Plocha pod křivkou je plocha ohraničená křivkou a souřadnicovými osami, vypočítá se tak, že vezmeme velmi malé obdélníky a pak vezmeme jejich součet, vezmeme-li nekonečně malé obdélníky, pak se jejich součet vypočítá pomocí limity takto vytvořené funkce.

Pro danou funkci f(x) definovanou v intervalu [a, b] je plocha (A) pod křivkou f(x) od „a“ do „b“ dána vztahem A = ∫ _A ^b f(x)dx . Plocha pod křivkou se vypočítá tak, že se vezme absolutní hodnota funkce za interval [a, b] sečtená v rozsahu.

V tomto článku se podrobně seznámíme s oblastí pod křivkou, jejími aplikacemi, příklady a dalšími.

Obsah

• Co je oblast pod křivkou?
• Výpočet plochy pod křivkou
• Použití Reimannových součtů
• Použití určitých integrálů
• Aproximace oblasti pod křivkou
• Výpočet plochy pod křivkou
• Vzorce oblasti pod křivkou

Co je oblast pod křivkou?

Plocha pod křivkou je plocha ohraničená libovolnou křivkou s osou x a danými okrajovými podmínkami, tj. plocha ohraničená funkcí y = f(x), osou x a přímkou ​​x = a a x = b. V některých případech existuje pouze jedna nebo žádná okrajová podmínka, protože křivka protíná osu x jednou nebo dvakrát.

Plochu pod křivkou lze vypočítat pomocí různých metod, jako je Reimannův součet a Určitý integrál a můžeme také aproximovat plochu pomocí základních tvarů, tj. trojúhelník, obdélník, lichoběžník atd.

Přečtěte si podrobně: Počet v matematice

Výpočet plochy pod křivkou

Pro výpočet plochy pod křivkou můžeme použít následující metody, např.

• Použití Reimannových součtů
• Použití určitých integrálů
• Použití aproximace

Pojďme si tyto metody podrobně prostudovat takto:

Použití Reimannových součtů

Reimann Sums se vypočítá rozdělením grafu dané funkce na menší obdélníky a sečtením ploch každého obdélníku. Čím více obdélníků uvažujeme dělením poskytnutého intervalu, tím přesnější je plocha vypočítaná tímto přístupem; nicméně čím více podintervalů uvažujeme, tím obtížnější jsou výpočty.

Reimann Sum lze rozdělit do tří dalších kategorií, jako jsou:

• Vlevo Reimann Sum
• Správně Reimann Sum
• Střed Reimann Sum

Oblast pomocí Reimannovy sumy je dána takto:

old{Area = sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i}

kde,

• f(x _i ) je hodnota funkce, která je integrována do i ^čt vzorový bod
• Ax = (b-a)/n je šířka každého podintervalu,
  • A a b jsou limity integrace a
  • n je počet podintervalů
• ∑ představuje součet všech členů od i=1 do n,

Příklad: Najděte oblast pod křivkou pro funkci, f(x) = x ² mezi limity x = 0 a x = 2.

Řešení:

Chceme najít plochu pod křivkou této funkce mezi x = 0 a x = 2. K aproximaci plochy použijeme levý Reimannův součet s n = 4 podintervaly.

Vypočítejme plochu pod křivkou pomocí 4 podintervalů.

Tedy šířka podintervalů, Δx = (2-0)/4 = 0,5

Všechny 4 podintervaly jsou

a = 0 = x_{0 1 2 3 4}= 2 = b

java operátory

X₀= 0, x₁= 0,5 x₂= 1, x₃= 1,5 x₄= 2

Nyní můžeme vyhodnotit funkci na těchto hodnotách x, abychom našli výšky každého obdélníku:

f(x₀) = (0)²= 0
f(x₁) = (0,5)²= 0,25
f(x₂) = (1)²= 1
f(x₃) = (1,5)²= 2,25
f(x₄) = (2)²= 4

Plochu pod křivkou lze nyní aproximovat sečtením ploch obdélníků tvořených těmito výškami:

A ≈ Δx[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)] = 0,5[0 + 0,25 + 1 + 2,25] = 1,25

Proto plocha pod křivkou f(x) = x²mezi x = 0 a x = 2, aproximováno pomocí levého Reimannova součtu se 4 subintervaly, je přibližně 1,25.

