Typy rovnoměrného rozdělení

Typy rovnoměrného rozdělení jsou:

1. Nepřetržité rovnoměrné rozdělení: Spojité rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti je rozdělení, které má nekonečný počet hodnot definovaných v určeném rozsahu. Má pravoúhlý graf tzv. pravoúhlé rozdělení. Pracuje na hodnotách, které mají spojitý charakter. Příklad: Generátor náhodných čísel
2. Diskrétní jednotná distribuce: Diskrétní rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti je rozdělení, které má konečný počet hodnot definovaných v určeném rozsahu. Jeho graf obsahuje různé svislé čáry pro každou konečnou hodnotu. Funguje na hodnotách, které jsou svou povahou diskrétní. Příklad: Hodí se kostkou.

Proberme tyto typy podrobně následovně.

Spojité rovnoměrné rozdělení nebo obdélníkové rozdělení

Spojitá rovnoměrná rozdělení, známá také jako pravoúhlá rozdělení, jsou rozdělení pravděpodobnosti, kde je funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) v určitém intervalu konstantní a jinde nulová. To znamená, že všechny výsledky v rámci intervalu jsou stejně pravděpodobné.

Spojitá rovnoměrná rozdělení poskytují jednoduchý, ale výkonný rámec pro pochopení a modelování náhodnosti v definovaných intervalech, což z nich činí základní nástroje v teorii pravděpodobnosti a aplikované statistice.

Funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF)

The funkce hustoty pravděpodobnosti (PDF) spojitého rovnoměrného rozdělení definuje pravděpodobnost náhodné proměnné spadající do určitého intervalu. Pro spojité rovnoměrné rozložení v intervalu [a, b] je PDF dáno:

f(x) = 1 / (b – a) pro a ≤ x ≤ b

a f(x) = 0 jinak.

Kumulativní distribuční funkce (CDF)

Kumulativní distribuční funkce (CDF) spojitého rovnoměrného rozdělení dává pravděpodobnost, že náhodná veličina je menší nebo rovna určité hodnotě. Pro spojitou rovnoměrnou distribuci přes [a, b] je CDF definována jako:

F(x) = (x – a) / (b – a) pro a ≤ x ≤ b

a F(x) = 0 pro xb.

Generování funkcí

Generující funkce poskytují způsob, jak reprezentovat posloupnosti čísel jako mocninné řady. V teorii pravděpodobnosti se generující funkce často používají k manipulaci se sekvencemi náhodných proměnných. Mohou zjednodušit výpočty a pomoci odvodit důležité vlastnosti náhodných veličin a rozdělení.

Standardní jednotná distribuce

Standardní rovnoměrné rozdělení je speciální případ spojitého rovnoměrného rozdělení, kde je interval [0, 1]. Je široce používán v simulacích, generování náhodných čísel a různých statistických aplikacích.

Vlastnosti spojitých rovnoměrných rozdělení

• Stejná hustota pravděpodobnosti v intervalu.
• Kumulativní distribuční funkce roste v intervalu lineárně.
• Střední hodnota spojitého rovnoměrného rozdělení je středem intervalu.
• Rozptyl spojitého rovnoměrného rozdělení je [(b – a)²] / 12.

Aplikace spojitých rovnoměrných rozdělení

• Modelování nejistoty v různých oblastech, jako je strojírenství, finance a fyzika.
• Generování náhodných čísel pro simulace a hry.
• Používá se ve statistické kontrole kvality k modelování jednotnosti ve výrobních procesech.
• V kryptografii pro generování klíčů a vytváření náhodných permutací.
• Jako základní rozdělení pro srovnání s jinými rozděleními ve statistické analýze.

Diskrétní jednotná distribuce

Diskrétní rovnoměrné rozdělení je a pravděpodobnost rozdělení, které popisuje pravděpodobnost výsledků, když je každý výsledek v konečné množině stejně pravděpodobný. Je charakterizována funkcí konstantní pravděpodobnosti hmotnosti (PMF) v konečném rozsahu hodnot.

