Objektivní funkce je cílem problému lineárního programování, jak název napovídá. V lineárním programování nebo lineární optimalizaci používáme různé techniky a metody k nalezení optimálního řešení lineárního problému s určitými omezeními. Technika může také zahrnovat omezení nerovnosti. Cílem funkce v lineárním programování je optimalizovat za účelem nalezení optimálního řešení pro daný problém.

V tomto článku se dozvíme vše o objektivní funkci včetně její definice, typů, jak formulovat účelovou funkci pro daný problém atd. Naučíme se také různé reprezentace objektivních funkcí, jako jsou lineární objektivní funkce nebo nelineární účel funkcí. Začněme se tedy učit o tomto základním konceptu lineárního programování, tj. Objektivní funkce.

Co je to objektivní funkce?

Jak název napovídá, účelová funkce v podstatě nastavuje cíl problému. Zaměřuje se na rozhodování na základě omezení. Je to funkce s reálnou hodnotou, která má být buď maximalizována, nebo minimalizována v závislosti na omezeních. Je to jako funkce zisku nebo ztráty. Obvykle se označuje Z.

Terminologie spojené s objektivní funkcí jsou následující:

• Omezení: Jsou to v podstatě podmíněné rovnice, které řídí lineární funkci
• Rozhodovací proměnné: Proměnné, jejichž hodnoty se mají zjistit. Rovnice jsou řešeny tak, abychom dostali optimální hodnotu těchto proměnných.
• Proveditelný region: Je to oblast v grafu, kde jsou omezení splněna a rozhodovací proměnné se nacházejí v rozích oblasti.
• Optimální řešení: Nejlepší možné řešení, které splňuje všechna omezení a dosahuje nejvyššího nebo nejnižšího cíle.
• Nerealizovatelné řešení: Řešení, které porušuje jedno nebo více omezení a nelze jej implementovat ani spustit.

Objektivní funkce v lineárním programování

V lineárním programování je účelová funkce lineární funkce obsahující dvě rozhodovací proměnné. Je to lineární funkce, která má být maximalizována nebo minimalizována v závislosti na omezeních. Jsou-li a a b konstanty a x a y jsou rozhodovací proměnné, kde x> 0 a y> 0, pak je cílová funkce

Z = ax + by

Abychom tedy získali optimální hodnotu funkce Optimalizace, musíme nejprve vyřešit omezení pomocí některé z technik a zjistit rozhodovací proměnné. Poté vložíme hodnoty rozhodovacích proměnných do objektivní funkce, abychom vygenerovali optimální hodnotu.

Formulování objektivní funkce

Lineární programování je o nalezení optimálních hodnot rozhodovacích proměnných a vložení těchto hodnot do cílové funkce tak, aby generovaly maximální nebo minimální hodnotu. Existuje mnoho technik, jako je Simplexová metoda a grafická metoda pro řešení lineárního programování. Nicméně, Grafická metoda je obvykle preferována kvůli její jednoduchosti. Kroky k získání optimálních hodnot účelové funkce jsou následující:

• Z úlohy vygenerujte omezující rovnice a účelovou funkci.
• Vyneste omezující rovnice do grafu.
• Nyní identifikujte proveditelnou oblast, kde jsou omezení splněna.
• Vygenerujte hodnoty proměnných rozhodnutí, které jsou umístěny v rozích proveditelné oblasti.
• Vložte všechny vygenerované hodnoty do účelové funkce a vygenerujte optimální hodnotu.

Běžné typy objektivních funkcí

Existují dva typy objektivních funkcí.

• Cílová funkce maximalizace
• Cílová funkce minimalizace

Proberme tyto dva typy podrobně následovně:

Cílová funkce maximalizace

U tohoto typu se obvykle snažíme maximalizovat účelovou funkci. Vrcholy, které jsou nalezeny po vykreslení omezení, mají tendenci generovat maximální hodnotu účelové funkce. Ukažme si to na příkladu

Příklad: Muž investuje maximálně 8 hodin času do výroby peněženek a školních tašek. Investuje 2 hodiny do výroby peněženek a 4 hodiny do školních tašek. Jeho cílem je vyrobit maximálně 5 peněženek a školních tašek a chce je prodat a vygenerovat zisk 20 Rs na peněžence a 100 Rs na školní tašce. Najděte účelovou funkci.

