Predikátová logika se zabývá predikáty, což jsou výroky, které se skládají z proměnných.

Predikátová logika - definice

Predikát je vyjádření jedné nebo více proměnných určených na určité konkrétní doméně. Predikát s proměnnými lze vytvořit buď autorizací hodnoty proměnné, nebo kvantifikací proměnné.

• Uvažujme, že E(x, y) označuje 'x = y'
• Zvažte X(a, b, c) označte 'a + b + c = 0'
• Uvažujme, že M(x, y) označuje 'x je vdaná za y'.

Kvantifikátor:

Proměnná predikátů je kvantifikována kvantifikátory. V predikátové logice existují dva typy kvantifikátorů – existenciální kvantifikátor a univerzální kvantifikátor.

Existenciální kvantifikátor:

Jestliže p(x) je výrok nad vesmírem U. Pak se označí jako ∃x p(x) a čte se jako „Ve vesmíru proměnné x existuje alespoň jedna hodnota, pro kterou platí p(x). Kvantifikátor ∃ se nazývá existenční kvantifikátor.

Existuje několik způsobů, jak napsat návrh s existenciálním kvantifikátorem, tj.

dlouhý na provázek

(∃x∈A)p(x) nebo ∃x∈A tak, že p (x) nebo (∃x)p(x) nebo p(x) platí pro nějaké x ∈A.

Univerzální kvantifikátor:

Jestliže p(x) je výrok nad vesmírem U. Pak se označí jako ∀x,p(x) a čte se jako 'Pro každé x∈U je p(x) pravdivé.' Kvantifikátor ∀ se nazývá univerzální kvantifikátor.

Existuje několik způsobů, jak napsat návrh s univerzálním kvantifikátorem.

∀x∈A,p(x) nebo p(x), ∀x ∈A Nebo ∀x,p(x) nebo p(x) platí pro všechna x ∈A.

entita vztahová

Negace kvantifikovaných návrhů:

Když negujeme kvantifikovanou propozici, tj. když je negována univerzálně kvantifikovaná propozice, dostáváme existenciálně kvantifikovanou propozici, a když je negována existenciálně kvantifikovaná propozice, dostáváme univerzálně kvantifikovanou propozici.

Dvě pravidla pro negaci kvantifikované propozice jsou následující. Říká se jim také DeMorganův zákon.

Příklad: Negujte každý z následujících návrhů:

1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)

Slunce: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)

2. (∃x∈U) (x+6=25)

Slunce: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25

3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)

Slunce: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))

Návrhy s více kvantifikátory:

Tvrzení s více než jednou proměnnou lze kvantifikovat pomocí více kvantifikátorů. Více univerzálních kvantifikátorů lze uspořádat v libovolném pořadí, aniž by se změnil význam výsledného tvrzení. Také vícenásobné existenciální kvantifikátory mohou být uspořádány v libovolném pořadí, aniž by se změnil význam tvrzení.

Tvrzení, které obsahuje univerzální i existenciální kvantifikátory, pořadí těchto kvantifikátorů nelze vyměnit, aniž by se změnil význam výroku, např. výrok ∃x ∀ y p(x,y) znamená „Existuje nějaké x takové, že p (x, y) platí pro každé y.'

Příklad: Napište negaci pro každou z následujících. Určete, zda je výsledné tvrzení pravdivé nebo nepravdivé. Předpokládejme, že U = R.

1,∀ x ∃ m (x²

Slunce: Negace ∀ x ∃ m(x²2≧ m). Význam ∃ x ∀ m (x²≧m) je, že pro nějaké x existuje takové, že x²≧ m, pro každý m. Tvrzení je pravdivé, protože existuje nějaké větší x takové, že x²≧ m, pro každý m.

2. ∃ m∀ x(x²

Slunce: Negace ∃ m ∀ x (x²2≧ m). Význam ∀ m∃x (x²≧m) je, že pro každé m existuje pro nějaké x takové, že x²≧ m. Tvrzení je pravdivé jako pro každé m, existuje pro nějaké větší x takové, že x²≧ m.

typ casting a konverze typu v java