Kolmé čáry v matematice jsou dvojice přímek, které se vždy protínají v pravém úhlu, tj. kolmé přímky jsou vždy protínající se přímky, které se protínají pod úhlem 90°. Kolmé čáry jsou pro nás dobře viditelné, rohy stěn, rohy stolu a další představují rovnoběžnou čáru. U kolmých přímek říkáme, že se vzájemně protínají v pravém úhlu. Nejkratší vzdálenost mezi dvěma čarami je dána pomocí kolmé vzdálenosti mezi nimi, tj. kolmá čára mezi dvěma body udává nejkratší vzdálenost mezi nimi.

V tomto článku se podrobně seznámíme s kolmými úsečkami, jejich vlastnostmi a dalšími.

Obsah

• Co jsou to kolmé čáry?
• Vlastnosti kolmých čar
• Sklon kolmých čar
• Vzorec kolmých čar
• Jak nakreslit kolmé čáry?
• Rovnice kolmé přímky

Co je kolmý?

Kolmice je definována jako přímka, která tvoří a pravý úhel s dalším řádkem. Jinými slovy, kolmá čára znamená čáry, které svírají úhel 90 stupňů. Nejkratší vzdálenost mezi bodem a přímkou ​​je kolmá přímka mezi nimi. Kolmice tvoří 90 stupňů s druhou přímkou. Čáry AB a PQ, jak je znázorněno na obrázku níže, jsou na sebe kolmé, protože se vzájemně protínají pod úhlem 90 stupňů.

Čára AB a CD přidaná na obrázku níže ukazuje dvě na sebe kolmé čáry.

Co jsou to kolmé čáry?

Kolmé čáry jsou čáry, které se vzájemně protínají pod úhlem rovným 90 stupňům, tj. pokud se dvě čáry setkají v pravém úhlu, nazývají se kolmé čáry. Vezměte obrázek přidaný níže, přímka l a přímka m se protínají v bodě O a úhel, který svírají, je 90 stupňů.

Můžeme tedy říci, že l je přímka kolmá k přímce m nebo přímka m je kolmá k přímce l. Tuto podmínku znázorníme jako, l ⊥ m. Nyní je jakákoli přímka rovnoběžná s přímkou ​​l kolmá na přímku m. Nejkratší vzdálenost mezi bodem a přímkou ​​je vždy kolmá vzdálenost mezi nimi.

Poznámka: Ne všechny protínající se čáry jsou kolmé čáry, ale všechny kolmé čáry jsou protínající se čáry.

Kolmé znamení

Kolmé čáry jsou znázorněny pomocí symbolu „⊥“. Pokud jsou přímky l a m na sebe kolmé, tj. protínají se pod úhlem 90 stupňů, pak se nazývají kolmé přímky a jsou znázorněny jako l ⊥ m. Průsečík se nazývá pata kolmice.

Kolmé tvary

Kolem nás můžeme v každodenním životě vidět předkolomé tvary. V kolmých tvarech jsou tvary, ve kterých je alespoň jeden úhel 90°. Různé tvary, které mají kolmé čáry (kolmé tvary), jsou,

• Náměstí
• Obdélník
• Pravoúhlý trojúhelník

Vlastnosti kolmých čar

Jakékoli dvě protínající se čáry protínající se pod úhlem 90 stupňů se nazývají kolmé čáry. Kolmé čáry mají jiné vlastnosti než protínající se čáry a obecné vlastnosti protínajících se čar jsou,

• Kolmé čáry jsou čáry, které se vždy vzájemně protínají ve správném úhlu.
• Pokud jsou dvě přímky kolmé na stejnou přímku, pak jsou tyto dvě přímky vždy vzájemně rovnoběžné.

Sklon kolmých čar

Sklon jakékoli přímky je tan z úhlu, který svírá přímka s kladnou osou x a sklon v případě kolmých čar mezi nimi má zvláštní vztah.

Předpokládejme, že máme dvě přímky PQ a RS, které jsou na sebe kolmé. Nyní je sklon přímky PQ řekněme m₁a sklon přímky RS je řekněme m₂, pak je součin sklonů roven -1. Výrok pro totéž je,

Prohlášení: Dvě přímky jsou na sebe kolmé, je-li součin jejich sklonu -1.

