logo

TechCodeview

Kotangentní vzorec

Trigonometrie je důležité odvětví matematiky, které se zabývá vztahem mezi délkami stran a úhly pravoúhlého trojúhelníku. Sinus, kosinus, tečna, kosekans, sečna a kotangens je šest trigonometrických poměrů neboli funkcí. Kde je trigonometrický poměr znázorněn jako poměr mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku.

  • sin θ = opačná strana/hypotenza
  • cos θ = sousední strana/hypotenza
  • tan θ = protilehlá strana/přilehlá strana
  • cosec θ = 1/sin θ = přepona/protější strana
  • sec θ = 1/cos θ = přepona/přilehlá strana
  • postýlka θ = 1/tan θ = sousední strana/protilehlá strana

Kotangentní vzorec

Funkce kotangens je reciproká funkce dané funkce tangens. Hodnota kotangensového úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr délky strany přiléhající k danému úhlu k délce strany protilehlé danému úhlu. Kotangensovou funkci píšeme jako kotangens.



Trojúhelník ABC

Nyní je kotangensový vzorec pro úhel θ,

postýlka θ = (Přilehlá strana)/(Protější strana)



  • Funkce kotangens je kladná v prvním a třetím kvadrantu a záporná ve druhém a čtvrtém kvadrantu.
  1. dětská postýlka (2π + θ) = dětská postýlka θ (1Svatýkvadrant)
  2. postýlka (π – θ) = – postýlka θ (2ndkvadrant)
  3. dětská postýlka (π + θ) = dětská postýlka θ (3rdkvadrant)
  4. postýlka (2π – θ) = – postýlka θ (4čtkvadrant)
  • Kotangens funkce je záporná funkce, protože kotangens záporného úhlu je zápor kotangens kladného úhlu.

postýlka (-θ) = – postýlka θ

  • Pokud jde o funkci tangens, funkce kotangens je zapsána jako,

postýlka θ = 1/tan θ

(nebo)



postýlka θ = opálení (90° – θ) (nebo) opálení (π/2 – θ)

  • Funkci kotangens z hlediska funkcí sinus a kosinus lze zapsat jako,

postýlka θ = cos θ/sin θ

Víme to, postýlka θ = sousední strana/protější strana

Nyní rozdělte čitatel i jmenovatel s přeponou

⇒ postýlka θ = (přilehlá strana/hypotenza) / (opačná strana/hypotenza)

Víme, že sin θ = opačná strana/hypotenza

cos θ = sousední strana/hypotenza

Cot θ = cos θ/sin θ

  • Funkci kotangens z hlediska funkce sinus lze zapsat jako,

postýlka θ = (√1 – hřích 2 i)/hřích i

Víme to, cot θ = cos θ/sin θ

Z pythagorejských identit, které máme;

cos2θ + hřích2θ = 1

⇒ cos θ = √1 – hřích2i

Dětská postýlka θ = frac{sqrt{left(1-sin^{2} heta ight)}}{sin heta}

  • Funkci kotangens z hlediska funkce kosinus lze zapsat jako,

postýlka θ = cos θ/(√1 -cos 2 i)

Víme to, cot θ = cos θ/sin θ

Z pythagorejských identit, které máme;

cos2θ + hřích2θ = 1

sin θ = √1 – cos2i

Dětská postýlka θ = frac{cos heta}{sqrt{left(1-cos^{2} heta ight)}}

  • Funkci kotangens z hlediska funkcí sekans a kosekans lze zapsat jako,

postýlka θ = cosec θ/sec θ

Máme, cot θ = cos θ/sin θ

To lze zapsat jako, cot θ = (1/sin θ) / (1/cos θ)

⇒ postýlka θ = cosec θ/sec θ

  • Funkci kotangens z hlediska funkce kosekans lze zapsat jako:

postýlka θ = √ (cosec 2 - 1)

Z pythagorejských identit máme,

cosec2θ – dětská postýlka2θ = 1

⇒ dětská postýlka2θ = 1 – kosec2- 1

Postýlka tedy θ = √(cosec2- 1)

  • Funkce kotangens z hlediska funkce sečny může být zapsána jako:

postýlka θ = 1/(√sec 2 já – 1)

Z pythagorejských identit máme,

sek2θ – tak2θ = 1

tan θ = √sec2já – 1

Víme to, postýlka θ = 1/tan θ

Proto, dětská postýlka θ = frac{1}{sqrt{left(1-sec^{2} heta ight)}}

Trigonometrická poměrová tabulka

Trigonometrická poměrová tabulka

Zákon kotangens nebo zákon kotangens

Zákon kotangens vypadá podobně jako zákon sinus, ale zde zahrnuje poloviční úhly. Zákon kotangens popisuje vztah mezi délkami stran trojúhelníku a kotangens polovin tří úhlů. Uvažujme trojúhelník ABC, kde a, b a c jsou délky stran trojúhelníku.

