Rovnice přímky v rovině je dáno jako y = mx + C kde x a y jsou souřadnice roviny, m je sklon přímky a C je průsečík. Konstrukce čáry však není omezena pouze na rovinu.

Víme, že přímka je cesta mezi dvěma body. Tyto dva body mohou být umístěny kdekoli, ať už by mohly být v jedné rovině nebo by mohly být v prostoru. V případě roviny je poloha přímky charakterizována dvěma souřadnicemi uspořádanými do uspořádané dvojice daných jako (x, y), zatímco v případě prostoru je poloha bodu charakterizována třemi souřadnicemi vyjádřenými jako (x , y, z).

V tomto článku se naučíme různé formy rovnic přímek ve 3D prostoru.

Obsah

• Co je rovnice přímky?
• Rovnice přímky ve 3D
• Kartézský tvar přímkové rovnice ve 3D
• Vektorový tvar rovnice čáry ve 3D
• Vzorce 3D čar
• Řešené příklady na rovnici přímky ve 3D

Co je rovnice přímky?

Rovnice přímky je algebraický způsob, jak vyjádřit přímku pomocí souřadnic bodů, které spojuje. Rovnice přímky bude vždy a lineární rovnice .

Pokud se pokusíme vykreslit body získané z lineární rovnice, bude to a přímka . Standardní rovnice přímky je dána takto:

ax + by + c = 0

kde,

• a a b jsou koeficienty x a y
• c je konstantní člen

Další formy rovnice přímky jsou uvedeny níže:

Nyní se naučíme rovnici přímky ve 3D.

Rovnice přímky ve 3D

Rovnice přímky ve 3D vyžaduje dva body, které jsou umístěny v prostoru. Poloha každého bodu je dána pomocí tří souřadnic vyjádřených jako (x, y, z).

3D rovnice čáry je dána ve dvou formátech, kartézský tvar a vektorová forma . V tomto článku se naučíme rovnici přímky ve 3D v kartézském i vektorovém tvaru a také se naučíme rovnici odvodit. Různé případy pro rovnici přímky jsou uvedeny níže:

• Kartézská forma čáry
  • Přímka procházející dvěma body
  • Přímka procházející daným bodem a rovnoběžná s daným vektorem
• Vektorová forma čáry
  • Přímka procházející dvěma body
  • Přímka procházející daným bodem a rovnoběžná s daným vektorem

Kartézský tvar přímkové rovnice ve 3D

Kartézský tvar přímky je dán pomocí souřadnic dvou bodů umístěných v prostoru, ze kterého přímka prochází. V tomto probereme dva případy, kdy přímka prochází dvěma body a kdy přímka prochází body a je rovnoběžná s vektorem.

Případ 1: 3D rovnice přímky v kartézském tvaru procházející dvěma body

Předpokládejme, že máme dva body A a B, jejichž souřadnice jsou dány jako A(x₁, a₁, S₁) a B(x₂, a₂, S₂).

Potom je 3D rovnice přímky v kartézském tvaru dána jako

old{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

kde x, y a z jsou pravoúhlé souřadnice.

Odvození rovnice přímky procházející dvěma body

Kartézský tvar 3D rovnice přímky můžeme odvodit pomocí následujících uvedených kroků:

• Krok 1: Najděte DR (Direction Ratios) tím, že vezmete rozdíl odpovídajících polohových souřadnic dvou daných bodů. l = (x₂- X₁), m = (a₂- a₁), n = (z₂- S₁); Tady l, m, n jsou DR.
• Krok 2: Vyberte si jeden ze dvou daných bodů, řekněme, vybereme (X₁, a₁, S₁).
• Krok 3: Napište požadovanou rovnici přímky procházející body (X₁, a₁, S₁) a (x₂, a₂, S₂).
• Krok 4: 3D rovnice přímky v kartézském tvaru je dána jako L : (x – x₁)/l = (y – y₁)/m = (z – z₁)/n = (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(a₂- a₁) = (z – z₁)/(S₂- S₁)

Kde (X a Z) jsou souřadnice polohy libovolného proměnného bodu ležícího na přímce.