To může být reprezentováno jako,

m ₁ m ₂ = -1

Vzorec kolmých čar

Dva základní vzorce kolmých čar jsou diskutovány níže,

Prohlášení 1: Součin sklonu kolmé čáry se sklonem původní čáry je vždy -1 .

Důkaz:

Nechť původní čára svírá s osou X úhel θ.

Poté bude přímka kolmá k přímce svírat úhel θ + 90° nebo θ – 90° s osou X.

Nyní je sklon původní přímky roven tan θ

je vztah

Sklon kolmice se rovná buď tan (θ + 90^Ó) nebo tan (θ – 90^Ó)

tan (0 + 90 ^Ó ) = tan (θ – 90 ^Ó ) = -dětská postýlka i

Sklon kolmice je tedy -cot θ

Nyní,

Součin Slopes = tan θ × (-cot θ) = -1

Proto Proved

Prohlášení 2: Je-li rovnice přímky ax + by + c = 0

Pak rovnice přímky kolmé k dané přímce je,

– bx + ay + d = 0

kde, C a d jsou nějaké konstantní hodnoty

Důkaz:

Rovnice přímky je ax + by + c = 0

Sklon tratě je -a/b

Nechť sklon kolmice je m

Víme, že součin sklonu dvou kolmých čar je -1

m × (-a / b) = – 1

m = b/a

Nyní, pokud kolmice prochází bodem (x₁, a₁), pak rovnice kolmice je,

(a – a₁) / (x – x₁) = b / a

a – a₁= (b / a) × (x – x₁)

je – je₁= bx – bx₁

– bx + je + (bx₁- je₁) = 0 {let bx₁- je₁= d}

Požadovaná rovnice přímky je tedy

– bx + ay + d = 0

Jak nakreslit kolmé čáry?

Dvojici kolmice snadno sestrojíme pomocí úhloměru a kružítka.

Kreslení kolmých čar pomocí úhloměru

Chcete-li nakreslit pár kolmých čar, postupujte podle níže uvedených kroků:

Krok 1: Nejprve pomocí pravítka nakreslete na papír vodorovnou čáru AB.

Krok 2: Označíme libovolný bod P na přímce AB, ze kterého máme kolmici vést.

Krok 3: Umístěte chránič na čáru a spojte střed chrániče s bodem P na lince.

Krok 4: Označte 90stupňový úhel pomocí chrániče.

Krok 5: Spojte čáru pomocí libovolného pravítka s úhlem 90 stupňů, abyste získali pár kolmých čar.

Kreslení kolmé čáry pomocí kompasu

Následují kroky k vytvoření kolmých čar pomocí kompasu

Krok 1: Pomocí pravítka nakreslete na papír čáru

Krok 2: Vezměte bod na přímce a umístěte na něj střelku kompasu.

Krok 3: Nakreslete oblouk (půlkruh) na jednu stranu čáry.

Krok 4: Beze změny poloměru kružítka nyní umístěte jehlu na jeden konec průměru půlkruhu.

Krok 5: Rozřízněte půlkruhový oblouk dvakrát. První řez označuje 60° a druhý řez 120°

Krok 6: Mezi prvním a druhým řezem je rozdíl 60°. Rozdělte tuto mezeru pomocí kompasu, aniž byste změnili její poloměr.

Krok 7: Nyní spojte bod půlení 60 a 120 s bodem, který se původně předpokládal pro nakreslení půlkruhového oblouku.

Krok 8: Takto nakreslená čára je kolmá na počáteční čáru.

Příklady kolmých čar

Kolmé čáry jsou čáry, které se vždy setkávají pod úhlem 90 stupňů. Vidíme různé příklady paralelních čar v reálném životě, některé z nich jsou,

• Rohy místností jsou na sebe kolmé.
• Ručičky hodin představují kolmé čáry na 3′ hodinách.
• Rohy stolu a stolu představují kolmé čáry.

Kolmé a rovnoběžné čáry

Kolmé čáry jsou čáry, které mezi sebou svírají úhel 90°, přičemž rovnoběžné čáry jsou čáry, které jsou navzájem rovnoběžné, to znamená, že jsou od sebe stejně vzdálené a nikdy se navzájem neprotínají.

