Kadaneův algoritmus je přístup dynamického programování používaný k řešení problému maximálního podpole, který zahrnuje nalezení souvislého podpole s maximálním součtem v poli čísel. Algoritmus navrhl Jay Kadane v roce 1984 a má časovou složitost O(n).
Historie Kadaneova algoritmu:
Kadaneův algoritmus je pojmenován po svém vynálezci Jay Kadane, profesorovi počítačových věd na Carnegie Mellon University. Poprvé popsal algoritmus v článku nazvaném „Maximum Sum Subarray Problem“ publikovaném v Journal of the Association for Computing Machinery (ACM) v roce 1984.
Problémem nalezení maximálního subarray se zabývají informatici již od 70. let minulého století. Je to dobře známý problém v oblasti návrhu a analýzy algoritmů a má aplikace v široké škále oblastí, včetně zpracování signálů, financí a bioinformatiky.
Před Kadaneovým algoritmem byly navrženy jiné algoritmy pro řešení problému maximálního dílčího pole, jako je přístup hrubou silou, který kontroluje všechna možná dílčí pole, a algoritmus rozděl a panuj. Tyto algoritmy však mají vyšší časovou složitost a jsou méně účinné než Kadaneův algoritmus.
Kadaneův algoritmus je široce používán v informatice a stal se klasickým příkladem dynamického programování. Jeho jednoduchost, účinnost a elegance z něj udělaly oblíbené řešení maximálního problému podpolí a cenný nástroj při návrhu a analýze algoritmů.
Fungování Kadeneova algoritmu:
Algoritmus funguje tak, že iteruje přes pole a sleduje maximální součet dílčího pole končícího na každé pozici. Na každé pozici i máme dvě možnosti: buď přidat prvek na pozici i do aktuálního maximálního podpole, nebo začít nové podpole na pozici i. Maximum z těchto dvou možností je maximální podpole končící na pozici i.
c program pro dvourozměrné pole
Udržujeme dvě proměnné, max_so_far a max_ending_here, abychom mohli sledovat maximální součet, který jsme viděli, a maximální součet končící na aktuální pozici. Algoritmus začíná nastavením obou proměnných na první prvek pole. Poté iterujeme pole od druhého prvku až do konce.
applet
Na každé pozici i aktualizujeme max_ending_here tím, že vezmeme maximum aktuálního prvku a aktuální prvek přidaný do předchozího maximálního podpole. Poté aktualizujeme max_so_far na maximum z max_so_far a max_ending_here.
Algoritmus vrací max_so_far, což je maximální součet libovolného podpole v poli.
Zde je krok za krokem proces Kadaneova algoritmu:
1. Inicializujte dvě proměnné, max_so_far a max_ending_here , na první prvek pole.
max_so_far = arr[0]
max_ending_here = arr[0]
2. Iterujte pole od druhého prvku do konce:
pro i od 1 do n-1 udělejte:
3. Vypočítejte maximální součet končící na aktuální pozici:
max_ending_here = max(arr[i], max_ending_here + arr[i])
4. Aktualizujte max_so_far na maximum z max_so_far a max_ending_here:
vyberte multi table sql
max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
5. Vraťte max_so_far jako maximální součet libovolného dílčího pole v poli.
Časová složitost Kadaneova algoritmu je O(n), kde n je délka vstupního pole. To z něj dělá velmi efektivní řešení problému maximálního podpole.
jiskra tutoriál
Příklad:
Podívejme se na příkladu, jak funguje Kadaneův algoritmus:
Předpokládejme, že máme následující pole celých čísel:
arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
Chceme najít maximální součet dílčích polí tohoto pole. K vyřešení tohoto problému můžeme použít Kadaneův algoritmus.
Začneme inicializací dvou proměnných:
max_so_far = INT_MIN; max_ending_here = 0;
Poté iterujeme polem od druhého prvku:
for i in range(1, len(arr)):
Aktualizujte aktuální součet přidáním aktuálního prvku k předchozímu součtu:
max_ending_here = max(arr[i], max_ending_here + arr[i])
Aktualizujte dosud zobrazenou maximální částku:
max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
Při každé iteraci aktualizujeme aktuální součet buď přidáním aktuálního prvku k předchozímu součtu nebo spuštěním nového podpole na aktuálním prvku. Poté aktualizujeme maximální součet, který jsme dosud viděli, porovnáním s aktuálním součtem.
Po iteraci přes celé pole bude hodnota max_so_far maximální součet podpole daného pole.