Použití určitých integrálů

Určitý integrál je téměř stejný jako Reimannův součet, ale zde se počet podintervalů blíží nekonečnu. Pokud je funkce dána pro interval [a, b], pak je určitý integrál definován jako:

int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty}sum_{i=1}^{n}f(x_i)Delta x_i

Definitivní integrál udává přesnou plochu pod křivkou, na rozdíl od Reimannova součtu. Určitý integrál se vypočítá nalezením primitivní funkce funkce a jejím vyhodnocením na mezích integrace.

Oblast s ohledem na osu X

Křivka zobrazená na obrázku níže je reprezentována pomocí y = f(x). Potřebujeme vypočítat plochu pod křivkou vzhledem k ose x. Hraniční hodnoty pro křivku na ose x jsou a a b. Plocha A pod touto křivkou vzhledem k ose x se vypočítá mezi body x = a a x = b. Zvažte následující křivku:

Vzorec pro oblast pod křivkou w.r.t k ose x je dán vztahem:

old{A = int_{a}^{b}y.dx}

old{A = int_{a}^{b}f(x)dx}

kde,

• A je oblast pod křivkou
• a nebo f(x) je rovnice křivky
• A, a b jsou x-hodnoty nebo mez integrace, pro kterou potřebujeme vypočítat plochu

Oblast s ohledem na osu Y

Křivka zobrazená na obrázku výše je reprezentována pomocí x = f(y). Potřebujeme vypočítat plochu pod křivkou vzhledem k ose Y. Hraniční hodnoty pro křivku na ose Y jsou a a b. Plocha A pod touto křivkou vzhledem k ose Y mezi body y = a a y = b. Zvažte následující křivku:

Vzorec pro oblast pod křivkou w.r.t k ose y je dán vztahem:

old{A = int_{a}^{b}x.dy}

old{A = int_{a}^{b}f(y)dy}

kde,

• A je oblast pod křivkou
• X nebo f(y) je rovnice křivky
• a, b jsou y-Intercepty

dozvědět se více, Oblast mezi dvěma křivkami

Aproximace oblasti pod křivkou

Aproximace plochy pod křivkou zahrnuje použití jednoduchých geometrických tvarů, jako jsou obdélníky nebo lichoběžníky, k odhadu plochy pod křivkou. Tato metoda je užitečná, když je obtížné funkci integrovat nebo když není možné najít primitivní funkci. Přesnost aproximace závisí na velikosti a počtu použitých tvarů.

Výpočet plochy pod křivkou

Plochu různých křivek můžeme snadno vypočítat pomocí pojmů diskutovaných v daném článku. Nyní se podívejme na některé příklady výpočtu plochy pod křivkou pro některé běžné křivky.

Oblast pod křivkou: Parabola

Víme, že standardní parabola je rozdělena na dvě symetrické části buď osou x, nebo osou y. Předpokládejme, že vezmeme parabolu y²= 4ax a pak se jeho plocha vypočítá od x = 0 do x = a. A v případě potřeby zdvojnásobíme její plochu, abychom našli plochu paraboly v obou kvadrantech.

Výpočet plochy,

a²= 4ax

y = √ (4ax)

A = 2°₀^Ay.dx

A = 2°₀^A√ (4ax).dx

A = 4√(a)∫₀^A√(x).dx

A = 4√(a){2/3.a^3/2}

A = 8/3a²

Plocha pod parabolou od x = 0 do x = a je tedy 8/3a ² čtvercové jednotky

Oblast pod křivkou: Kruh

Kruh je uzavřená křivka, jejíž obvod je vždy ve stejné vzdálenosti od jejího středu. Jeho plocha se vypočítá tak, že se nejprve vypočítá plocha v prvním kvadrantu a poté se vynásobí 4 pro všechny čtyři kvadranty.

