Dané celé číslo n úkolem je všechny najít odlišná řešení k problém n-královen kde n královny jsou umístěny na an n * n šachovnici tak, aby na sebe nemohly zaútočit dvě královny.
Poznámka: Každé řešení je unikátní konfigurací n královny reprezentované jako permutace [123....n] . Číslo na i čt pozice označuje řadu královny v i čt sloupec. Například [3142] ukazuje jedno takové rozložení.
Příklad:
abeceda čísel
Vstup: n = 4
výstup: [2 4 1 3] [3 1 4 2]
Vysvětlení: Toto jsou 2 možná řešení.Vstup: n = 2
výstup: []
Vysvětlení: Žádné řešení, protože královny na sebe nemohou útočit ve všech možných konfiguracích.
Obsah
instanceof v jazyce Java
- [Naivní přístup] Generováním všech permutací pomocí rekurze
- [Očekávaný přístup] Použití Backtracking s prořezáváním
- [Alternativní přístup] Zpětné sledování pomocí bitového maskování
[Naivní přístup] – Použití rekurze – O(n! * n) Čas a O(n) Prostor
Jednoduchý nápad, jak vyřešit Problém N-Queens je generovat všechny možné permutace [1 2 3 ... n] a poté zkontrolujte, zda představuje platnou konfiguraci N-Queens. Protože každá dáma musí být v jiném řádku a sloupci pomocí permutací automaticky dbá na tato pravidla. Ale stále musíme zkontrolovat, že na ní nejsou dvě královny stejná úhlopříčka.
Níže je uvedeno implementace:
C++//C++ program to find all solution of N queen problem //using recursion #include
//Java program to find all solution of N queen problem //using recursion import java.util.ArrayList; class GfG { // Check if placement is safe static boolean isSafe(ArrayList<Integer> board int currRow int currCol) { for(int i = 0; i < board.size(); i++) { int placedRow = board.get(i); int placedCol = i + 1; // Check diagonals if(Math.abs(placedRow - currRow) == Math.abs(placedCol - currCol)) { return false; // Not safe } } return true; // Safe to place } // Recursive utility to solve static void nQueenUtil(int col int n ArrayList<Integer> board ArrayList<ArrayList<Integer>> res boolean[] visited) { // If all queens placed add to res if(col > n) { res.add(new ArrayList<>(board)); return; } // Try each row in column for(int row = 1; row <= n; row++) { // If row not used if(!visited[row]) { // Check safety if(isSafe(board row col)) { // Mark row visited[row] = true; // Place queen board.add(row); // Recur for next column nQueenUtil(col + 1 n board res visited); // Backtrack board.remove(board.size()-1); visited[row] = false; } } } } // Function to solve N-Queen static ArrayList<ArrayList<Integer>> nQueen(int n) { ArrayList<ArrayList<Integer>> res = new ArrayList<>(); ArrayList<Integer> board = new ArrayList<>(); boolean[] visited = new boolean[n +1]; nQueenUtil(1 n board res visited); return res; } public static void main(String[] args) { int n = 4; ArrayList<ArrayList<Integer>> res = nQueen(n); for(ArrayList<Integer> row : res) { System.out.print('['); for(int i = 0; i < row.size(); i++) { System.out.print(row.get(i)); if(i != row.size()-1) System.out.print(' '); } System.out.println(']'); } } }
#Python program to find all solution of N queen problem #using recursion # Function to check if placement is safe def isSafe(board currRow currCol): for i in range(len(board)): placedRow = board[i] placedCol = i + 1 # Check diagonals if abs(placedRow - currRow) == abs(placedCol - currCol): return False # Not safe return True # Safe to place # Recursive utility to solve N-Queens def nQueenUtil(col n board res visited): # If all queens placed add to res if col > n: res.append(board.copy()) return # Try each row in column for row in range(1 n+1): # If row not used if not visited[row]: # Check safety if isSafe(board row col): # Mark row visited[row] = True # Place queen board.append(row) # Recur for next column nQueenUtil(col+1 n board res visited) # Backtrack board.pop() visited[row] = False # Main N-Queen solver def nQueen(n): res = [] board = [] visited = [False] * (n + 1) nQueenUtil(1 n board res visited) return res if __name__ == '__main__': n = 4 res = nQueen(n) for row in res: print(row)