V tomto příkladu je maximální součet dílčího pole 6, což odpovídá dílčímu poli [4, -1, 2, 1].
co je obj v javě
Implementace kódu v Javě:
import java.io.*; import java.util.*; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc=new Scanner(System.in); System.out.print('Enter the size of the array : '); int n=sc.nextInt(); int[] arr=new int[n]; System.out.println('Enter the elements of the array : '); for(int i=0;i<n;i++){ arr[i]="sc.nextInt();" } int max_so_far="Integer.MIN_VALUE,max_ending_here=0;" for(int i="0;i<n;i++)" { max_ending_here+="arr[i];" if(max_so_far<max_ending_here){ if(max_ending_here<0){ max_ending_here="0;" system.out.print('the maximum contiguous sum in the array is : '+max_so_far); < pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <pre> Enter the size of the array : 9 Enter the elements of the array : -2 1 -3 4 -1 2 1 -5 4 The Maximum contiguous sum in the array is : 6 </pre> <h3>Code Implementation in C++:</h3> <pre> #include using namespace std; int main() { int a[] = { -2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3 }; int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); // Kadane's algorithm int max_so_far = INT_MIN, max_ending_here = 0; for (int i = 0; i <n; i++) { max_ending_here="max_ending_here" + a[i]; if (max_so_far < max_ending_here) max_so_far="max_ending_here;" (max_ending_here 0) } cout << 'maximum contiguous sum in the array is : '<<max_so_far<<endl; return 0; pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <pre> Maximum contiguous sum in the array is : 7 </pre> <h2>Advantages and Disadvantages of Kadane's algorithm:</h2> <h3>Advantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Efficiency:</td> Kadane's Algorithm has a time complexity of O(n), which makes it very efficient for solving the maximum subarray problem. This makes it a great solution for large datasets. </tr><tr><td>Simplicity:</td> Kadane's Algorithm is relatively easy to understand and implement compared to other algorithms for solving the maximum subarray problem, such as the divide-and-conquer algorithm. </tr><tr><td>Space Complexity:</td> Kadane's Algorithm has a space complexity of O(1), which means it uses a constant amount of memory irrespective of the size of the input array. </tr><tr><td>Dynamic Programming:</td> Kadane's Algorithm is a classic example of dynamic programming, a technique that breaks down a problem into smaller subproblems and stores the solutions to these subproblems to avoid redundant computation. </tr></ul> <h3>Disadvantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Only finds sum and not the subarray itself:</td> Kadane's Algorithm only finds the maximum sum of the subarray and not the actual subarray itself. If you need to find the subarray that has the maximum sum, you will need to modify the algorithm accordingly. </tr><tr><td>Does not handle negative numbers well:</td> If an input array has only negative numbers, the algorithm will return the maximum negative number instead of 0. This can be overcome by adding an additional step to the algorithm to check if the array has only negative numbers. </tr><tr><td>Not suitable for non-contiguous subarrays:</td> Kadane's Algorithm is specifically designed for contiguous subarrays and may not be suitable for solving problems that involve non-contiguous subarrays. </tr></ul> <h2>Applications of Kadane's algorithm:</h2> <p>There are some of its applications like the following:</p> <ul> <tr><td>Maximum subarray sum:</td> As we saw in the example above, Kadane's algorithm is used to find the maximum subarray sum of an array of integers. This is a common problem in computer science and has applications in data analysis, financial modeling, and other fields. </tr><tr><td>Stock trading:</td> Kadane's algorithm can be used to find the maximum profit that can be made by buying and selling a stock on a given day. The input to the algorithm is an array of stock prices, and the output is the maximum profit that can be made by buying and selling the stock at different times. </tr><tr><td>Image processing:</td> Kadane's algorithm can be used in image processing applications to find the largest contiguous area of pixels that meet a certain condition, such as having a certain color or brightness. This can be useful for tasks such as object recognition and segmentation. </tr><tr><td>DNA sequencing:</td> Kadane's algorithm can be used in bioinformatics to find the longest subsequence of DNA that meets certain conditions. For example, it can be used to find the longest common subsequence between two DNA sequences or to find the longest subsequence that does not contain certain patterns. </tr><tr><td>Machine learning:</td> Kadane's algorithm can be used in some machine learning applications, such as reinforcement learning and dynamic programming, to find the optimal policy or action sequence that maximizes a reward function. </tr></ul> <p>Therefore, we can say the advantages of Kadane's Algorithm make it a great solution for solving the maximum subarray problem, especially for large datasets. However, its limitations must be considered when using it for specific applications.</p> <hr></n;></pre></n;i++){> Implementace kódu v C++:
