Permutace a kombinace jsou nejzákladnějšími pojmy v matematice a s těmito pojmy se studentům představuje nový obor matematiky, tj. kombinatorika. Permutace a kombinace jsou způsoby, jak uspořádat skupinu objektů jejich výběrem v určitém pořadí a vytvořením jejich podmnožin.

Pro uspořádání skupin dat v určitém pořadí se používají permutační a kombinační vzorce. Výběr dat nebo objektů z určité skupiny se nazývá permutace, zatímco pořadí, ve kterém jsou uspořádány, se nazývá kombinace.

Permutace a kombinace

V tomto článku budeme studovat koncept permutace a kombinace a jejich vzorce, které využijeme k řešení mnoha vzorových problémů.

Obsah

• Význam permutace
• Kombinace Význam
• Odvozování permutačních a kombinačních vzorců
• Rozdíl mezi permutací a kombinací
• Řešené příklady na permutaci a kombinaci

Význam permutace

Permutace je odlišná interpretace poskytnutého počtu komponent nesených jedna po druhé, některé nebo všechny najednou. Například, pokud máme dvě složky A a B, pak existují dvě pravděpodobné výkony, AB a BA.

Počet permutací, když jsou složky „r“ umístěny z celkového počtu „n“ složek, je ⁿ P _r . Nechť například n = 3 (A, B a C) a r = 2 (Všechny permutace velikosti 2). Pak existují ³ P ₂ takových permutací, což se rovná 6. Těchto šest permutací je AB, AC, BA, BC, CA a CB. Šest permutací A, B a C po třech najednou je zobrazeno na obrázku přidaném níže:

Význam permutace

Permutační vzorec

Permutační vzorec se používá k nalezení počtu způsobů, jak vybrat r věci z n různé věci v konkrétní objednávce a výměna není povolena a je dána následovně:

Permutační vzorec

Vysvětlení permutačního vzorce

Jak víme, permutace je uspořádání r věcí z n, kde je důležité pořadí uspořádání (AB a BA jsou dvě různé permutace). Pokud existují tři různé číslice 1, 2 a 3 a pokud je někdo zvědavý na permutaci číslic 2, zobrazí se (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3). ), (3, 1) a (3, 2). To znamená, že to lze provést 6 způsoby.

Zde jsou (1, 2) a (2, 1) odlišné. Opět, pokud se tyto 3 číslice budou zpracovávat všechny najednou, pak budou interpretace (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1 ), (3, 1, 2) a (3, 2, 1), tj. 6 způsoby.

Obecně platí, že n různých věcí lze nastavit pomocí r (r^čtvěc může být kterákoli ze zbývajících n – (r – 1) věcí.

Celý počet permutací n různých věcí nesoucích r najednou je tedy n(n – 1)(n – 2)…[n – (r – 1)], což se zapisuje jakoⁿP_r. Nebo jinými slovy,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Kombinace Význam

Jsou to oddělené části sdíleného počtu komponent nesených jeden po druhém, některé nebo všechny najednou. Pokud jsou například dvě složky A a B, pak existuje pouze jeden způsob, jak vybrat dvě věci, vybrat obě.

Nechť n = 3 (A, B a C) a r = 2 (všechny kombinace velikosti 2). Pak existují ³ C ₂ takové kombinace, která se rovná 3. Tyto tři kombinace jsou AB, AC a BC.

Tady, kombinace z libovolných dvou písmen ze tří písmen A, B a C je uvedeno níže, všimneme si, že v kombinaci není pořadí, ve kterém jsou A a B brány, důležité, protože AB a BA představují stejnou kombinaci.

Kombinace Význam

Poznámka: Ve stejném příkladu máme odlišné body pro permutaci a kombinaci. Neboť AB a BA jsou dvě odlišné položky, tj. dvě odlišné permutace, ale pro výběr jsou AB a BA stejné, tj. stejná kombinace.

Kombinační vzorec

Kombinační vzorec se používá k výběru složek „r“ z celkového počtu složek „n“ a je dán takto:

Kombinační vzorec

Pomocí výše uvedeného vzorce pro r a (n-r) dostaneme stejný výsledek. Tím pádem,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Vysvětlení kombinačního vzorce

Kombinace je na druhé straně druh balení. Pokud jsou z těchto tří čísel 1, 2 a 3 vytvořeny sady se dvěma čísly, pak kombinace jsou (1, 2), (1, 3) a (2, 3).

