Nechť L je neprázdná množina uzavřená dvěma binárními operacemi zvanými meet and join, označovanými ∧ a ∨. Pak se L nazývá mřížka, pokud platí následující axiomy, kde a, b, c jsou prvky v L:
1) Komutativní zákon: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
jak velká je obrazovka mého počítače
2) Asociační zákon:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Absorpční zákon: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Dualita:
Duál libovolného výroku v mřížce (L,∧ ,∨ ) je definován jako výrok získaný záměnou ∧ an ∨.
Například , duál a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a je a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Ohraničené mřížky:
Mřížka L se nazývá ohraničená, pokud má největší prvek 1 a nejmenší prvek 0.
Příklad:
- Množina P(S) množiny S při operacích průniku a sjednocení je omezená mřížka, protože ∅ je nejmenší prvek P(S) a množina S je největší prvek P(S).
- Množina +ve celého čísla I+pod obvyklým řádem ≦ není ohraničená mřížka, protože má nejmenší prvek 1, ale největší prvek neexistuje.
Vlastnosti ohraničených mřížek:
Je-li L omezená mřížka, pak pro jakýkoli prvek a ∈ L máme následující identity:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Teorém: Dokažte, že každá konečná mřížka L = {a1,A2,A3....An} je ohraničený.
Důkaz: Dali jsme konečnou mřížku:
L = {a1,A2,A3....An}
Největším prvkem mřížek L je tedy a1∨ a2∨ a3∨.....∨an.
ukázkový kód java
Také nejmenší prvek mřížky L je a1∧ a2∧a3∧....∧an.
Protože pro každou konečnou mřížku existují největší a nejmenší prvky. L je tedy ohraničené.
Dílčí mřížky:
Uvažujme neprázdnou podmnožinu L1mřížky L. Poté L1se nazývá podmřížka L, pokud L1samo o sobě je mřížka, tj. operace L, tj. a ∨ b ∈ L1a a ∧ b ∈ L1kdykoli ∈ L1a b ∈ L1.
Příklad: Uvažujme mřížku všech +ve celých čísel I+za operace dělitelnosti. Mříž Dnze všech dělitelů n > 1 je podmřížka I+.
Určete všechny dílčí mřížky D30které obsahují alespoň čtyři prvky, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Řešení: Dílčí mřížky D30které obsahují alespoň čtyři prvky, jsou následující:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Izomorfní mřížky:
Dvě mříže L1a L2se nazývají izomorfní mřížky, pokud existuje bijekce z L1k L2tj. f: L1⟶ L2, takže f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) a f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Příklad: Určete, zda jsou mřížky zobrazené na obr izomorfní.
Řešení: Mřížky zobrazené na obr jsou izomorfní. Uvažujme zobrazení f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. Například f (b ∧ c) = f (a) = 1. mají f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Distribuční mřížka:
Mřížka L se nazývá distributivní mřížka, pokud pro libovolné prvky a, b a c z L splňuje následující distribuční vlastnosti:
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Pokud mřížka L nesplňuje výše uvedené vlastnosti, nazývá se nedistributivní mřížka.
Příklad:
- Výkonová množina P (S) množiny S při operaci průniku a sjednocení je distribuční funkcí. Od té doby,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
a také a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) pro libovolné množiny a, b a c P(S). - Mříž zobrazená na obr. II je distributivní. Vzhledem k tomu, že splňuje distribuční vlastnosti pro všechny objednané trojice, které jsou převzaty z 1, 2, 3 a 4.
Doplňky a doplněné mřížky:
Nechť L je omezená mřížka s dolní hranicí o a horní hranicí I. Nechť a je prvkem, jestliže L. Prvek x v L nazýváme doplňkem a, jestliže a ∨ x = I a a ∧ x = 0
O mřížce L se říká, že je doplněná, pokud je L omezená a každý prvek v L má doplněk.
Příklad: Určete doplněk a a c na obr.
Řešení: Doplněk a je d. Protože a ∨ d = 1 a a ∧ d = 0
Doplněk c neexistuje. Protože neexistuje žádný prvek c takový, že c ∨ c'=1 a c ∧ c'= 0.
Modulární mříž:
Mřížka (L, ∧,∨) se nazývá modulární mřížka, jestliže a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c vždy, když a ≦ c.
Java programování prvočísel
Přímý součin mřížek:
Nechte (L1∨1∧1) a (L2∨2∧2) být dvě mřížky. Pak (L, ∧,∨) je přímý součin mříží, kde L = L1x L2ve které jsou binární operace ∨(join) a ∧(meet) na L takové, že pro libovolný (a1,b1) a (a2,b2) v L.
(A1,b1)∨ (a2,b2) = (a1∨1A2,b1∨2b2)
a (a1,b1) ∧ (a2,b2) = (a1∧1A2,b1∧2b2).
Příklad: Uvažujme mřížku (L, ≦), jak je znázorněno na obr. kde L = {1, 2}. Určete mřížky (L2, ≦), kde L2= L x L.
Řešení: Mříž (L2, ≦) je znázorněno na obr: