Slavný matematik DeMorgan vynalezl dvě nejdůležitější věty booleovské algebry. DeMorganovy teorémy se používají pro matematické ověření ekvivalence hradel NOR a záporných AND a záporných hradel OR a NAND. Tyto věty hrají důležitou roli při řešení různých výrazů booleovské algebry. V níže uvedené tabulce je definována logická operace pro každou kombinaci vstupní proměnné.
| Vstupní proměnné | Výstupní podmínka | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A | NAND | NEBO | ANI |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Pravidla De-Morganovy věty jsou vytvořena z booleovských výrazů pro OR , AND a NOT pomocí dvou vstupních proměnných x a y. První Demorganův teorém říká, že pokud provedeme operaci AND dvou vstupních proměnných a poté provedeme operaci NOT výsledku, výsledek bude stejný jako operace OR doplňku této proměnné. Druhá DeMorganova věta říká, že pokud provedeme operaci OR dvou vstupních proměnných a poté provedeme NE operace výsledku, výsledek bude stejný jako operace AND doplňku této proměnné.
De-Morganova první věta
Podle první věty je výsledek doplňku operace AND roven operaci OR doplňku této proměnné. Je tedy ekvivalentní funkci NAND a je to funkce záporného OR dokazující, že (A.B)' = A'+B' a můžeme to ukázat pomocí následující tabulky.
| Vstupy | Výstup pro každý termín | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A.B | (A.B)“ | A' | B' | A'A+B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
De-Morganova druhá věta
Podle druhé věty je výsledek doplňku operace OR roven operaci AND doplňku této proměnné. Je to tedy ekvivalent funkce NOR a je to funkce záporného AND dokazující, že (A+B)' = A'.B' a můžeme to ukázat pomocí následující pravdivostní tabulky.
| Vstupy | Výstup pro každý termín | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | B | A+B | (A+B)' | A' | B' | A'.B' |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Vezměme si několik příkladů, ve kterých vezmeme nějaké výrazy a aplikujeme DeMorganovy věty.
Příklad 1: (A.B.C)“
(A.B.C)'=A'+B'+C'
Příklad 2: (A+B+C)'
(A+B+C)'=A'.B'.C
Příklad 3: ((A+BC')'+D(E+F')')'
Abychom mohli aplikovat DeMorganovu větu na tento výraz, musíme se řídit následujícími výrazy:
1) V úplném vyjádření nejprve najdeme ty členy, na které můžeme aplikovat DeMorganovu větu a považovat každý člen za jednu proměnnou.
Tak,
2) Dále aplikujeme první DeMorganovu větu. Tak,
3) Dále použijeme pravidlo číslo 9, tj. (A=(A')') pro zrušení dvojitých taktů.
4) Dále aplikujeme druhou DeMorganovu větu. Tak,
5) Znovu použijte pravidlo číslo 9 pro zrušení dvojitého taktu
Nyní tento výraz nemá žádný termín, ve kterém bychom mohli použít nějaké pravidlo nebo větu. Takže toto je konečný výraz.
Příklad 3: (AB'.(A + C))'+ A'B.(A + B + C')'
slunečný deol věk