Zde jsou (1, 2) a (2, 1) totožné, na rozdíl od permutací, kde jsou odlišné. Toto je psáno jako³C₂. Obecně platí, že počet kombinací n různých věcí pořízených r najednou je,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Odvozování permutačních a kombinačních vzorců

Tyto permutační a kombinační vzorce můžeme odvodit pomocí základních metod počítání, protože tyto vzorce představují totéž. Odvození těchto vzorců je následující:

Odvození permutačního vzorce

Permutace je výběr r různých objektů z n objektů bez náhrady a tam, kde je důležité pořadí výběru, základní větou o počítání a definicí permutace dostaneme

P (n, r) = n. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

if else příkazy java

Vynásobením a dělením výše pomocí (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, dostáváme

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Tak je odvozen vzorec pro P (n, r).

Odvození kombinačního vzorce

Kombinace je výběr r položek z n položek, kdy pořadí výběru není důležité. Jeho vzorec se vypočítá jako

C(n, r) = Celkový počet permutací /Počet způsobů, jak uspořádat r různých objektů.
[Protože podle základní věty počítání víme, že počet způsobů, jak uspořádat r různých objektů r způsoby = r!]

C(n,r) = P (n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Tak je odvozen vzorec pro kombinaci, tj. C(n, r).

Rozdíl mezi permutací a kombinací

Rozdíly mezi permutací a kombinací lze pochopit podle následující tabulky:

Zkontrolujte také,

• Binomická věta
• Binomická expanze
• Binomické náhodné proměnné
• Základní věta počítání

Řešené příklady na permutaci a kombinaci

Příklad 1: Najděte počet permutací a kombinací n = 9 a r = 3 .

Řešení:

Dáno, n = 9, r = 3

Pomocí výše uvedeného vzorce:

Pro permutaci:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6!)/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Pro kombinaci:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Příklad 2: Kolika způsoby může být komise složená ze 4 mužů a 2 žen vybrána z 6 mužů a 5 žen?

Řešení:

Vyberte 4 muže ze 6 mužů =⁶C₄způsoby = 15 způsobů

Vyberte 2 ženy z 5 žen =⁵C₂způsoby = 10 způsobů

Komise může být zvolena v⁶C₄×⁵C₂= 150 způsobů.

Příklad 3: Kolika způsoby lze na polici rozmístit 5 různých knih?

Řešení:

To je problém permutace, protože na pořadí knih záleží.

Pomocí permutačního vzorce dostaneme:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Proto existuje 120 způsobů, jak uspořádat 5 různých knih na polici.

Příklad 4: Kolik 3písmenných slov lze vytvořit pomocí písmen ze slova FABLE?

Řešení:

Toto je problém permutace, protože na pořadí písmen záleží.

Pomocí permutačního vzorce dostaneme:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Existuje tedy 60 3písmenných slov, která lze vytvořit pomocí písmen ze slova FABLE.

Příklad 5: Ze skupiny 10 osob má být vytvořen výbor o 5 členech. Kolika způsoby to lze provést?

Řešení:

Toto je kombinační problém, protože na pořadí členů nezáleží.

Pomocí kombinačního vzorce dostaneme:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Existuje tedy 252 způsobů, jak vytvořit výbor o 5 členech ze skupiny 10 lidí.

Příklad 6: Pizza restaurace nabízí 4 různé polevy pro své pizzy. Pokud si chce zákazník objednat pizzu přesně se 2 polevami, kolika způsoby to lze provést?

Řešení:

Toto je problém s kombinací, protože na pořadí zálivek nezáleží.

Pomocí kombinačního vzorce dostaneme:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Existuje tedy 6 způsobů, jak si objednat pizzu přesně se 2 polevami ze 4 různých polev.

Příklad 7: Jak významná slova lze vytvořit použitím 2 písmen z výrazu LOVE?

java string concat

Řešení:

Termín LÁSKA má 4 různá písmena.

Proto požadovaný počet slov =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Požadovaný počet slov = 4! / 2! = 24/2

⇒ Požadovaný počet slov = 12

Příklad 8: Kolik slov o 3 souhláskách a 2 samohláskách lze vytvořit z 5 souhlásek a 3 samohlásek?