Řešení:

Nechť x je počet rotis a y je počet chleba.

převést str na int

Muž může investovat maximálně 8 hodin, když investuje 2 hodiny do výroby peněženky a 4 hodiny do výroby školní tašky. Proto první omezující rovnice je

2x + 4 roky ⩽ 8

⇒ x + 2y ⩽ 4

Maximální počet, který může udělat, je 5

x+y ⩽ 5

Cílovou funkci označme Z

Proto Z = 20x + 100y

Cílová funkce minimalizace

U tohoto typu se obvykle snažíme minimalizovat účelovou funkci. Vrcholy nalezené po vykreslení omezení mají tendenci generovat minimální hodnotu účelové funkce. Ukažme si to na příkladu

Příklad: Je-li součet dvou proměnných alespoň 20. Je dáno, že jedna proměnná je větší než 9. Odvoďte účelovou funkci, pokud náklady jedné proměnné jsou 2 jednotky a náklady jiné proměnné jsou 9 jednotek.

Řešení:

Nechť x a y jsou dvě proměnné. Je dáno, že součet dvou proměnných by měl být alespoň 20.

x+y ⩾ 20

a x ⩾ 9

Nad dvěma nerovnostmi jsou omezení pro následující účelovou funkci.

Nechť účelovou funkci označíme Z. Proto Z je

Z = 2x + 9 let

java matematika náhodná

Matematické znázornění objektivní funkce

Jak jsme diskutovali o účelové funkci v kontextu lineárního programování, ale účelová funkce může být také nelineární.

• Lineární účelové funkce: U tohoto typu účelových funkcí jsou omezení i účelové funkce lineární povahy. Exponenty proměnných jsou 1.
• Nelineární účelové funkce: V tomto typu účelových funkcí jsou omezení i účelové funkce lineární povahy. Exponenty proměnných jsou buď 1, nebo větší než 1.

Aplikace objektivních funkcí

Objektivní funkce jsou důležité ve scénářích reálného života. Tyto funkce využívají například obchodníci. Podnikatelé jej využívají k maximalizaci svého zisku. Objektivní funkce jsou také užitečné pro problémy s dopravou. Nastavením funkce lze analyzovat, jak velká je spotřeba paliva a jak může uživatel odpovídajícím způsobem snížit ceny za totéž. Objektivní funkce jsou také užitečné při problémech se vzdáleností.

Vyřešené problémy s objektivní funkcí

Problém 1: Člověk chce nějaké opasky a peněženky. Má celkové úspory ve výši 6 000 Rs a chce všechny své úspory utratit za nákup opasků a peněženek, aby je mohl později prodat. Hodnota peněženky je 20 Rs a hodnota opasku 10 Rs. Chce je uložit do skříně a maximální kapacita skříně je 50 jednotek. Očekává zisk 2 Rs na opasku a 3 Rs na peněžence. Najděte omezení a výslednou účelovou funkci.

Řešení:

java skener

Nechť x je počet peněženek k zakoupení a y počet opasků, které je třeba zakoupit. Je třeba poznamenat, že kdykoli je v problému zmíněno maximum, měli bychom použít „⩽“ k nalezení omezení

Maximální investice je 6000 Rs. První omezující rovnice je

20x+10y⩽6000

Maximální úložná kapacita skříně je 50

x+y⩽50

Zde je zisková funkce v podstatě objektivní funkcí. Označme to P. Proto je zisková funkce

P = 3x + 2 roky

Úloha 2: Určete omezující rovnice a účelovou funkci z dané množiny

• 2x + 3 roky ⩾ 50
• x + y ⩽ 50
• 5x + 4 roky ⩽ 40
• Z = 7x + 8r

Kde x a y jsou větší než 0.