Příklad: Prochází-li přímka dvěma pevnými body ve 3-rozměru, jejichž souřadnice polohy jsou P (2, 3, 5) a Q (4, 6, 12), pak je její kartézská rovnice pomocí dvoubodového tvaru dána vztahem

Řešení:

l = (4 – 2), m = (6 – 3), n = (12 – 5)

řetězec java obsahuje

l = 2, m = 3, n = 7

Výběr bodu P (2, 3, 5)

Požadovaná rovnice přímky

L: (x – 2) / 2 = (y – 3) / 3 = (z – 5) / 7

Případ 2: 3D rovnice přímky v kartézském průchodu bodem a rovnoběžná s daným vektorem

Předpokládejme, že přímka prochází bodem P(x₁, a₁, S₁) a je rovnoběžný s vektorem daným jakovec n = ahat i + bhat j + chat k .

Potom je rovnice přímky dána jako

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

kde x, y, z jsou pravoúhlé souřadnice a a, b, c jsou směrové kosiny.

Odvození 3D rovnice přímky v kartézském průchodu bodem a rovnoběžné s daným vektorem

Předpokládejme, že máme bod P, jehož polohový vektor je dán jakovec pod původu. Nechť přímka, která prochází P, je rovnoběžná s jiným vektoremvec n. Vezměme bod R na přímce, která prochází skrz P, pak polohový vektor R je dán jakovec r .

Vzhledem k tomu, PR je paralelní svec n⇒overline {PR} = lambda vec n

Nyní, když se přesuneme na přímku PR, pak souřadnice libovolného bodu, který leží na přímce, bude mít souřadnici ve tvaru (x₁+ λa), (a₁+ λb), (z₁+ λc), kde λ je parametr, jehož hodnota se pohybuje od -∞ do +∞ v závislosti na směru od P, kam se pohybujeme.

Souřadnice nového bodu tedy budou

porovnávací řetězec java

x = x₁+ λa ⇒ λ = x – x₁/A

y = y₁+ λb ⇒ λ = y – y₁/b

z = z₁+ λc ⇒ λ = z – z₁/C

Porovnáním výše uvedených tří rovnic máme rovnici přímky jako

old{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Příklad: Najděte rovnici přímky procházející bodem (2, 1, 3) rovnoběžné s vektorem 3i – 2j + k

Řešení:

Rovnice přímky procházející bodem a rovnoběžné s vektorem je dána jako

(x – x₁)/a = (y – y₁)/b = (z – z₁)/C

Z otázky, kterou máme, x₁= 2 a₁= 1, z₁= 3 a a = 3, b = -2 a c = k. Požadovaná rovnice přímky tedy bude

⇒ (x – 2)/3 = (y – 1 )/-2 = (z – 3)/1

Vektorový tvar rovnice čáry ve 3D

Vektorový tvar přímkové rovnice ve 3D je dán pomocí vektorové rovnice, která zahrnuje polohový vektor bodů. V tomto nadpisu získáme 3D rovnici přímky ve vektorovém tvaru pro dva případy.

Případ 1: 3D rovnice přímky procházející dvěma body ve vektorovém tvaru

Předpokládejme, že máme dva body A a B, jejichž polohový vektor je dán jakovec aavec b.

Potom je vektorová rovnice přímky L dána jako

vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

kde(vec b – vec a)je vzdálenost mezi dvěma body a λ je parametr, který leží na lince.

Odvození 3D rovnice přímky procházející dvěma body ve vektorovém tvaru

Předpokládejme, že máme dva body A a B, jejichž polohový vektor je dán jakovec aavec b. Nyní víme, že přímka je vzdálenost mezi libovolnými dvěma body. Proto potřebujeme odečíst dva polohové vektory, abychom získali vzdálenost.

⇒vec d = vec b – vec a

Nyní víme, že jakýkoli bod na této přímce bude dán jako součet polohového vektoruvec a space or space vec b se součinem parametru λ a polohového vektoru vzdálenosti mezi dvěma body tzn.vec d

Rovnice přímky ve vektorovém tvaru tedy budevec l = vec a + lambda (vec b – vec a)nebovec l = vec b + lambda (vec a – vec b)

Příklad: Najděte vektorovou rovnici přímky ve 3D, která prochází dvěma body, jejichž polohové vektory jsou dány jako 2i + j – k a 3i + 4j + k

Řešení:

Vzhledem k tomu, že dva polohové vektory jsou dány jako 2i + j – k a 3i + 4j + k

Vzdálenost d = (3i + 4j + k) – (2i + j -k) = i + 3j + 2k

Víme, že rovnice přímky je dána jakovec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Rovnice přímky tedy budevec l= 2i + j – k + λ(i + 3j + 2k)

Případ 2: Vektorová forma 3D rovnice přímky procházející bodem a rovnoběžná s vektorem

Řekněme, že máme bod P, jehož polohový vektor je dán jakovec p. Nechť je tato přímka rovnoběžná s jinou přímkou, jejíž polohový vektor je dán jakovec d .

Potom je vektorová rovnice přímky ‚l‘ dána jako

vec l = vec p + lambda vec d

kde λ je parametr, který leží na přímce.

Odvození vektorové formy 3D rovnice přímky procházející bodem a rovnoběžné s vektorem

Uvažujme bod P, jehož polohový vektor je dán jakovec p. Nyní předpokládejme, že tato přímka je rovnoběžná s vektoremvec dpak bude rovnice přímkyvec l = lambda vec d. Protože přímka také prochází bodem P, pak když se budeme vzdalovat od bodu P v obou směrech přímky, bude polohový vektor bodu ve tvaruvec p + lambda vec d . Rovnice přímky tedy budevec l = vec p + lambda vec dkde λ je parametr, který leží na přímce.

applet applet

Příklad: Najděte vektorový tvar rovnice přímky procházející bodem (-1, 3, 2) rovnoběžné s vektorem 5i + 7j – 3k.

Řešení:

Víme, že vektorový tvar rovnice přímky procházející bodem a rovnoběžné s vektorem je dán jakovec l = vec p + lambda vec d

Vzhledem k tomu, že bod je (-1, 3, 2), bude tedy polohový vektor bodu -i + 3j + 2k a daný vektor je 5i + 7j – 3k.

Požadovaná rovnice přímky tedy budevec l = (-i + 3j + 2k) + λ(5i + 7j – 3k).

Vzorce 3D čar

Podobné čtení

• Rovnice přímky
• Tangenta a Normální
• Sklon čáry

Řešené příklady na rovnici přímky ve 3D

Procvičte si rovnice přímky ve 3D s těmito vyřešenými cvičnými otázkami.

Příklad 1: Pokud přímka prochází dvěma pevnými body ve 3-rozměrném prostoru, jejichž polohové vektory jsou (2 i + 3 j + 5 k) a (4 i + 6 j + 12 k), pak její Vektorová rovnice pomocí dvoubodového forma je dána tím

Řešení:

{vec {p}}= (4 i + 6 j + 12 k ) - (2 i + 3 j + 5 k )

{vec {p}}= (2 i + 3 j + 7 k ); Tady{vec {p}}je vektor rovnoběžný s přímkou

Výběr polohového vektoru (2 i + 3 j + 5 k )

Požadovaná rovnice přímky

L:{vec {r}}= (2 i + 3 j + 5 k ) + t . (2 i + 3 j + 7 k )

Příklad 2: Pokud přímka prochází dvěma pevnými body v 3-rozměrném prostoru, jejichž souřadnice polohy jsou (3, 4, -7) a (1, -1, 6), pak její vektorová rovnice používá dvoubodový forma je dána tím