Poznámka: Paralelní linie se setkávají v Infinity .

Sklon rovnoběžných a kolmých čar

Sklon rovnoběžných čar je stejný, zatímco součin sklonu kolmých čar je -1.

Rovnice rovnoběžných a kolmých přímek

Pokud jsou dvě přímky rovnoběžné, pak jejich rovnice přímek jsou,

• ax + by + c = 0 a ax + by + d = 0

Zatímco rovnice dvou kolmých jsou,

• ax + by + c = 0 a -bx + ax + d = 0

Co jsou paralelní čáry?

Rovnoběžné čáry v geometrii jsou definovány jako čáry, které se vzájemně nestýkají v rovině 2D, tj. nikdy se neprotínají v rovině 2D. Vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami je vždy konstantní. Obrázek přidaný níže ukazuje dva páry rovnoběžných čar.

Přímky a, b, x a y jsou navzájem rovnoběžné.

Rozdíl mezi rovnoběžnými a kolmými čarami

Rovnoběžné čáry vs kolmé čáry jsou diskutovány v tabulce níže.

Rovnice kolmé přímky

Standardní rovnice přímky je ax + by + c = 0 a přímka kolmá k dané přímce je dána pomocí,

-bx + ay + d = 0

kde, d je konstantní hodnota a její hodnota se zjistí pomocí jiné dané podmínky.

Sklon kolmé čáry

Předpokládejme, že je nám dána přímka, jejíž rovnice je ve tvaru y = mx + c a její sklon je m, pak sklon přímky kolmé k dané přímce je,

Sklon kolmice = -1/m

Nyní, pokud je sklon dvou přímek m₁a m₂pak vztah mezi těmito dvěma svahy je, m ₁ m ₂ = -1

Přečtěte si více,

• Rovnoběžky
• Příčné čáry
• Vlastnosti paralelních čar

Příklady kolmých čar

Příklad 1: Jsou přímky 3x + 2y + 5 = 0 a 2x – 3y + 8 = 0 kolmé?

Řešení:

Sklon přímky ax + by + c = 0 je -a/b

• Sklon přímky 3x + 2y + 5 = 0 je m₁= – 3/2.
• Sklon přímky 2x – 3y + 8 = 0 je m₂= -2/(-3) = 2/3

Víme, že čáry jsou kolmé, pokud jejich sklony splňují podmínku.

m₁× m₂= -1

Nyní z výše uvedené podmínky,

= (- 3 / 2) × (2 / 3)

= -1

Součin sklonů je -1 a přímky jsou tedy kolmé.

Příklad 2: Najděte přímku kolmou k přímce x + 2y + 5 = 0 a projděte bodem (2, 5).

Řešení:

Víme, že rovnice přímky kolmé k přímce ax + by + c = 0 je – bx + ay + d = 0.

Daná rovnice přímky je x + 2y + 5 = 0

Porovnáním přímky x + 2y + 5 = 0 s ax + by + c = 0 dostaneme,

• a = 1
• b = 2
• c = 5

Tedy rovnice libovolné přímky kolmé k této přímce je – 2x + y + d = 0…(i)

Vzhledem k tomu, že tato čára prochází (2, 5),

Do této rovnice kolmice tedy vložte (2, 5).

-2 × 2 + 5 + d = 0

⇒ d = -1

Dosazením hodnoty d do eq(i) dostaneme

-2x + y + (-1) = 0

Tedy rovnice kolmice je -2x + y – 1 = 0

Příklad 3: Najděte sklon přímky kolmé k přímce 3x + 9y + 7 = 0.

Řešení:

vzhledem k tomu,

Rovnice přímky je 3x + 9y + 7 = 0

Sklon této přímky = -a/b = – 3 / 9 = – 1 / 3

Nechť sklon ine kolmice k horní přímce je m

Nyní pomocí vzorce s kolmou přímkou

m × (- 1 / 3) = - 1

⇒ m = 3

Sklon přímky kolmé k dané přímce je tedy 3.

Příklad 4: Najděte úhel přímky kolmé k přímce x + y + 3 = 0.