//C# program to find all solution of N queen problem //using recursion using System; using System.Collections.Generic; class GfG { // Check if placement is safe static bool isSafe(List<int> board int currRow int currCol){ for (int i = 0; i < board.Count; i++) { int placedRow = board[i]; int placedCol = i + 1; // Check diagonals if (Math.Abs(placedRow - currRow) == Math.Abs(placedCol - currCol)) { return false; // Not safe } } return true; // Safe to place } // Recursive utility to solve static void nQueenUtil(int col int n List<int> board List<List<int> > res bool[] visited){ // If all queens placed add to res if (col > n) { res.Add(new List<int>(board)); return; } // Try each row in column for (int row = 1; row <= n; row++) { // If row not used if (!visited[row]) { // Check safety if (isSafe(board row col)) { // Mark row visited[row] = true; // Place queen board.Add(row); // Recur for next column nQueenUtil(col + 1 n board res visited); // Backtrack board.RemoveAt(board.Count - 1); visited[row] = false; } } } } // Main N-Queen solver static List<List<int>> nQueen(int n){ List<List<int> > res = new List<List<int> >(); List<int> board = new List<int>(); bool[] visited = new bool[n + 1]; nQueenUtil(1 n board res visited); return res; } static void Main(string[] args) { int n = 4; List<List<int>> res = nQueen(n); foreach (var temp in res) { Console.WriteLine('[' + String.Join(' ' temp) + ']'); } } }
//JavaScript program to find all solution of N queen problem //using recursion // Function to check if placement is safe function isSafe(board currRow currCol){ for (let i = 0; i < board.length; i++) { let placedRow = board[i]; let placedCol = i + 1; // Check diagonals if (Math.abs(placedRow - currRow) === Math.abs(placedCol - currCol)) { return false; // Not safe } } return true; // Safe to place } // Recursive utility to solve N-Queens function nQueenUtil(col n board res visited){ // If all queens placed add to res if (col > n) { res.push([...board ]); return; } // Try each row in column for (let row = 1; row <= n; row++) { // If row not used if (!visited[row]) { // Check safety if (isSafe(board row col)) { // Mark row visited[row] = true; // Place queen board.push(row); // Recur for next column nQueenUtil(col + 1 n board res visited); // Backtrack board.pop(); visited[row] = false; } } } } // Main N-Queen solver function nQueen(n){ let res = []; let board = []; let visited = Array(n + 1).fill(false); nQueenUtil(1 n board res visited); return res; } // Driver code let n = 4; let res = nQueen(n); res.forEach(row => console.log(row));
Výstup
[2 4 1 3] [3 1 4 2]
Časová náročnost: O(n!*n) n! pro generování všech permutace a O(n) pro ověření každé permutace.
Pomocný prostor: Na)
[Očekávaný přístup] – Použití Backtracking s prořezáváním – O(n!) Čas a O(n) Prostor
K optimalizaci výše uvedeného přístupu můžeme použít backtracking s prořezáváním . Místo generování všech možných permutací sestavujeme řešení postupně, přičemž se můžeme v každém kroku ujistit, že dílčí řešení zůstává platné. Pokud dojde ke konfliktu, okamžitě se vrátíme, pomůže to vyhýbání se zbytečné výpočty .
Implementace krok za krokem :
java mapy
- Začněte od prvního sloupce a zkuste umístit dámu do každé řady.
- Udržujte pole, abyste mohli sledovat, které řádky jsou již obsazeny. Podobně pro sledování hlavní a vedlejší úhlopříčky jsou již obsazeny.
