Zákon úplné pravděpodobnosti je důležitý pro nalezení pravděpodobnosti události. Pokud je známo, že pravděpodobnost události, která se stane, je 1, pak pro nemožnou událost bude pravděpodobně 0. Základní pravidlo v teorii pravděpodobnosti, které je propojeno s mezní pravděpodobností a podmíněná pravděpodobnost se nazývá zákon celkové pravděpodobnosti nebo věta o celkové pravděpodobnosti.

Po několika událostech je známo, že by měla být známa pravděpodobnost všech možností. The věta o celkové pravděpodobnosti je základním základem Bayeovy věty. V tomto článku jsme diskutovali o důležitých konceptech souvisejících s celkovou pravděpodobností, včetně zákon celkové pravděpodobnosti , prohlášení, důkazy a některé příklady.

Zákon úplné pravděpodobnosti

Je-li dáno n vzájemně se vylučujících jevů A1, A2, …Ak tak, že jejich součet pravděpodobností je jednotný a jejich sjednocení je prostorem událostí E, pak Ai ∩ Aj= NULL, pro všechna I se nerovná j a

A1 U A2 U ... U Ak = E>

Potom Věta o úplné pravděpodobnosti nebo zákon o úplné pravděpodobnosti, je: kde B je libovolná událost a P(B/Ai) je podmíněná pravděpodobnost B za předpokladu, že A již nastala.

Důkaz věty o úplné pravděpodobnosti

Nechť A1, A2, …, Ak jsou disjunktní události, které tvoří rozdělení prostoru vzorku a předpokládají, že P(Ai)> 0, pro i = 1, 2, 3….k, takže:

A1 U A2 U A3 U ....U AK = E(Total)>

Pak pro jakoukoli událost B máme,

B = B ∩ E B = B ∩ (A1 U A2 U A3 U ....U AK)>

Jako křižovatka a Union jsou distribuční. Proto,

B = (B ∩ A1) U (B ∩ A2)U ... U(B ∩ AK)>

Protože všechny tyto oddíly jsou nesouvislé. Takže máme,

P(B ∩ A1) = P(B ∩ A1) U P(B ∩ A2)U ... U P(B ∩ AK)>

To je sčítací teorém pravděpodobností pro spojení disjunktních událostí. Použití podmíněné pravděpodobnosti

P(B / A) = P(B ∩ A) / P(A)>

Nebo podle pravidla násobení,

P(B ∩ A) = P(B / A) x P(A)>

Zde se o událostech A a B říká, že jsou nezávislé události, pokud P(B|A) = P(B), kde P(A) se nerovná nule (0),

P(A ∩ B) = P(A) * P(B)>

kde P(B|A) je podmíněná pravděpodobnost, která udává pravděpodobnost výskytu události B, když událost A již nastala. Proto,

výhody a nevýhody technologie

P(B ∩ Ai) = P(B | Ai).P(Ai) ; i = 1, 2, 3....k>

Aplikováním výše uvedeného pravidla dostaneme,

To je zákon celkové pravděpodobnosti . Zákon celkové pravděpodobnosti je také označován jako věta o celkové pravděpodobnosti nebo zákon alternativ.

Poznámka:

Zákon celkové pravděpodobnosti se používá, když neznáte pravděpodobnost události, ale znáte její výskyt v několika disjunktních scénářích a pravděpodobnost každého scénáře.

javascriptový víceřádkový řetězec

Aplikace věty o úplné pravděpodobnosti

Používá se pro hodnocení jmenovatele v Bayesova věta . Bayesova věta pro n množinu událostí je definována jako,

Ať E₁, A₂,…, A_nbýt souborem událostí spojených se vzorovým prostorem S, ve kterém jsou všechny události E₁, A₂,…, A_nmají nenulovou pravděpodobnost výskytu. Všechny události E₁, A₂,…, E tvoří dělení S. Nechť A je událost z prostoru S, pro kterou musíme najít pravděpodobnost, pak podle Bayesovy věty,

P(E _i |A) = P(E _i )P(A|E _i ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

pro k = 1, 2, 3, …., n

Příklad

1. Vytáhneme dvě karty z balíčku zamíchaných karet s náhradami. Najděte pravděpodobnost získání druhé karty králem.

Vysvětlení:- Nechť, A – představuje událost získání první karty krále. B – představují případ, kdy první kartou není král. E – představuje případ, že druhou kartou je král. Pak pravděpodobnost, že druhá karta bude nebo nebude králem, bude reprezentována zákonem celkové pravděpodobnosti jako:

 P(E)= P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B)>

Kde P(E) je pravděpodobnost, že druhá karta je král, P(A) je pravděpodobnost, že první kartou je král, P(E|A) je pravděpodobnost, že druhá karta je král za předpokladu, že první karta je král, P(B) je pravděpodobnost, že první karta není král, P(E|B) je pravděpodobnost, že druhá karta je král, ale první vytažená karta není král. Podle otázky:

P(A) = 4 / 52 P(E|A) = 4 / 52 P(B) = 48 / 52 P(E|B) = 4 / 52>

Proto,

P(E) = P(A)P(E|A) + P(B)P(E|B) =(4 / 52) * (4 / 52) + (48 / 52) * (4 / 52) = 0.0769230>

Nejčastější dotazy k zákonu úplné pravděpodobnosti

Q.1: K čemu slouží celková pravděpodobnost?

Odpovědět:

Zákon celkové pravděpodobnosti se používá k výpočtu pravděpodobnosti události za předpokladu libovolného počtu souvisejících událostí. Použití Bayeova teorému k aktualizaci pravděpodobnosti hypotézy s novými důkazy.

Q.2: Je celková pravděpodobnost vždy 1?

Odpovědět:

Součet pravděpodobností všech událostí je vždy 1.

Q.3: Může být celková pravděpodobnost větší než 1?

Odpovědět:

Ne, celková pravděpodobnost nemůže být větší než 1.