Řešení:

Polohové vektory daných bodů budou (3 i + 4 j – 7 k) a (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (3 i + 4 j – 7 k) – (i – j + 6 k)

{vec {p}}= (2 i + 5 j – 13 k); Tady{vec {p}}je vektor rovnoběžný s přímkou

Výběr polohového vektoru (i – j + 6 k)

Požadovaná rovnice přímky

L:{vec {r}}= (i – j + 6 k) + t . (2 i + 5 j – 13 k)

Příklad 3: Pokud přímka prochází dvěma pevnými body ve 3-rozměrném prostoru, jejichž polohové vektory jsou (5 i + 3 j + 7 k) a (2 i + j – 3 k), pak její Vektorová rovnice používá dvoubodový tvar darováno

Řešení:

{vec {p}}= (5 i + 3 j + 7 k) – (2 i + j – 3 k)

{vec {p}}= (3i + 2 j + 10 k); Tady{vec {p}}je vektor rovnoběžný s přímkou

Výběr polohového vektoru (2 i + j – 3 k)

Požadovaná rovnice přímky

L:{vec {r}}= (2 i + j – 3 k) + t . (3 i + 2 j + 10k)

Příklad 4: Pokud přímka prochází dvěma pevnými body v 3-rozměru, jejichž souřadnice polohy jsou A (2, -1, 3) a B (4, 2, 1), pak její kartézská rovnice používá dvoubodový forma je dána tím

Řešení:

l = (4 – 2), m = (2 – (-1)), n = (1 – 3)

l = 2, m = 3, n = -2

Výběr bodu A (2, -1, 3)

Požadovaná rovnice přímky

L : (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (z – 3) / -2 nebo

L: (x – 2) / 2 = (y + 1) / 3 = (3 – z) / 2

java double to string

Příklad 5: Prochází-li přímka dvěma pevnými body ve 3-rozměru, jejichž souřadnice polohy jsou X (2, 3, 4) a Y (5, 3, 10), pak je její kartézská rovnice pomocí dvoubodového tvaru dána vztahem

Řešení:

l = (5 – 2), m = (3 – 3), n = (10 – 4)

l = 3, m = 0, n = 6

Výběr bodu X (2, 3, 4)

Požadovaná rovnice přímky

L : (x – 2) / 3 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 6 nebo

L: (x – 2) / 1 = (y – 3) / 0 = (z – 4) / 2

Rovnice přímky ve 3D – FAQ

Co je to přímková rovnice ve 3D?

Rovnice přímky ve 3D je dána jako (x – x₁)/(X₂- X₁) = (y – y₁)/(a₂- a₁) = (z – z₁)/(S₂- S₁)

Co je kartézský tvar rovnice přímky ve 3D?

Kartézský tvar přímkové rovnice ve 3D je uveden pro dva případy

Případ 1: Když čára prochází dvěma body:{frac{x – x_1} {x_2 – x_1} = frac{y – y_1} {y_2 – y_1} = frac{z -z_1} {z_2 – z_1}}

Případ 2: Když přímka prochází jedním bodem a je rovnoběžná s vektorem:{frac{x – x_1} a = frac{y – y_1} b = frac{z -z_1} c}

Co je vektorová forma rovnice čáry ve 3D?

Vektorový tvar rovnice přímky ve 3D je uveden pro dva případy:

Případ 1: Linka procházející dvěma body:vec l = vec a + lambda (vec b – vec a)

Případ 2: Přímka prochází bodem a je rovnoběžná s vektorem:vec l = vec p + lambda vec d

Co je to bodová rovnice sklonu přímky?

Bod sklonu Rovnice přímky je dána jako y = mx + C, kde m je sklon

Co je standardní rovnice přímky?

Standardní rovnice přímky je ax + by + c = 0