- Pokud královna umístění konflikty se stávajícími královnami přeskočit že řádek a ustoupit královna zkusit další možné řádek (Prořezat a ustoupit během konfliktu).
// C++ program to find all solution of N queen problem by // using backtracking and pruning #include
// Java program to find all solutions of the N-Queens problem // using backtracking and pruning import java.util.ArrayList; import java.util.List; class GfG { // Utility function for solving the N-Queens // problem using backtracking. static void nQueenUtil(int j int n ArrayList<Integer> board boolean[] rows boolean[] diag1 boolean[] diag2 ArrayList<ArrayList<Integer>> res) { if (j > n) { // A solution is found res.add(new ArrayList<>(board)); return; } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (!rows[i] && !diag1[i + j] && !diag2[i - j + n]) { // Place queen rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = true; board.add(i); // Recurse to the next column nQueenUtil(j + 1 n board rows diag1 diag2 res); // Remove queen (backtrack) board.remove(board.size() - 1); rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = false; } } } // Solves the N-Queens problem and returns // all valid configurations. static ArrayList<ArrayList<Integer>> nQueen(int n) { ArrayList<ArrayList<Integer>> res = new ArrayList<>(); ArrayList<Integer> board = new ArrayList<>(); // Rows occupied boolean[] rows = new boolean[n + 1]; // Major diagonals (row + j) and Minor diagonals (row - col + n) boolean[] diag1 = new boolean[2 * n + 1]; boolean[] diag2 = new boolean[2 * n + 1]; // Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board rows diag1 diag2 res); return res; } public static void main(String[] args) { int n = 4; ArrayList<ArrayList<Integer>> res = nQueen(n); for (ArrayList<Integer> solution : res) { System.out.print('['); for (int i = 0; i < solution.size(); i++) { System.out.print(solution.get(i)); if (i != solution.size() - 1) { System.out.print(' '); } } System.out.println(']'); } } }
# Python program to find all solutions of the N-Queens problem # using backtracking and pruning def nQueenUtil(j n board rows diag1 diag2 res): if j > n: # A solution is found res.append(board[:]) return for i in range(1 n + 1): if not rows[i] and not diag1[i + j] and not diag2[i - j + n]: # Place queen rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = True board.append(i) # Recurse to the next column nQueenUtil(j + 1 n board rows diag1 diag2 res) # Remove queen (backtrack) board.pop() rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = False def nQueen(n): res = [] board = [] # Rows occupied rows = [False] * (n + 1) # Major diagonals (row + j) and Minor diagonals (row - col + n) diag1 = [False] * (2 * n + 1) diag2 = [False] * (2 * n + 1) # Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board rows diag1 diag2 res) return res if __name__ == '__main__': n = 4 res = nQueen(n) for temp in res: print(temp)
// C# program to find all solutions of the N-Queens problem // using backtracking and pruning using System; using System.Collections.Generic; class GfG { // Utility function for solving the N-Queens // problem using backtracking. static void nQueenUtil(int j int n List<int> board bool[] rows bool[] diag1 bool[] diag2 List<List<int>> res) { if (j > n) { // A solution is found res.Add(new List<int>(board)); return; } for (int i = 1; i <= n; ++i) { if (!rows[i] && !diag1[i + j] && !diag2[i - j + n]) { // Place queen rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = true; board.Add(i); // Recurse to the next column nQueenUtil(j + 1 n board rows diag1 diag2 res); // Remove queen (backtrack) board.RemoveAt(board.Count - 1); rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = false; } } } // Solves the N-Queens problem and returns // all valid configurations. static List<List<int>> nQueen(int n) { List<List<int>> res = new List<List<int>>(); List<int> board = new List<int>(); // Rows occupied bool[] rows = new bool[n + 1]; // Major diagonals (row + j) and Minor diagonals (row - col + n) bool[] diag1 = new bool[2 * n + 1]; bool[] diag2 = new bool[2 * n + 1]; // Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board rows diag1 diag2 res); return res; } static void Main(string[] args) { int n = 4; List<List<int>> res = nQueen(n); foreach (var temp in res) { Console.WriteLine('[' + String.Join(' ' temp) + ']'); } } }