Řešení:

Počet způsobů výběru 3 souhlásek z 5 =⁵C₃

Počet způsobů výběru 2 samohlásek ze 3 =³C₂

Počet způsobů výběru 3 souhlásek od 2 a 2 samohlásek od 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Požadované číslo = 10 × 3

= 30

To znamená, že můžeme mít 30 skupin, kde každá skupina obsahuje celkem 5 písmen (3 souhlásky a 2 samohlásky).

Počet způsobů uspořádání 5 písmen mezi sebou

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Požadovaný počet způsobů je tedy 30 × 120

⇒ Požadovaný počet cest = 3600

Příklad 9: Kolik různých kombinací získáte, pokud máte 5 položek a vyberete si 4?

Řešení:

Vložte daná čísla do rovnice kombinací a řešte. n je počet položek, které jsou v sadě (v tomto příkladu 5); r je počet položek, které vybíráte (v tomto příkladu 4):

C(n, r) = n! / r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5-4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Řešením je 5.

Příklad 10: Kolik výrazů ze 6 souhlásek a 3 samohlásek ze 2 souhlásek a 1 samohlásky lze vytvořit?

Řešení:

Počet způsobů výběru 2 souhlásek z 6 =⁶C₂

Počet způsobů výběru 1 samohlásky ze 3 =³C₁

Počet způsobů výběru 3 souhlásek ze 7 a 2 samohlásek ze 4.

⇒ Požadované způsoby =⁶C₂׳C₁

⇒ Požadované způsoby = 15 × 3

⇒ Požadované způsoby= 45

To znamená, že můžeme mít 45 skupin, kde každá skupina obsahuje celkem 3 písmena (2 souhlásky a 1 samohlásku).

Počet způsobů uspořádání 3 písmen mezi sebou = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Požadované způsoby, jak uspořádat tři písmena = 6

Požadovaný počet cest tedy = 45 × 6

⇒ Požadované způsoby = 270

Příklad 11: V kolika různých formách mohou být písmena výrazu „PHONE“ uspořádána tak, aby samohlásky byly konzistentní přijít společně?

Řešení:

Slovo „PHONE“ má 5 písmen. Obsahuje samohlásky „O“, „E“ a tyto 2 samohlásky by měly být důsledně společné. Tyto dvě samohlásky tak mohou být seskupeny a viděny jako jedno písmeno. Tedy PHN(OE).

Můžeme tedy vzít celkem písmen jako 4 a všechna tato písmena jsou odlišná.

Počet způsobů uspořádání těchto dopisů = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Požadované způsoby řazení písmen = 24

Všechny 2 samohlásky (OE) jsou odlišné.

Počet způsobů, jak tyto samohlásky uspořádat mezi sebou = 2! = 2 × 1

⇒ Požadované způsoby uspořádání samohlásek = 2

rosomák vs jezevec

Požadovaný počet cest tedy = 24 × 2

⇒ Požadované způsoby = 48.

Časté otázky o permutacích a kombinacích

Jaký je faktoriální vzorec?

Faktorový vzorec se používá pro výpočet permutací a kombinací. Faktoriální vzorec pro n! je dáno jako

n = n × (n-1) ×. . . × 4 × 3 × 2 × 1

Například 3! = 3 × 2 × 1 = 6 a 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Co dělá ⁿ C _r zastupovat?

ⁿC_rpředstavuje počet kombinací, ze kterých lze vytvořit n brát předměty r včas.

Co myslíte permutacemi a kombinacemi?

Permutace je akt uspořádání věcí v určitém pořadí. Kombinace jsou způsoby výběru r předměty ze skupiny n objektů, kde pořadí zvoleného objektu neovlivňuje celkovou kombinaci.

Napište příklady permutací a kombinací.

Počet 3-písmenných slov, která lze vytvořit pomocí písmen slova říká, HELLO;⁵P₃= 5!/(5-3)! toto je příklad permutace.
Počet kombinací můžeme napsat slova pomocí samohlásek slova HELLO;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], toto je příklad kombinace.

Napište vzorec pro hledání permutací a kombinací.

• Vzorec pro výpočet permutací: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Vzorec pro výpočet kombinací: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Napište nějaké reálné příklady permutací a kombinací.

Řazení osob, čísel, písmen a barev jsou některé příklady permutací.
Výběr nabídky, oblečení a předmětů jsou příklady kombinací.

Jaká je hodnota 0!?

Hodnota 0! = 1, je velmi užitečné při řešení permutačních a kombinačních problémů.