Diskrétní rovnoměrné rozdělení slouží jako základní model v teorii pravděpodobnosti a statistice a poskytuje jednoduchý, ale účinný způsob, jak popsat nejistotu v situacích, kde jsou výsledky stejně pravděpodobné. Jeho vlastnosti a aplikace sahají do různých oborů, což z něj činí všestranný nástroj pro analýzu dat a rozhodovací procesy.

Odhad maxima

v statistika , odhad maxima se týká metod používaných k odhadu největší hodnoty nebo maximálního pozorování v souboru dat. K tomuto účelu se běžně používají techniky, jako je statistika objednávek a odhad maximální pravděpodobnosti.

Náhodná permutace

Náhodná permutace je náhodné uspořádání sady položek nebo prvků. Často se používá v různých oblastech, jako je kryptografie, statistika a informatika. Generování náhodných permutací je zásadní v algoritmech, simulacích a experimentálních návrzích.

Vlastnosti diskrétního rovnoměrného rozdělení

• Každý výsledek v prostoru vzorku má stejnou pravděpodobnost výskytu.
• Funkce hmotnosti pravděpodobnosti (PMF) je v rozsahu možných výsledků konstantní.
• Střední hodnota diskrétního rovnoměrného rozdělení je průměrem minimálních a maximálních hodnot.
• Rozptyl diskrétního rovnoměrného rozdělení je [(n^2 – 1) / 12], kde n je počet možných výsledků.

Aplikace diskrétní rovnoměrné distribuce

• Házení spravedlivými kostkami nebo házení spravedlivými mincemi, kde má každý výsledek stejnou pravděpodobnost.
• Modelování scénářů, kde neexistuje žádná preference nebo zaujatost vůči žádnému konkrétnímu výsledku.
• Vzorkování bez náhrady, jako je výběr náhodných vzorků z konečné populace.
• Generování náhodných čísel pro simulace, metody Monte Carlo a randomizované algoritmy.
• Vytváření náhodných permutací pro míchání balíčků karet, navrhování experimentů a kryptografických aplikací.

Přečtěte si více,

• Poissonova distribuce
• Binomické rozdělení
• Normální distribuce

Vzorové otázky

Otázka 1: Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení přes (-2, 2),

(i) najděte k, pro které P(X>k) = 1/2 (ii) Vyhodnoťte P(X<1) (iii) P[|X-1|<1]

Řešení:

(i) X = f(x) = 1/(b-a) =1/(2-(-2)) = 1/4

P(X>k) = 1 – P(X≤ k) = 1 –int_{-2}^{k}f(x)dx

= 1 – (1/4).int_{-2}^{k}dx =1 – (k+2)/4 = 1/2

Řešením dostaneme k = 0

(ii) P(X<1) =int_{-2}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{-2}^{k}dx = 3/4

(iii) P[|X -1| <1] = P[1-1int_{0}^{1}f(x)dx = (1/4).int_{0}^{1}dx = 1/4

Otázka 2: Pokud je X rovnoměrně rozloženo v (-1 , 4), pak

(i) jeho průměr je _______________.

(ii) jeho rozptyl je ______________.

(iii) jeho standardní odchylka je ___________.

(iv) jeho medián je ______________.

Řešení:

Zde a = -1 a b = 4

(i) Průměr (μ) = (4-1)/2 = 1,5

(ii) Rozptyl(σ²) = (4+1)²/12 = 2,08

(iii) Směrodatná odchylka (σ) =√2,08 = 1,443

(iv) Medián = (4-1)/2 = 1,5

Otázka 3: Pokud je v tradičním balíčku karet 52 karet se čtyřmi barvami: srdce, piky, palice a káry. Každá sada obsahuje 13 karet, z nichž 3 jsou lícové. Nový balíček je tvořen vyloučením počtu karet. Jaká je tedy pravděpodobnost získání karty srdce z upraveného balíčku?

Řešení:

V otázce je daný počet karet konečný, jedná se tedy o diskrétní rovnoměrné rozdělení.

Vzorec pro pravděpodobnost v diskrétním rovnoměrném rozdělení je P(X) = 1/n

Pravděpodobnost získání srdce v upraveném balíčku = 1/4 = 0,25

Otázka 4: Pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti rovnoměrného rozdělení pro náhodnou veličinu X v (0, 20) najděte P(3