// JavaScript program to find all solutions of the N-Queens problem // using backtracking and pruning // Utility function for solving the N-Queens // problem using backtracking. function nQueenUtil(j n board rows diag1 diag2 res) { if (j > n) { // A solution is found res.push([...board]); return; } for (let i = 1; i <= n; ++i) { if (!rows[i] && !diag1[i + j] && !diag2[i - j + n]) { // Place queen rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = true; board.push(i); // Recurse to the next column nQueenUtil(j + 1 n board rows diag1 diag2 res); // Remove queen (backtrack) board.pop(); rows[i] = diag1[i + j] = diag2[i - j + n] = false; } } } // Solves the N-Queens problem and returns // all valid configurations. function nQueen(n) { const res = []; const board = []; // Rows occupied const rows = Array(n + 1).fill(false); // Major diagonals (row + j) and Minor diagonals (row - col + n) const diag1 = Array(2 * n + 1).fill(false); const diag2 = Array(2 * n + 1).fill(false); // Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board rows diag1 diag2 res); return res; } // Driver Code const n = 4; const res = nQueen(n); res.forEach(temp => console.log(temp));
Výstup
[2 4 1 3] [3 1 4 2]
Časová složitost: O(n!) Pro generování všech permutace .
Pomocný prostor: Na)
[Alternativní přístup] - Backtracking pomocí bitového maskování
Pro další optimalizaci zpětné sledování přístup zejména pro větší hodnoty n můžeme použít bit-maskování efektivně sledovat obsazený řádky a úhlopříčky. Bitové maskování nám umožňuje používat celá čísla ( řádky ld rd ) ke sledování, které řady a úhlopříčky jsou obsazené pomocí rychlého bitové operace pro rychlejší výpočty. Přístup zůstává stejný jako výše.
Níže je uvedeno implementace:
C++//C++ program to find all solution of N queen problem //using recursion #include
// Java program to find all solution of N queen problem // using recursion import java.util.*; class GfG { // Function to check if the current placement is safe static boolean isSafe(int row int col int rows int ld int rd int n) { return !(((rows >> row) & 1) == 1) && !(((ld >> (row + col)) & 1) == 1) && !(((rd >> (row - col + n)) & 1) == 1); } // Recursive function to generate all possible permutations static void nQueenUtil(int col int n ArrayList<Integer> board ArrayList<ArrayList<Integer>> res int rows int ld int rd) { // If all queens are placed add into res if (col > n) { res.add(new ArrayList<>(board)); return; } // Try placing a queen in each row // of the current column for (int row = 1; row <= n; ++row) { // Check if it's safe to place the queen if (isSafe(row col rows ld rd n)) { // Place the queen board.add(row); // Recur to place the next queen nQueenUtil(col + 1 n board res rows | (1 << row) (ld | (1 << (row + col))) (rd | (1 << (row - col + n)))); // Backtrack: remove the queen board.remove(board.size() - 1); } } } // Main function to find all distinct // res to the n-queens puzzle static ArrayList<ArrayList<Integer>> nQueen(int n) { ArrayList<ArrayList<Integer>> res = new ArrayList<>(); // Current board configuration ArrayList<Integer> board = new ArrayList<>(); // Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board res 0 0 0); return res; } public static void main(String[] args) { int n = 4; ArrayList<ArrayList<Integer>> res = nQueen(n); for (ArrayList<Integer> solution : res) { System.out.print('['); for (int j = 0; j < n; ++j) { System.out.print(solution.get(j)); if (j != n - 1) System.out.print(' '); } System.out.println(']'); } } }
