Středový vzorec je ((X 1 + x 2 )/2 a 1 + a 2 )/2). Souřadnice dvou bodů jsou (x1, a1) a (x2, a2) a střed je bod, který leží uprostřed mezi těmito dvěma body.
Středový bod je základní koncept v geometrii souřadnic. Hraje klíčovou roli při hledání středu úsečky. V geometrii souřadnic existují případy, kdy potřebujeme znát střed dvou daných bodů nebo střed úsečky. V tomto případě používáme vzorec středního bodu, protože je to jednoduchý a efektivní způsob výpočtu středu libovolného segmentu úsečky bez ohledu na jeho délku nebo polohu v rovině souřadnic.
Podrobně jsme se zabývali vzorcem středního bodu s jeho odvozením pomocí podobnosti trojúhelníků. Spolu s tím jsme upravili vyřešené příklady na Formuli středního bodu.
Definice středního bodu
Bod, který rozděluje úsečku přesně na dvě stejné poloviny, je střed úsečky. Jinými slovy, poměr obou polovin úsečky, ve které ji střed dělí, je 1:1.
Střed čáry
Vzorec středního bodu přímky
Pro úsečku AB v kartézské souřadnici, kde souřadnice osy x bodu A je x1a souřadnice osy y bodu A je y1a podobně, souřadnice osy x bodu B je x2a souřadnice osy y bodu B je y2,střed čáry bude dán vztahem (xm, am).
Vzorec pro střední bod (xm, am) je:
c ukázkové programy programování
Formule středního bodu
Odvození vzorce středního bodu
Nechť P(x1,a1) a Q(x2,a2) být dva konce dané přímky v souřadnicové rovině a R(x,y) je bod na této přímce, který dělí PQ v poměru m1:m2takové, že
PR/RQ = m1/m2. . .(1)
Odvození vzorce středního bodu
Nakreslete čáry PM, QN a RL kolmé na osu x a přes R nakreslete přímku rovnoběžnou s osou x, aby se setkala s MP v S a NQ v T.
Z obrázku tedy můžeme říci:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
RT = LN = ON – Ol = x2- X . . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2- a . . . (5)
Nyní trojúhelník ∆ SPR je podobný trojúhelníku ∆TQR .
Proto,
SR/RT = PR/RQ
Pomocí rovnic 2, 3 a 1 víme:
x – x1/ X2– x = m1/ m2
⇒ m2x – m2X1= m1X2– m1X
⇒ m1x + m2x = m1X2+ m2X1
⇒ (m1+ m2)x = m1X2+ m2X1
⇒ x = (m1X2+ m2X1) / (m1+ m2)
Nyní trojúhelník ∆ SPR je podobný trojúhelníku ∆ TQR,
Proto,
PS/TQ = PR/RQ
Pomocí rovnic 4, 5 a 1 víme:
a – a1/ a2– y = m1/ m2
⇒ m2y – m2a1= m1a2– m1a
⇒ m1y + m2y = m1a2+ m2a1
⇒ (m1+ m2)y = m1a2+ m2a1
⇒ y = (m1a2+ m2a1) / (m1+ m2)
Souřadnice R(x,y) jsou tedy:
R(x, y) = (m 1 X 2 + m 2 X 1 ) / (m 1 + m 2 ), (m 1 a 2 + m 2 a 1 ) / (m 1 + m 2 )
Protože jsme museli vypočítat střed, zachováme obě hodnoty m1a m2stejně, tj.
Pro střední bod známe podle definice středního bodu m1= m2= 1.
(x, y) = ((1.x2+ 1.x1) / (1 + 1), (1.r2+ 1.r1) / (1 + 1))
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2 a 2 + a 1 ) / 2
Jak najít střední bod?
K nalezení souřadnic středu libovolného segmentu úsečky můžeme použít vzorec pro střed, pokud jsou zadány koncové body segmentu úsečky. Za totéž zvažte následující příklad.
Příklad: Najděte souřadnice středu úsečky, jejíž koncové body jsou (5, 6) a (-3, 4).
Řešení:
Jak víme, střed úsečky je dán vzorcem:
Střed = ((x1+x2)/2 a1+y2)/2)
kde (x1, a1) a (x2, a2) jsou souřadnice koncových bodů úsečky.
Střed = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Střed = (2/2, 10/2)
⇒ Střed = (1, 5)
Souřadnice středu úsečky jsou tedy (1, 5).
