TechCodeview

Rekurzivní funkce je funkce, jejíž hodnotu v libovolném bodě lze vypočítat z hodnot funkce v některých předchozích bodech. Předpokládejme například funkci f(k) = f(k-2) + f(k-3), která je definována přes nezáporné celé číslo. Máme-li hodnotu funkce k = 0 ak = 2, můžeme její hodnotu najít také na jakémkoli jiném nezáporném celém čísle. Jinými slovy, můžeme říci, že rekurzivní funkce označuje funkci, která používá své vlastní předchozí body k určení následných členů a tvoří tak posloupnost členů. V tomto článku se seznámíme s rekurzivními funkcemi spolu s určitými příklady.

Co je rekurze?

Rekurze označuje proces, ve kterém se rekurzivní proces opakuje. Rekurzivní je druh funkce jedné a více proměnných, obvykle specifikovaných určitým procesem, který vytváří hodnoty této funkce nepřetržitou implementací určitého vztahu ke známým hodnotám funkce.

Zde rekurzi pochopíme pomocí příkladu.

Předpokládejme, že půjdete po schodech, abyste se dostali do prvního patra z přízemí. Chcete-li to provést, musíte postupovat jeden po druhém. Existuje pouze způsob, jak přejít k druhému kroku, který je na strmý první krok. Předpokládejme, že chcete přejít ke třetímu kroku; musíte nejprve udělat druhý krok. Zde můžete jasně vidět proces opakování. Zde můžete vidět, že s každým dalším krokem přidáváte předchozí krok jako opakovanou sekvenci se stejným rozdílem mezi jednotlivými kroky. Toto je skutečný koncept rekurzivní funkce.

Krok 2: Krok 1 + nejnižší krok.

Krok 3: Krok 2 + Krok 1 + nejnižší krok.

Krok 4: Krok 3 + krok 2 + krok 1 + nejnižší krok a tak dále.

Množina přirozených čísel je základním příkladem rekurzivních funkcí, které začínají od jedničky do nekonečna, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9,…….infinitivu. Proto množina přirozených čísel ukazuje rekurzivní funkci, protože můžete vidět společný rozdíl mezi každým členem jako 1; zobrazuje se pokaždé, když se další termín opakuje s předchozím termínem.

Co je to rekurzivně definovaná funkce?

Rekurzivně definované funkce se skládají ze dvou částí. První část se zabývá definicí nejmenšího argumentu a druhá část se zabývá definicí n-tého termínu. Nejmenší argument je označen f (0) nebo f (1), zatímco n-tý argument je označen f (n).

Postupujte podle uvedeného příkladu.

Předpokládejme, že posloupnost je 4,6,8,10

Explicitní vzorec pro výše uvedenou sekvenci je f (n) = 2n + 2

Explicitní vzorec pro výše uvedenou sekvenci je dán

f (0) = 2

f(n) = f (n-1) + 2

Nyní můžeme získat sekvenční členy pomocí rekurzivního vzorce následovně f(2) f (1) + 2

f(2) = 6

f (0) = 2

f(1) = f(0) + 2

f (1) = 2 + 2 = 4

f(2) = f(1) + 2

f(2) = 4 + 2 = 6

f(3) = f(2) + 2

plná sčítačka

f(3) = 6 + 2 = 8

Pomocí výše uvedeného vzorce rekurzivní funkce můžeme určit další člen.

Co dělá funkci rekurzivní?

Vytvoření rekurzivní funkce potřebuje svůj vlastní člen pro výpočet dalšího členu v sekvenci. Chcete-li například vypočítat n-tý člen dané posloupnosti, musíte nejprve znát předchozí člen a člen před předchozím členem. Proto musíte znát předchozí termín, abyste zjistili, zda je sekvence rekurzivní nebo nerekurzivní. Můžeme tedy dojít k závěru, že pokud funkce potřebuje předchozí člen k určení dalšího členu v posloupnosti, je funkce považována za rekurzivní funkci.

Vzorec rekurzivní funkce

Pokud₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, …….a_n,……je mnoho množin nebo posloupnosti, pak rekurzivní vzorec bude muset vypočítat všechny členy, které dříve existovaly, aby vypočítal hodnotu

A_n= a_{n-1 +}A₁

Výše uvedený vzorec lze také definovat jako rekurzivní vzorec aritmetické sekvence. Na výše uvedené posloupnosti můžete jasně vidět, že se jedná o aritmetickou posloupnost, která obsahuje první výraz následovaný dalšími výrazy a společný rozdíl mezi každým výrazem. Společný rozdíl se týká čísla, které k nim přičtete nebo odečtete.

