LAGRANGEŮV INTERPOLAČNÍ VZOREC: DŮKAZ, PŘÍKLADY A ČASTO KLADENÉ OTÁZKY

Lagrangeův interpolační vzorec najde polynom nazvaný Lagrangeův polynom, který nabývá určitých hodnot v libovolném bodě. Je to n-tý stupeňpolynomické vyjádření funkce f(x). Metoda interpolace se používá k nalezení nových datových bodů v rozsahu diskrétní sady známých datových bodů.

V tomto článku se podrobně seznámíme s Lagrangeovou interpolací, vzorcem Lagrangeovy interpolace, důkazem pro vzorec Lagrangeovy interpolace, příklady založenými na vzorci Lagrangeovy interpolace a dalšími.

Co je Lagrangeova interpolace?

Lagrangeova interpolace je způsob, jak najít hodnotu libovolné funkce v jakémkoli daném bodě, když funkce není dána. Pomocí dalších bodů na funkci získáme hodnotu funkce v libovolném požadovaném bodě.

Předpokládejme, že máme funkci y = f(x), ve které dosazením hodnot x získáme různé hodnoty y. A dostáváme dva body (x₁, a₁) a (x₂, a₂) na křivce se pak pomocí Lagrangeova interpolačního vzorce vypočte hodnota y při x = a(konstanta).

výška odsazení

Lagrangeův interpolační vzorec

Vzhledem k několika reálným hodnotám x₁, X₂, X₃, …, X_na y₁, a₂, a₃, …, a_na bude existovat polynom P s reálnými koeficienty splňujícími podmínky P(x_i) = a_i, ∀ i = {1, 2, 3, …, n} a stupeň polynomu P musí být menší než počet reálných hodnot, tj. stupeň (P)

Lagrangeův interpolační vzorec pro n-tý řád

Vzorec Lagrangeovy interpolace pro n^čtpolynom stupně je uveden níže:

Lagrangeův interpolační vzorec pro n ^čt objednávka je,

$f(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)}krát y_0+ frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)}krát y_1+...+ frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)}krát y_n$

Lagrangeův vzorec interpolace prvního řádu

PokudStupeň polynomu je 1, pak se nazývá polynom prvního řádu. Lagrangeův interpolační vzorec pro 1^Svatýřádové polynomy je,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}krát y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}krát y_1$

Lagrangeův interpolační vzorec druhého řádu

Pokud je stupeň polynomu 2, nazývá se polynom druhého řádu. Lagrangeův interpolační vzorec pro polynomy 2. řádu je,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}krát y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)} {(x_1-x_0)(x_1-x_2)}krát y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}krát y_2$

Důkaz Lagrangeovy věty

Uvažujme polynom n-tého stupně daného tvaru,

f(x) = A₀(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃)…(x – x_n) + A₁(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃)…(x – x_n) + … + A_(n-1)(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃)…(x – x_n)

Náhradní pozorování x_izískat A_i

Dejte x = x₀pak dostaneme A₀

f(x₀) = a₀= A₀(X₀- X₁)(X₀- X₂)(X₀- X₃)…(X₀- X_n)

A ₀ = a ₀ /(X ₀ - X ₁ )(X ₀ - X ₂ )(X ₀ - X ₃ )…(X ₀ - X _n )

Dosazením x = x₁dostaneme A₁

f(x₁) = a₁= A₁(X₁- X₀)(X₁- X₂)(X₁- X₃)…(X₁- X_n)

A ₁ = a ₁ /(X ₁ - X ₀ )(X ₁ - X ₂ )(X ₁ - X ₃ )…(X ₁ - X _n )

Podobně dosazením x = x_ndostaneme A_n

f(x_n) = a_n= A_n(X_n- X₀)(X_n- X₁)(X_n- X₂)…(X_n- X_n-1)

A _n = a _n /(X _n - X ₀ )(X _n - X ₁ )(X _n - X ₂ )…(X _n - X _n-1 )

Pokud dosadíme všechny hodnoty A_ive funkci f(x), kde i = 1, 2, 3, …n pak dostaneme Lagrangeův interpolační vzorec jako,

$f(x)~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)...(x_0-x_n)} krát y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)...(x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)...(x_1-x_n)}krát y_1+... +frac{(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n-1)}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)...(x_n-x_n-1)}krát y_n$

Vlastnosti Lagrangeova interpolačního vzorce

Různé vlastnosti Lagrangeova interpolačního vzorce jsou diskutovány níže,

Tento vzorec se používá k nalezení hodnoty funkce v libovolném bodě, i když funkce samotná není dána.
Používá se i v případě, že uvedené body nejsou rovnoměrně rozmístěny.
Udává hodnotu závislé proměnné pro libovolnou nezávislou proměnnou patřící do jakékoli funkce, a proto se používá v numerické analýze k nalezení hodnot funkce atd.