Související vzorec
Existují podobné vzorce jako vzorec pro střední bod, které jsou následující:
- Vzorec sekce
- Vzorec centroidu
Vzorec sekce
Vzorec sekce se používá k nalezení souřadnic bodu, který rozděluje danou úsečku v požadovaném poměru. Předpokládejme, že koncové body úsečky jsou A a B se souřadnicemi (X 1 , a 1 ) a (X 2 , a 2 ) , a P je bod, který rozděluje úsečku spojující úsečku AB v m:n. Pak souřadnice P je dána vztahem:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n) , (můj 2 + 1 )/(m+n)]
Vzorec centroidu
Vzorec Centroid se používá k nalezení středu mnohoúhelníků a matematicky pro trojúhelníky a čtyřúhelníky je dán takto:
Centroid trojúhelníkového vzorce
Souřadnice těžiště trojúhelníku s vrcholy (x1, a1), (X2, a2), a (x3, a3) jsou:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (a 1 + a 2 + a 3 )/3)
Střed trojúhelníku
Těžiště čtyřúhelníkového vzorce
Souřadnice těžiště čtyřúhelníku s vrcholy (x1, a1), (X2, a2), (X3, a3), a (x4, a4) jsou:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4, (a 1 + a 2 + a 3 + a 4 )/4)
Střed čtyřúhelníku
Vyřešené otázky týkající se vzorce středního bodu
Otázka 1: Jaký je střed úsečky AB, kde bod A je v (6,8) a bod B je (3,1)?
Řešení:
Nechť střed je M(xm, am),
Xm= (x1+ x2) / 2
X1= 6, x2= 3
Tedy xm= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
am= (a1+ a2) / 2
a1= 8 a2= 1
Tedy ym= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Střed přímky AB je tedy (4.5, 4.5).
Otázka 2: Jaký je střed úsečky AB, kde bod A je v (-6,4) a bod B je (4,2)?
Řešení:
Nechť střed je M(xm, am),
X1= -6, x2= 4 a1= 4 a2= 2
(Xm, am) = ((x1+ x2) / 2 a1+ a2) / 2)
(Xm, am) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(Xm, am) = ((-2)/2, (6)/2)
(Xm, am) = (-1, 3)
Střed přímky AB je tedy (-1, 3).
Otázka 3: Najděte hodnotu p tak, aby (–2, 2,5) byl střed mezi (p, 2) a (–1, 3).
Řešení:
Nechť střed je M(xm, am) = (-2, 2,5) kde,
X1= -1, xm= -2
y-ová souřadnice koncového bodu je již známá jako 2, proto potřebujeme najít pouze x-ovou souřadnici
Xm= (x1+ x2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
p = -3
Jiný koncový bod přímky je tedy (-3, 2).
Otázka 4: Pokud jsou souřadnice koncových bodů úsečky (3, 4) a (7, 8), najděte vzdálenost mezi středem úsečky a bodem (3, 4).
Řešení:
Nechť A(3, 4) a B(7, 8) jsou koncové body dané úsečky a C je střed úsečky AB.
Poté pomocí vzorce středního bodu,
Souřadnice C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Použití vzorce vzdálenosti
Vzdálenost = √{(x2- X1)2+ (a2- a1)2}
⇒ Vzdálenost = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Vzdálenost =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Vzdálenost =√8 = 2√2
Vzdálenost mezi středem úsečky a bodem (3, 4) je tedy 2√2.
| Musíš číst | |
|---|---|
| Vzorec vzdálenosti | Geometrie souřadnic |
| Pythagorova věta | Kartézská rovina |
Vzorec středního bodu – FAQ
Co je vzorec středního bodu?
Matematicky vzorec středního bodu je dán takto:
Střed = ((x 1 + x 2 )/2 a 1 + a 2 )/2)
Jaký je význam středního vzorce?
Vzorec středního bodu je významný, protože nám umožňuje najít střed libovolného segmentu úsečky v kartézském souřadnicovém systému.
Jaké jsou aplikace středního vzorce?
Existuje mnoho případů použití vzorce středního bodu, protože v geometrii jej můžeme použít pro řešení a vlastnosti trojúhelníků, mnohoúhelníků a dalších tvarů, ve fyzice má uplatnění také při hledání těžiště.
Lze použít vzorec středního bodu pro tři nebo více bodů?
Ne, vzorec středního bodu nelze použít pro tři body, protože střední bod je definován pouze pro dva body. Pro tři body můžeme použít vzorec těžiště, pokud chceme najít souřadnici těžiště pro trojúhelník tvořený danými třemi body.
Kolik středů má segment?
Segment má pouze jeden střed.