Řešení:

Omezení může být nerovnost nebo formát nerovnosti. Ale objektivní funkce má vždy symbol rovnosti

Proto jsou omezující rovnice

2x + 3 roky ⩾ 50

x + y ⩽ 50

5x + 4 roky ⩽ 40

Cílová rovnice je Z = 7x + 8y

Problém 3: Žena investuje maximálně 7 hodin času do přípravy rotis a chleba. Investuje 2 hodiny do rotis a 4 hodiny do chleba. Zaměřuje se na výrobu maximálně 20 kusů chleba a roti a chce je prodat a vygenerovat zisk 2 Rs na roti a 1 Rs na chlebu. Najděte účelovou funkci.

Řešení:

Nechť x je počet rotis a y je počet chleba.

Žena může investovat maximálně 7 hodin investováním 2 hodin do přípravy roti a 4 hodin do přípravy chleba. Proto první omezující rovnice je

2x + 4 roky ⩽ 7

Maximální počet chleba a rotis, který může udělat, je 20

x + y ⩽ 20

Nechť účelovou funkci označíme Z

Proto Z = 2x + y.

Problém 4: Společnost chce vyrábět produkt A a produkt B. Produkt A vyžaduje 4 jednotky kakaového prášku a 1 jednotku sušeného mléka Produkt B vyžaduje 3 jednotky kakaového prášku a 2 jednotky sušeného mléka. K dispozici je 87 jednotek kakaového prášku a 45 jednotek sušeného mléka. Zisk, který lze získat na každém produktu, je 3 USD a 5 USD. Najděte účelovou funkci.

Řešení:

Nechť x označuje počet produktu A a y označuje počet položek typu B.

Maximální množství kakaového prášku je 87 jednotek. Takže první omezující rovnice je

mini panel nástrojů excel

4x + 3 roky ⩽ 87

Maximální dostupné množství sušeného mléka je 45 jednotek. Takže druhá omezující rovnice je

x + 2 roky ⩽ 45

Zde je naším cílem maximalizovat zisk. Naše zisková funkce je tedy objektivní funkce. Označme ho Z

Z = 3x + 5 let

Problém 5: Mají být vytvořeny dva typy potravinových balíčků A a B, které obsahují vitamíny. K dispozici má být alespoň 45 jednotek potravinového balíčku A a výroba obou potravinových balíčků by měla být alespoň 30. Vygenerujte cílovou funkci, která má být generována, kde potravinový balíček A má 6 jednotek vitamínů a potravinový balíček B má 8 jednotek .

Řešení:

Nechť x je počet potravinových balíčků A a y je počet potravinových balíčků B

K dispozici má být minimálně 45 balíčků potravin. Proto první omezující rovnice je

x ⩾ 45

Druhá omezující rovnice je

x + y ⩾ 30

Cílová funkce je následující:

Z = 6x + 8y

Často kladené otázky o objektivní funkci

Q1: Co je to objektivní funkce v problému lineárního programování?

Odpovědět:

Cílová funkce je funkce s reálnou hodnotou, která má být buď maximalizována, nebo minimalizována v závislosti na omezeních. Obsahuje dvě rozhodovací proměnné.

Q2: Co je cílem objektivní funkce?

Odpovědět:

Cílem účelové funkce je maximalizovat nebo minimalizovat výslednou hodnotu. Je to rovnice, která se vyjadřuje pomocí rozhodovacích proměnných a hraje klíčovou roli v lineárním programování.

nejlepší auto na světě

Otázka 3: Jak rozumíme tomu, zda má být funkce maximalizována nebo minimalizována?

Odpovědět:

Abychom zjistili, zda má být funkce maximalizována nebo ne, měli bychom znát pojmy jako „nejvíce“, „alespoň“. Pokud je uveden výraz „alespoň“, pak je třeba cílovou funkci minimalizovat. Pro výraz „nanejvýš“ by měla být funkce maximalizována.

Q4: Pojmenujte běžné typy objektivních funkcí.

Odpovědět:

Existují dva typy objektivních funkcí:

• Maximalizace Cílová funkce
• Cílová funkce minimalizace

Q5: Jaké jsou aplikace objektivní funkce?

Odpovědět:

Existují různé aplikace funkce Objective. Jsou užitečné v reálných situacích. V zásadě se používají k odhadu zisku nebo ztráty v každém případě. Objektivní funkce jsou užitečné v dopravních problémech, problémech s časovým omezením atd.