Použití Lagrangeova interpolačního vzorce

Různá použití Lagrangeova interpolačního vzorce jsou diskutována níže,

Používá se k nalezení hodnoty závislé proměnné u jakékoli konkrétní nezávislé proměnné, i když funkce samotná není dána.
Používá se při škálování obrazu.
Používá se v modelování AI.
Používá se k výuce NLP atd.

Přečtěte si více,

Interpolační vzorec
Lineární interpolační vzorec

Příklady použití Lagrangeova interpolačního vzorce

Podívejme se na několik příkladů otázek týkajících se Lagrangeova interpolačního vzorce.

Příklad 1: Najděte hodnotu y v x = 2 pro danou množinu bodů (1, 2), (3, 4)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (1, 2)
(X₁, a₁) = (3, 4)
Lagrangeův interpolační vzorec prvního řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}krát y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}krát y_1$

Při x = 2

a $=~frac{(2-3)}{(1-3)}krát 2+frac{(2-1)}{(3-1)}krát 4$

y = (-2/-2) + (4/2)

y = 1 + 2 = 3

Hodnota y v x = 2 je 3

Příklad 2: Najděte hodnotu y v x = 5 pro danou množinu bodů (9, 2), (3, 10)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (9, 2)
(X₁, a₁) = (3, 10)
Lagrangeův interpolační vzorec prvního řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}krát y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}krát y_1$

Při x = 5

$y~=~frac{(5-3)}{(9-3)}krát 2+frac{(5-9)}{(3-9)}krát 10$

y = (4/6) + (-40/-6)

y = (2/3) + (20/3)

y = 22/3 = 7,33

Hodnota y v x = 5 je 7,33

Příklad 3: Najděte hodnotu y v x = 1 pro danou množinu bodů (1, 6), (3, 4), (2, 5)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (1, 6)
(X₁, a₁) = (3, 4)
(X₂, a₂) = (2, 5)
Lagrangeův interpolační vzorec druhého řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}krát y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)}krát y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}krát y_2$

Při x = 1

$y~=~frac{(1-3)(1-2)}{(1-3)(1-2)}krát 6+frac{(1-1)(1-2)}{( 3-1)(3-2)}krát 4+frac{(1-1)(1-3)}{(2-1)(2-3)}krát 5 y~=~ frac{(-2)(-1)}{(-2)(-1)}krát 6+frac{(0)(-1)}{(2)(1)}krát 4+frac {(0)(-2)}{(1)(-1)}krát 5$
může třída rozšířit více tříd

y = (12/2) + 0 + 0

y = 6

Hodnota y v x = 1 je 6

Příklad 4: Najděte hodnotu y v x = 10 pro danou množinu bodů (9, 6), (3, 5), (1, 12)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (9, 6)
(X₁, a₁) = (3, 5)
(X₂, a₂) = (1, 12)
Lagrangeův interpolační vzorec druhého řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}krát y_0+frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1 -x_0)(x_1-x_2)}krát y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}krát y_2$

Při x = 10

$y~=~frac{(10-3)(10-1)}{(9-3)(9-1)}krát 6+frac{(10-9)(10-1)}{( 3-9)(3-1)}krát 5+frac{(10-9)(10-3)}{(1-9)(1-3)}krát 12 y~=~ frac{(7)(9)}{(6)(8)}krát 6+frac{(1)(9)}{(-6)(2)}krát 5+frac{(1) (7)}{(-8)(-2)}krát 12$

y = (63/8) + (-15/4) + (21/4)

y = (63-30 + 42)/8

y = 75/8 = 9,375

Hodnota y v x = 10 je 9,375

Příklad 5: Najděte hodnotu y v x = 7 pro danou množinu bodů (1, 10), (2, 4), (3, 4), (5, 7)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (1, 10)
(X₁, a₁) = (2, 4)
(X₂, a₂) = (3, 4)
(X₃, a₃) = (5, 7)
Lagrangeův interpolační vzorec třetího řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}krát y_0+frac{(x-x_0) )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}krát y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}krát y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)}krát y_3$