Řešení:

Daná čára,

x + y + 3 = 0

Sklon dané přímky = -a/b = – 1 / 1 = – 1

Dejme tomu, že sklon přímky kolmé k výše uvedené přímce je m

Ze vzorce s kolmou čárou,

m × -1 = – 1

⇒ m = 1

Úhel přímky kolmé k dané přímce je tedy θ

m = tan θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = tan^-1(1) = 45°

Úhel, který svírá kolmice s osou X, je tedy 45°.

Problémy s kolmou praxí

Q1. Najděte úhel přímky kolmé k přímce 3x + 9y – 11 = 0.

Q2. Prochází-li přímka body (11, –4) a (–1, 8) a další přímka prochází body (8, 3) a (–1, -3). Zkontrolujte, zda jsou tyto čáry rovnoběžné nebo kolmé.

Q3. Najděte rovnici pro přímku, která je kolmá k 5x − 7y = 5 a prochází bodem (-1, 8).

Q4. Najděte rovnici přímky procházející (2, 3) a kolmé k ose x.

Kolmé čáry – FAQ

Co jsou to kolmé čáry?

Pokud se dvě protínající se čáry vzájemně protínají v pravém úhlu, tj. pod úhlem 90 stupňů, pak se tyto dvě čáry nazývají kolmé čáry.

Co jsou rovnoběžné a kolmé čáry?

Rovnoběžné čáry jsou čáry, které se vzájemně nestýkají v rovině 2D. Vzdálenost mezi dvěma rovnoběžnými čarami je vždy konstantní. Zatímco pokud se dvě přímky setkají v úhlu 90 stupňů, pak se tyto přímky nazývají kolmé čáry.

Jsou protínající se čáry vždy kolmé?

Ne, ne všechny protínající se čáry jsou vždy kolmé, mohou a nemusí být kolmé. Protínající se čáry se mohou setkávat pod různými úhly.

Jaká je podmínka pro Sklon kolmých čar?

Předpokládejme, že sklon dvou čar je m₁a m₂pak podmínka sklonů dvou na sebe kolmých čar je, m ₁ .m ₂ = -1

Kolik kolmých čar lze nakreslit na čáru?

Můžeme nakreslit libovolný počet kolmých čar k přímce, tj. můžeme mít nekonečné množství kolmých čar k jakékoli přímce.

Kdy jsou dvě čáry kolmé?

Dvě přímky jsou kolmé, pokud se protínají pod úhlem 90°, tj. kolmé čáry se vždy protínají pod pravým úhlem.

Co je to kolmý trojúhelník?

Trojúhelník, který má úhel rovný 90°, se nazývá kolmý trojúhelník. Říká se mu také pravoúhlý trojúhelník.

Jaké jsou některé kolmé tvary?

Některé tvary, které se nazývají kolmé tvary, jsou tvary, které mají v sobě alespoň jednu kolmici. Různé příklady kolmých tvarů jsou čtverec, obdélník, pravoúhlý trojúhelník

Co jsou to kolmé úhly?

Úhly, které jsou rovné 90°, se nazývají kolmé úhly. Jiný název kolmých úhlů je Pravé úhly.

Co je to kolmý symbol?

Symbol nebo znak, který představuje kolmici, je, ⟂ Tento symbol používáme k zobrazení, zda jsou dvě čáry kolmé. Například, pokud je napsáno A⟂B, kde A a B jsou dvě úsečky, pak přímka A je kolmá k přímce B a naopak.

Jak zjistíte, které čáry jsou kolmé?

Pokud je úhel mezi dvěma čarami 90°. Pak můžeme říci, že tyto dvě přímky jsou kolmé. Pokud je sklon dvou čar uveden jako, m₁, m₂pak použijeme vzorec kolmé čáry, abychom zjistili, zda jsou kolmé nebo ne. Vzorec kolmé přímky je m₁m₂= -1

Jak najít sklon kolmých čar?

Sklon kolmých čar lze snadno vypočítat pomocí vzorce sklonu. Předpokládejme, že nám je dána čára, kterou nejprve převedeme do standardního tvaru a poté použijeme vzorec sklonu k nalezení sklonu. Vzorec sklonu je, m = -b/a, kde a je koeficient x ab je koeficient y.