Předpokládejme, že vezmeme kružnici x²+ a²= a²a pak se jeho plocha vypočítá od x = 0 do x = a v prvním kvadrantu. A v případě potřeby zčtyřnásobíme jeho plochu, abychom našli plochu kruhu.

Výpočet plochy,

X²+ a²= a²

y = √ (a²- X²).dx

A = 4°₀^Ay.dx

A = 4°₀^A√ (a²- X²).dx

A = 4[x/2√(a²- X²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^A₀

A = 4[{(a/2.0) + a²/2.bez^-1} – 0]

A = 4 (a²/2)(p/2)

A = πa²

Oblast pod kruhem je tedy pa ² čtvercové jednotky

Oblast pod křivkou: Elipsa

Kruh je uzavřená křivka. Jeho plocha se vypočítá tak, že se nejprve vypočítá plocha v prvním kvadrantu a poté se vynásobí 4 pro všechny čtyři kvadranty.

Předpokládejme, že vezmeme kruh (x/a)²+ (y/b)²= 1 a pak se jeho plocha vypočítá od x = 0 do x = a v prvním kvadrantu. A v případě potřeby zčtyřnásobíme její plochu, abychom našli plochu elipsy.

Výpočet plochy,

(x/a)²+ (y/b)²= 1

y = b/a√(a²- X²).dx

A = 4°₀^Ay.dx

A = 4b/a∫₀^A√ (a²- X²).dx

A = 4b/a[x/2√(a²- X²) + a²/2 bez^-1(x/a)]^A₀

A = 4b/a[{(a/2.0) + a²/2.bez^-1} – 0]

A = 4b/a(a²/2)(p/2)

A = πab

Tedy oblast pod elipsou je πab čtvercové jednotky.

Vzorce oblasti pod křivkou

Vzorec pro různé typy výpočtu plochy pod křivkou je uveden v tabulce níže:

Také Číst

• Integrály
• Oblast jako určitý integrál

Ukázkové příklady oblasti pod křivkou

Příklad 1: Najděte oblast pod křivkou y ² = 12x a osa X.

Řešení:

Daná rovnice křivky je y²= 12x

Toto je rovnice paraboly s a = 3, tedy y²= 4(3)(x)

Graf pro požadovanou oblast je zobrazen níže:

Osa X rozděluje výše uvedenou parabolu na 2 stejné části. Můžeme tedy najít plochu v prvním kvadrantu a pak ji vynásobit 2, abychom dostali požadovanou plochu

Požadovanou oblast tedy můžeme najít jako:

A = 2int_{a}^{b}ydx

⇒A = 2int_{0}^{3}sqrt{12x}dx

⇒A = 2sqrt{12}[frac{2x^frac{3}{2}}{3}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}[x^frac{3}{2}]_0^3

⇒A = frac{4sqrt{12}}{3}*sqrt{27}

⇒ A = 24 jednotek čtverečních

Příklad 2: Vypočítejte plochu pod křivkou x = y ³ – 9 mezi body y = 3 a y = 4.

Řešení:

regexp_like v mysql

Daná rovnice křivky je x = y³– 9

Hraniční body jsou (0, 3) a (0, 4)

Protože rovnice křivky je ve tvaru x = f(y) a body jsou také na ose Y, použijeme vzorec,

A = int_{a}^{b}x.dy

⇒A = int_{3}^{4}(y^3-9)dy

⇒A = [frac{y^4}{4}-9y]^4_3

⇒A = (64-36)-(frac{81}{4}-27)

⇒A = 28+frac{27}{4}

python rstrip

⇒ A = 139/4 čtverečních jednotek

Příklad 3: Vypočítejte plochu pod křivkou y = x ² – 7 mezi body x = 5 a x = 10.

Řešení:

Daná křivka je y = x²−7 a hraniční body jsou (5, 0) a (10, 0)

Plocha pod křivkou je tedy dána:

A = int_{5}^{10}(x^2-7)dx

⇒A = [frac{x^3}{3}-7x]_5^{10}

⇒ A = (100/3 – 70) – (125/3 – 35)

⇒ A = 790/3 – 23/3

⇒ A = 770/3 jednotek čtverečních

Příklad 4: Najděte oblast ohraničenou parabolou y ² = 4ax a přímka x = a v prvním kvadrantu.