Rekurzivní funkce může být také definována jako geometrická posloupnost, kde číselné sady nebo posloupnost mají mezi sebou společný faktor nebo společný poměr. Vzorec pro geometrickou posloupnost je uveden jako

A_n= a_{n-1 *}r

Obvykle je rekurzivní funkce definována ve dvou částech. První je vyjádření prvního členu spolu se vzorcem a další je výpis prvního členu spolu s pravidlem souvisejícím s následujícími členy.

Jak napsat rekurzivní vzorec pro aritmetickou posloupnost

Chcete-li napsat rekurzivní vzorec pro vzorec aritmetické posloupnosti, postupujte podle uvedených kroků

Krok 1:

V prvním kroku se musíte ujistit, zda je daná posloupnost aritmetická či nikoli (k tomu je třeba sečíst nebo odečíst dva po sobě jdoucí členy). Pokud dostanete stejný výstup, pak se sekvence bere jako aritmetická posloupnost.

Krok 2:

Nyní musíte najít společný rozdíl pro danou sekvenci.

Krok 3:

Formulujte rekurzivní vzorec pomocí prvního termínu a poté vytvořte vzorec pomocí předchozího termínu a společného rozdílu; tak získáte daný výsledek

A_n= a_{n-1 +}d

nyní daný vzorec pochopíme pomocí příkladu

předpokládejme, že 3,5,7,9,11 je daná posloupnost

Ve výše uvedeném příkladu můžete snadno zjistit, že se jedná o aritmetickou posloupnost, protože každý člen v posloupnosti se zvyšuje o 2. Společný rozdíl mezi dvěma členy je tedy 2. Známe vzorec rekurzivní posloupnosti

A_n= a_{n-1 +}d

vzhledem k tomu,

d = 2

A₁= 3

tak,

A₂= a_(2-1)+ 2 = a₁+2 = 3+2 = 5

A₃= a_(3-1)+ 2 = a₂+2 = 5+2 = 7

A₄= a_(4-1)+ 2 = a₃+2 = 7+2 = 9

A₅= a_(5-1)+ 2 = a + 2 = 9+2 = 11 a proces pokračuje.

Jak napsat rekurzivní vzorec pro geometrickou posloupnost?

Chcete-li napsat rekurzivní vzorec pro vzorec geometrické posloupnosti, postupujte podle uvedených kroků:

Krok 1

V prvním kroku se musíte ujistit, zda je daná posloupnost geometrická či nikoli (k tomu je třeba každý člen vynásobit nebo vydělit číslem). Pokud získáte stejný výstup od jednoho termínu k dalšímu, posloupnost je brána jako geometrická posloupnost.

Krok 2

Nyní musíte najít společný poměr pro danou sekvenci.

Krok 3

Formulujte rekurzivní vzorec pomocí prvního členu a poté vytvořte vzorec pomocí předchozího členu a společného poměru; tak získáte daný výsledek

A_n= r_*A_n-1

Nyní daný vzorec pochopíme pomocí příkladu

předpokládejme, že 2,8,32, 128,.je daná posloupnost

Ve výše uvedeném příkladu můžete snadno zjistit, že jde o geometrickou posloupnost, protože po sobě jdoucí člen v posloupnosti se získá vynásobením 4 k předchozímu členu. Společný poměr mezi dvěma členy je tedy 4. Známe vzorec rekurzivní posloupnosti

A_n= r_*A_n-1

A_n= 4

A_n-1= ?

vzhledem k tomu,

r = 4

A₁= 2

tak,

A₂= a_(2-1)* 4 = a₁+ * 4 = 2 * 4 = 8

A₃= a_(3-1)* 4 = a₂* 4 = 8 * 4 = 32

A₄= a_(4-1)* 4 = a₃* 4 = 32* 4 = 128 a proces pokračuje.

Příklad rekurzivní funkce

Příklad 1:

Určete rekurzivní vzorec pro posloupnost 4,8,16,32,64, 128,….?

Řešení:

Daná sekvence 4,8,16,32,64,128,…..

Daná posloupnost je geometrická, protože vynásobíme-li předchozí člen, dostaneme členy následující.

Abychom určili rekurzivní vzorec pro danou posloupnost, musíme jej zapsat do tabulky

Proto je rekurzivní vzorec v pojmu funkce dán vztahem

f(1) = 4, f(n) . f(n-1)

V dolním indexu je rekurzivní vzorec dán pomocí

A₁= 4, a_n= 2. a_n-1