Při x = 7

$y~=~frac{(7-2)(7-3)(7-5)}{(1-2)(1-3)(1-5)}krát 10+frac{(7- 1)(7-3)(7-5)}{(2-1)(2-3)(2-5)}krát 4+frac{(7-1)(7-2)(7- 5)}{(3-1)(3-2)(3-5)}krát 4+frac{(7-1)(7-2)(7-3)}{(5-1)( 5-2)(5-3)}krát 7 y~=~frac{(5)(4)(2)}{(-1)(-2)(-4)}krát 10+ frac{(6)(4)(2)}{(1)(-1)(-3)}krát 4+frac{(6)(5)(2)}{(2)(1) (-2)}krát 4+frac{(6)(5)(4)}{(4)(3)(2)}krát 7$

y = -50 + 64 – 60 + 35

y = 99 – 110 = -jedenáct

Hodnota y v x = 7 je -11

Příklad 6: Najděte hodnotu y v x = 10 pro danou množinu bodů (5, 12), (6, 13), (7, 14), (8, 15)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (5, 12)
(X₁, a₁) = (6, 13)
(X₂, a₂) = (7, 14)
(X₃, a₃) = (8, 15)
Lagrangeův interpolační vzorec třetího řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}krát y_0+frac{(x-x_0) )(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}krát y_1+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) }{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}krát y_2+frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1 )(x_3-x_2)}krát y_3$

Při x = 10,

$y~=~frac{(10-6)(10-7)(10-8)}{(5-6)(5-7)(5-8)}krát 12+frac{(10- 5)(10-7)(10-8)}{(6-5)(6-7)(6-8)}krát 13+frac{(10-5)(10-6)(10- 8)}{(7-5)(7-6)(7-8)}krát 14+frac{(10-5)(10-6)(10-7)}{(8-5)( 8-6)(8-7)}krát 15 y~=~frac{(4)(3)(2)}{(-1)(-2)(-3)}krát 12+ frac{(5)(3)(2)}{(1)(-1)(-2)}krát 13+frac{(5)(4)(2)}{(2)(1) (-1)}krát 14+frac{(5)(4)(3)}{(3)(2)(1)}krát 15$

y = -48 + 195 – 280 + 150

y = 17

Hodnota y v x = 10 je 17

Příklad 7: Najděte hodnotu y v x = 0 pro danou množinu bodů (-2, 5), (1, 7)

Řešení:

vzhledem k tomu,

(X₀, a₀) = (-2, 5)
(X₁, a₁) = (1, 7)
Lagrangeův interpolační vzorec prvního řádu je,

$y~=~frac{(x-x_1)}{(x_0-x_1)}krát y_0+frac{(x-x_0)}{(x_1-x_0)}krát y_1$

Při x = 0,

$y~=~frac{(0-1)}{(-2-1)}krát 5+frac{(0+2)}{(1+2)}krát 7$

y = (5/3) + (14/3)

y = 19/3 = 6,33

Hodnota y v x = 0 je 6,33

Nejčastější dotazy o vzorci Lagrangeovy interpolace

1. Co je Lagrangeův interpolační vzorec?

Lagrangeův interpolační vzorec je vzorec, který se používá k nalezení hodnoty závislé proměnné funkce pro libovolnou nezávisle proměnnou, i když samotná funkce není dána.

2. Jaké jsou aplikace Lagrangeova interpolačního vzorce?

Lagrangesův vzorec má různé aplikace v moderní matematice a datových vědách,
python tiskne na 2 desetinná místa

Je zvyklý na AI model Traning.
Používá se při zpracování obrazu.
Používá se při vytváření grafů 3-D a vyšších křivek atd.

3. Co je Lagrangeův interpolační vzorec prvního řádu?

Lagrangeův interpolační vzorec prvního řádu je,

f(x) = (x – x ₁ )/(X ₀ - X ₁ )×f ₀ + (x – x ₀ )/(X ₁ - X ₀ )×f ₁

4. Co je Lagrangeův interpolační vzorec druhého řádu?

Lagrangeův interpolační vzorec druhého řádu je,

f(x) = [(x – x ₁ ) (x – x ₂ )/(X ₀ - X ₁ )(X ₀ - X ₂ )]×f ₀ + [(x – x ₀ ) (x – x ₂ )/(X ₁ - X ₀ )(X ₁ - X ₂ )]×f ₁ + [(x – x ₀ ) (x – x ₁ )/(X ₂ - X ₀ )(X ₂ - X ₂ )]×f ₀