Zákon kotangens říká, že

frac{cot(frac{A}{2})}{(s-a)} = frac{cot(frac{B}{2})}{(s-b)} = frac{cot(frac{ C}{2})}{(s-c)} = frac{1}{r}

Kde s je půlobvod trojúhelníku ABC a r je jeho poloměr kružnice vepsané trojúhelníku.

s = (a + b + c)/2

r = sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

Ukázkové problémy

Úloha 1: Najděte hodnotu cot θ, jestliže tan θ = 3/4.

Řešení:

Dané údaje, tan θ = 3/4

Víme, že, postýlka θ = 1/tan θ

⇒ postýlka θ = 1/(3/4) = 4/3

Takže postýlka θ = 4/3

Úloha 2: Najděte hodnotu cot α, sin α = 1/3 a cos α = 2√2/3.

Řešení:

Daná data, sin α = 1/3 a cos α = 2√2/3

Víme, že, postýlka α = cos α/sin α

převést z řetězce na celé číslo java

⇒ postýlka α = (2√2/3) / (1/3) = 2√2

Hodnota dětské postýlky α = 2√2

Úloha 3: Chlapec stojící 15 m od stromu se dívá na vrchol stromu pod úhlem 30 stupňů. Jaká je výška stromu?

Řešení:

Diagram z uvedených dat

Zadaná data, vzdálenost mezi chlapcem a patou stromu = 15 m a θ = 30°

Výška stromu nechť je „h“

My máme, postýlka θ = sousední strana/protilehlá strana

⇒ postýlka 30° = 15/hod

⇒ √3 = 15/h [protože postýlka 30° = √3]

⇒ h = 15/√3

⇒ h = 5√3 m

Výška stromu tedy = 5√3 m

Úloha 4: Najděte hodnotu postýlky x, pokud sec x = 6/5.

Řešení:

Daná data, sek x = 6/5

My máme, sek 2 x – tak 2 x = 1

⇒ (6/5)2- tak2x = 1

⇒ 36/25 – tak2x = 1

⇒ tak2x = 36/25 – 1

⇒ tak2x = 11/25

⇒ tan x = √(11/25) = √11/5

Víme, že, postýlka x = 1/opálení x

⇒ postýlka x = 1/(√11/5) = 5/√11

Postýlka x = 5/√11

Úloha 5: Najděte hodnotu cot θ, pokud cosec θ = 25/24.

Řešení:

Daná data, cosec θ = 25/24

Víme, že, postýlka θ = √ (cosec 2 - 1)

⇒ postýlka θ = √ (25/24)2- 1

⇒ postýlka θ =√(625 – 576)/576 = √49/576

⇒ postýlka θ = 7/24

Hodnota dětské postýlky θ = 7/24

Úloha 6: Najděte hodnotu cot β, pokud sin β = 5/13.

Řešení:

Dané údaje, sin β = 5/13

Víme, že, bez 2 β + cos 2 β = 1

⇒ (5/13)2+ cos2β = 1

⇒ cos2β = 1 – (5/13)2= 1 – 25/169 = 144/169

⇒ cos β = √144/169 = 12/13

postýlka β = cosβ/sin β

= (12/13) / (5/13)

⇒ postýlka β = 12/5

Hodnota dětské postýlky β = 12/5

Úloha 7: Pomocí zákona kotangens najděte hodnoty ∠A, ∠B a ∠C (ve stupních), jestliže délky tří stran trojúhelníku ABC jsou a = 4 cm, b= 3 cm a c= 3 cm.

Řešení:

Dáno, a = 4 cm, b = 3 cm a c = 3 cm

Trojúhelník ABC

Ze zákona kotangens,

frac{cot(frac{A}{2})}{(s-a)} = frac{cot(frac{B}{2})}{(s-b)} = frac{cot(frac{ C}{2})}{(s-c)} = frac{1}{r}

s = (a + b + c)/2

⇒ s = (3 + 4 + 3)/2 = 10/2 = 5

Nyní s – a = 5 – 4 = 1

⇒ s – b = 5 – 3 = 2

⇒ s – c = 5 – 3 = 2

r = sqrt{frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}

⇒ r = √[(1)(2)(2)/5]

Poloměr trojúhelníku r = 2/√5

java matematická třída

Z rovnice zákona kotangens,

dětská postýlka (A/2)/1 = 1/(2/√5)

⇒ postýlka (A/2) = √5/2 ⇒ A/2 = postýlka-1(√5/2)

⇒ (A/2) = 41,8° ⇒ ∠A = 83,6°

postýlka(B/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ postýlka (B/2)/2 = √5/2 ⇒ postýlka (B/2) = √5

⇒ (B/2) = dětská postýlka-1(√5) = 24,1° ⇒ ∠B = 48,2°

dětská postýlka (C/2)/2 = 1/(2/√5)

⇒ postýlka(C/2) = √5 ⇒ (C/2) = postýlka-1(√5)

⇒ (C/2) = 24,1° ⇒ ∠C = 48,2°

Úhly trojúhelníku ABC jsou tedy ∠A = 83,6°, ∠B = 48,2° a ∠C = 48,2°.