V matematice se exponenty a mocniny používají, když se číslo násobí samo sebou určitým počtem časů. Například 4 × 4 × 4 = 64. To lze také napsat ve zkrácené podobě jako 4³= 64. Tady, 4³znamená, že číslo 4 se samo o sobě násobí třikrát, a zkrácený tvar 4³je exponenciální výraz. Číslo 4 je základní číslo, zatímco číslo 3 je exponent a daný exponenciální výraz čteme jako 4 umocněný na 3. V exponenciálním výrazu je základem faktor, který se opakovaně násobí sám sebou, zatímco exponent je počet výskytů faktoru.

Definice exponentů a mocnin

Pokud se číslo násobí samo sebou n krát , výsledný výraz je známý jako n-tá síla daného čísla. Mezi exponentem a mocninou je velmi tenká hranice. Exponent je počet, kolikrát bylo dané číslo vynásobeno samo sebou, zatímco mocnina je hodnota součinu základního čísla zvýšeného na exponent. Pomocí exponenciálního tvaru čísel můžeme pohodlněji vyjádřit extrémně velká a malá čísla. Například 1 000 000 000 lze vyjádřit jako 1 × 10⁸a 0,0000000000013 lze vyjádřit jako 13 × 10^-13. To usnadňuje čtení čísel, pomáhá udržovat jejich přesnost a také nám šetří čas.

Pravidla exponentů a mocnin

Pravidla exponentů a mocnin vysvětlují, jak sčítat, odčítat, násobit a dělit exponenty a také jak řešit různé druhy matematických rovnic zahrnujících exponenty a mocniny.

Pravidlo 1: Produktový zákon exponentů

Podle tohoto zákona, když se násobí exponenty se stejnými základy, exponenty se sčítají.

Produktový zákon exponentů: a^m× aⁿ=a^(m+n)

Pravidlo 2: Podílové pravidlo exponentů

Podle tohoto zákona, abychom vydělili dva exponenty se stejnými základy, musíme exponenty odečíst.

Podílové pravidlo exponentů: a^m/Aⁿ=a^(m–n)

Pravidlo 3: Síla mocninného pravidla

Podle tohoto zákona, pokud je exponenciální číslo zvýšeno na jinou mocninu, pak se mocniny násobí.

Mocnina mocninného pravidla: (a^m)ⁿ=a^{(m × n)}

Pravidlo 4: Síla pravidla součinu

Podle tohoto zákona musíme vynásobit různé báze a zvýšit stejný exponent na součin bází.

Síla pravidla součinu: a^m× b^m= (a × b)^m.

Pravidlo 5: Síla kvocientového pravidla

Podle tohoto zákona musíme rozdělit různé základy a zvýšit stejný exponent na podíl základen.

Mocnina podílového pravidla: a^m÷ b^m=(a/b)^m

Pravidlo 6: Pravidlo nulového exponentu

Pokud je podle tohoto zákona hodnota základu umocněna nulou, je 1.

Pravidlo nulového exponentu: a⁰=1

Pravidlo 7: Pravidlo záporného exponentu

Podle tohoto zákona, pokud je exponent záporný, pak se exponent změní na kladný tím, že se vezme převrácená hodnota exponenciálního čísla.

Pravidlo záporného exponentu: a^-m= 1/a^m

Pravidlo 8: Pravidlo zlomkového exponentu

Podle tohoto zákona, když máme zlomkový exponent, pak to vede k radikálům.

Pravidlo zlomkového exponentu: a^(1/n)=ⁿ√a

A^(m/n)=ⁿ√a^m

Co znamená 10 na 4?

Řešení:

Vypočítejme hodnotu 10 až 4. střední hodnota, tedy 10⁴

Víme, že podle mocenského pravidla exponentů

osi modelové vrstvy

A^m= a × a × a… m krát

Můžeme tedy napsat 10⁴jako 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

Proto,

hodnota 10 umocněna 4, tedy 10⁴je 10 000.

Ukázkové problémy

Úloha 1: Najděte hodnotu 3⁶.

Řešení:

Daný výraz je 3⁶.

Základ daného exponenciálního výrazu je 3, zatímco exponent je 6, tj. daný výraz se čte jako 3 umocněná na 6.

Takže rozšířením 3⁶, dostaneme 3⁶= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 729

Proto hodnota 3⁶je 729.

Úloha 2: Určete exponent a mocninu výrazu (12)⁵.

Řešení:

Daný výraz je 12⁵.

Základ daného exponenciálního výrazu je 12, zatímco exponent je 5, tj. daný výraz se čte tak, že 12 je umocněno 5.

Problém 3: Vyhodnoťte (2/7)^-5× (2/7)⁷.

Řešení:

Zadáno: (2/7)^-5×(2/7)⁷

Víme, že a^m× aⁿ= a^{(m + n)}

Takže (2/7)^-5×(2/7)⁷= (2/7)^(-5+7)

= (2/7)²= 4/49

Proto (2/7)^-5× (2/7)⁷= 4/49

Úloha 4: Najděte hodnotu x v daném výrazu: 5^3x-2= 625.

Řešení:

Dáno, 5^3x-2= 625.

5^3x-2= 5⁴

Porovnáním exponentů podobné báze dostaneme

⇒ 3x -2 = 4

⇒ 3x = 4 + 2 = 6

⇒ x = 6/3 = 2

Hodnota x je tedy 2.

Úloha 5: Najděte hodnotu k v daném výrazu: (-2/3)⁴23)^-patnáct= (23)^{7 tisíc + 3}

Řešení:

vzhledem k tomu,

(-23)⁴23)^-patnáct= (23)^{7 tisíc + 3}

23)⁴23)^-patnáct= (23)^{7 tisíc + 3}{Od (-x)⁴= x⁴}

Víme, že a^m× aⁿ= a^{(m + n)}

23)^4-15= (2/3)7k+3

23)^-jedenáct= (23)^{7 tisíc + 3}

Porovnáním exponentů podobné báze dostaneme

⇒ -11 = 7k +3

⇒ 7k = -11-3 = -14

⇒ k = -14/7 = -2

Hodnota k je tedy -2.