Řešení:

Křivku a danou čáru lze nakreslit následovně:

Nyní je rovnice křivky y²= 4ax

Hraniční body jsou (0, 0) a (a, 0)

Takže plochu vzhledem k ose X lze vypočítat jako:

A=int_{0}^{a}ydx

⇒A=int_{0}^{a}sqrt{4ax}dx

⇒A=[sqrt{4a}frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=2×frac{2}{3}sqrt{a}[x^{frac{3}{2}}]_0^a

⇒A=frac{4sqrt{a}}{3}×a^frac{3}{2}

⇒A=frac{4a^2}{3} sq. units

Příklad 5: Najděte oblast pokrytou kružnicí x ² + a ² = 25 v prvním kvadrantu.

Řešení:

Vzhledem k tomu, x²+ a²= 25

Křivku lze nakreslit jako:

Požadovaná oblast je na obrázku výše zastíněna. Z rovnice vidíme, že poloměr kruhu je 5 jednotek.

Jako, x²+ a²= 25

y = sqrt{25-x^2}

K vyhledání oblasti použijeme:

A = int_{a}^{b}ydx

⇒A = int_{0}^{5}sqrt{25-x^2}dx

⇒A = [frac{x}{2}(sqrt{25-x^2}+frac{25}{2}sin^{-1}frac{x}{5})]_0^5

⇒A = [(frac{5}{2}×0 +frac{25}{2}sin^{-1}(1))-0]

⇒A = frac{25}{2}×frac{pi}{2}

⇒ A = 25 π/4 čtverečních jednotek

Časté dotazy k oblasti pod křivkou

Definujte oblast pod křivkou.

Oblast ohraničená křivkou, osou a hraničními body se označuje jako oblast pod křivkou. Pomocí souřadnicových os a integračního vzorce byla plocha pod křivkou určena jako dvourozměrná.

Jak vypočítat plochu pod křivkou?

Existují tři způsoby, jak najít oblast pod křivkou, a to:

• Reimann Sums zahrnují rozdělení křivky na menší obdélníky a sečtení jejich ploch, přičemž počet podintervalů ovlivňuje přesnost výsledku.
• Jednoznačné integrály jsou podobné Reimannovým součtům, ale k získání přesného výsledku používají nekonečný počet podintervalů.
• Aproximační metody se používá známé geometrické tvary k aproximaci plochy pod křivkou.

Jaký je rozdíl mezi určitým integrálem a Reimannovým součtem?

Klíčový rozdíl mezi určitým integrálem a Reimannovým součtem je ten, že určitý integrál představuje přesnou plochu pod danou křivkou, zatímco Reimannův součet představuje přibližnou hodnotu oblasti a přesnost součtu závisí na zvolené velikosti oddílu.

Může být oblast pod křivkou negativní?

Pokud je křivka pod osou nebo leží v záporných kvadrantech souřadnicové osy, je plocha pod křivkou záporná. I v tomto případě je plocha pod křivkou vypočítána pomocí konvenčního přístupu a řešení je následně modulováno. I v případech, kdy je odpověď záporná, se bere v úvahu pouze hodnota oblasti, nikoli záporné znaménko odpovědi.

Co představuje oblast pod křivkou ve statistice?

Plocha pod křivkou (ROC) je mírou přesnosti kvantitativního diagnostického testu.

Jak interpretujete znamení oblasti pod křivkou?

Znaménko plochy ukazuje, že plocha pod křivkou je nad osou x nebo pod osou x. Pokud je plocha kladná, je plocha pod křivkou nad osou x a pokud je záporná, plocha pod křivkou je pod osou x.

Jak se přibližuje plocha pod křivkou?

Segmentováním oblasti do malých obdélníků lze zhruba odhadnout plochu pod křivkou. A přidáním oblastí těchto obdélníků lze získat oblast pod křivkou.