+ 0 + 20 = 180^Ó

30 = 180^Ó– 90^Ó

30 = 90^Ó

0 = 90^Ó/3 = 30 ^Ó

20 = 2 x 30^Ó= 60 ^Ó

Takže úhly jsou 30 ^Ó , 60 ^Ó , a 90 ^Ó .

Otázka 3. Zjistěte hodnotu úhlu elevace žebříku o délce 5 m za předpokladu, že základna žebříku je ve vzdálenosti 3 m od stěny.

Řešení:

Protože žebřík funguje jako přepona pravoúhlého trojúhelníku a vzdálenost základny je 3 m, můžeme psát

Přepona = 5m

Základna = 3m

Nechť úhel elevace je θ. Takže můžeme psát

cosθ = základ / přepona = 3/5

θ = cos^-1(3/5)

θ = 53^Ó

Hodnota úhlu elevace je tedy 53^Ó.

Otázka 4. Zjistěte hodnotu přepony za předpokladu, že délka nadmořské výšky je 8m a úhel základny se rovná 30 ^Ó .

Řešení:

Vzhledem k tomu, že základní úhel je roven 30^Óa nadmořská výška se rovná 8m, můžeme použít funkci sinus k nalezení délky přepony.

hřích30 ^Ó = nadmořská výška / přepona

přepona = nadmořská výška / sin30^Ó

Od hodnoty hříchu30^Órovná se 1/2, můžeme psát

přepona = nadmořská výška / (1/2) = 2 × nadmořská výška

Tedy přepona = 2 × 8 = 16 m

Délka přepony je tedy rovna 16m.