# Python program to find all solution of N queen problem # using recursion # Function to check if the current placement is safe def isSafe(row col rows ld rd n): return not ((rows >> row) & 1) and not ((ld >> (row + col)) & 1) and not ((rd >> (row - col + n)) & 1) # Recursive function to generate all possible permutations def nQueenUtil(col n board res rows ld rd): # If all queens are placed add into res if col > n: res.append(board[:]) return # Try placing a queen in each row # of the current column for row in range(1 n + 1): # Check if it's safe to place the queen if isSafe(row col rows ld rd n): # Place the queen board.append(row) # Recur to place the next queen nQueenUtil(col + 1 n board res rows | (1 << row) (ld | (1 << (row + col))) (rd | (1 << (row - col + n)))) # Backtrack: remove the queen board.pop() # Main function to find all distinct # res to the n-queens puzzle def nQueen(n): res = [] # Current board configuration board = [] # Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board res 0 0 0) return res if __name__ == '__main__': n = 4 res = nQueen(n) for solution in res: print('[' end='') for j in range(n): print(solution[j] end='') if j != n - 1: print(' ' end='') print(']')
// C# program to find all solution of N queen problem // using recursion using System; using System.Collections.Generic; class GfG { // Function to check if the current placement is safe static bool isSafe(int row int col int rows int ld int rd int n) { return !(((rows >> row) & 1) == 1) && !(((ld >> (row + col)) & 1) == 1) && !(((rd >> (row - col + n)) & 1) == 1); } // Recursive function to generate all possible permutations static void nQueenUtil(int col int n List<int> board List<List<int>> res int rows int ld int rd) { // If all queens are placed add into res if (col > n) { res.Add(new List<int>(board)); return; } // Try placing a queen in each row // of the current column for (int row = 1; row <= n; ++row) { // Check if it's safe to place the queen if (isSafe(row col rows ld rd n)) { // Place the queen board.Add(row); // Recur to place the next queen nQueenUtil(col + 1 n board res rows | (1 << row) (ld | (1 << (row + col))) (rd | (1 << (row - col + n)))); // Backtrack: remove the queen board.RemoveAt(board.Count - 1); } } } // Main function to find all distinct // res to the n-queens puzzle static List<List<int>> nQueen(int n) { List<List<int>> res = new List<List<int>>(); // Current board configuration List<int> board = new List<int>(); // Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board res 0 0 0); return res; } static void Main() { int n = 4; List<List<int>> res = nQueen(n); foreach (var solution in res) { Console.Write('['); for (int j = 0; j < n; ++j) { Console.Write(solution[j]); if (j != n - 1) Console.Write(' '); } Console.WriteLine(']'); } } }
// JavaScript program to find all solution of N queen problem // using recursion // Function to check if the current placement is safe function isSafe(row col rows ld rd n) { return !((rows >> row) & 1) && !((ld >> (row + col)) & 1) && !((rd >> (row - col + n)) & 1); } // Recursive function to generate all possible permutations function nQueenUtil(col n board res rows ld rd) { // If all queens are placed add into res if (col > n) { res.push([...board]); return; } // Try placing a queen in each row // of the current column for (let row = 1; row <= n; ++row) { // Check if it's safe to place the queen if (isSafe(row col rows ld rd n)) { // Place the queen board.push(row); // Recur to place the next queen nQueenUtil(col + 1 n board res rows | (1 << row) (ld | (1 << (row + col))) (rd | (1 << (row - col + n)))); // Backtrack: remove the queen board.pop(); } } } // Main function to find all distinct // res to the n-queens puzzle function nQueen(n) { let res = []; // Current board configuration let board = []; // Start solving from the first column nQueenUtil(1 n board res 0 0 0); return res; } // Driver Code let n = 4; let res = nQueen(n); for (let i = 0; i < res.length; i++) { process.stdout.write('['); for (let j = 0; j < n; ++j) { process.stdout.write(res[i][j].toString()); if (j !== n - 1) process.stdout.write(' '); } console.log(']'); }
Výstup
[2 4 1 3] [3 1 4 2]
Časová náročnost: O(n!) pro generování všech permutací.
Prostorová složitost: Na)