#include using namespace std; int main() { int a[] = { -2, -3, 4, -1, -2, 1, 5, -3 }; int n = sizeof(a) / sizeof(a[0]); // Kadane's algorithm int max_so_far = INT_MIN, max_ending_here = 0; for (int i = 0; i <n; i++) { max_ending_here="max_ending_here" + a[i]; if (max_so_far < max_ending_here) max_so_far="max_ending_here;" (max_ending_here 0) } cout << \'maximum contiguous sum in the array is : \'<<max_so_far<<endl; return 0; pre> <p> <strong>Output</strong> </p> <pre> Maximum contiguous sum in the array is : 7 </pre> <h2>Advantages and Disadvantages of Kadane's algorithm:</h2> <h3>Advantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Efficiency:</td> Kadane's Algorithm has a time complexity of O(n), which makes it very efficient for solving the maximum subarray problem. This makes it a great solution for large datasets. </tr><tr><td>Simplicity:</td> Kadane's Algorithm is relatively easy to understand and implement compared to other algorithms for solving the maximum subarray problem, such as the divide-and-conquer algorithm. </tr><tr><td>Space Complexity:</td> Kadane's Algorithm has a space complexity of O(1), which means it uses a constant amount of memory irrespective of the size of the input array. </tr><tr><td>Dynamic Programming:</td> Kadane's Algorithm is a classic example of dynamic programming, a technique that breaks down a problem into smaller subproblems and stores the solutions to these subproblems to avoid redundant computation. </tr></ul> <h3>Disadvantages of Kadane's Algorithm:</h3> <ul> <tr><td>Only finds sum and not the subarray itself:</td> Kadane's Algorithm only finds the maximum sum of the subarray and not the actual subarray itself. If you need to find the subarray that has the maximum sum, you will need to modify the algorithm accordingly. </tr><tr><td>Does not handle negative numbers well:</td> If an input array has only negative numbers, the algorithm will return the maximum negative number instead of 0. This can be overcome by adding an additional step to the algorithm to check if the array has only negative numbers. </tr><tr><td>Not suitable for non-contiguous subarrays:</td> Kadane's Algorithm is specifically designed for contiguous subarrays and may not be suitable for solving problems that involve non-contiguous subarrays. </tr></ul> <h2>Applications of Kadane's algorithm:</h2> <p>There are some of its applications like the following:</p> <ul> <tr><td>Maximum subarray sum:</td> As we saw in the example above, Kadane's algorithm is used to find the maximum subarray sum of an array of integers. This is a common problem in computer science and has applications in data analysis, financial modeling, and other fields. </tr><tr><td>Stock trading:</td> Kadane's algorithm can be used to find the maximum profit that can be made by buying and selling a stock on a given day. The input to the algorithm is an array of stock prices, and the output is the maximum profit that can be made by buying and selling the stock at different times. </tr><tr><td>Image processing:</td> Kadane's algorithm can be used in image processing applications to find the largest contiguous area of pixels that meet a certain condition, such as having a certain color or brightness. This can be useful for tasks such as object recognition and segmentation. </tr><tr><td>DNA sequencing:</td> Kadane's algorithm can be used in bioinformatics to find the longest subsequence of DNA that meets certain conditions. For example, it can be used to find the longest common subsequence between two DNA sequences or to find the longest subsequence that does not contain certain patterns. </tr><tr><td>Machine learning:</td> Kadane's algorithm can be used in some machine learning applications, such as reinforcement learning and dynamic programming, to find the optimal policy or action sequence that maximizes a reward function. </tr></ul> <p>Therefore, we can say the advantages of Kadane's Algorithm make it a great solution for solving the maximum subarray problem, especially for large datasets. However, its limitations must be considered when using it for specific applications.</p> <hr></n;> Výhody a nevýhody Kadaneova algoritmu:
Výhody Kadaneova algoritmu:
Nevýhody Kadaneova algoritmu:
Aplikace Kadaneova algoritmu:
Existují některé z jeho aplikací, jako jsou následující:
Proto můžeme říci, že výhody Kadane's Algorithm z něj dělají skvělé řešení pro řešení maximálního problému podpolí, zejména pro velké datové sady. Při použití pro specifické aplikace je však třeba vzít v úvahu jeho omezení.