Aritmetická progrese, také známá jako A.P., je posloupnost v matematice, kde rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy je konstanta. Konstanta je známá jako společný rozdíl. Aritmetický postup je posloupnost čísel v pořadí, ve kterém je rozdíl mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími čísly konstantní hodnotou.

V tomto článku se podrobně seznámíme s definicí aritmetického postupu, vzorců aritmetického postupu, souvisejících příkladů a dalších.

základy sestavení ubuntu

Obsah

• Co je aritmetická progrese?
• Zápisy v aritmetickém postupu
• Společný rozdíl aritmetické progrese
• První termín aritmetického postupu
• N. člen aritmetické progrese
• Součet aritmetické progrese
• Vzorec aritmetického postupu (AP vzorce)

Co je aritmetická progrese?

Aritmetická progrese (AP) je posloupnost čísel, ve které je rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími čísly konstantní hodnotou. Jinými slovy, aritmetická progrese může být definována jako Matematická posloupnost, ve které je rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy vždy konstantní.

Například řady čísel: 1, 2, 3, 4, 5, 6,… jsou v aritmetickém postupu, který má společný rozdíl (d) mezi dvěma po sobě jdoucími členy (řekněme 1 a 2) rovný 1 (2 – 1). Lze vidět společný rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy, a to i pro lichá čísla a sudá čísla, kterým se 2 rovná. V AP jsou tři hlavní termíny společný rozdíl (d), n-tý termín (a_n) a součet prvních n členů (S_n); všechny tři termíny představují vlastnosti AP. Podívejme se podrobně na to, jaký je společný rozdíl,

V AP se setkáváme s různými slovy jako sekvence, série a progrese; nyní se podívejme, co každé slovo definuje,

• Sekvence je konečný nebo nekonečný seznam čísel, který sleduje určitý vzorec. Například 0, 1, 2, 3, 4, 5… je posloupnost, která je nekonečnou posloupností celých čísel.

• Série je součet prvků, kterým posloupnost odpovídá. Například 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. je řada přirozených čísel. Každé číslo v posloupnosti nebo řadě se nazývá termín. Zde 1 je termín, 2 je termín, 3 je termín atd.

• Postup je posloupnost, ve které lze obecný termín vyjádřit pomocí matematického vzorce nebo posloupnosti, která používá matematický vzorec, který lze definovat jako progresi.

Poznámka: Existují hlavně tři typy progrese:

1. Aritmetická progrese (AP)
2. Geometrická progrese (GP)
3. Harmonická progrese (HP)

Zápisy v aritmetickém postupu

V aritmetickém postupu se setkáme s následujícími zápisy:

• První semestr ⇢ A
• Společný rozdíl ⇢ d
• N-té období ⇢ A _n
• Součet prvních n pojmů ⇢ S _n

Obecná forma aritmetické progrese je a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Zde je několik příkladů AP:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,…
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,…
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,…

Společný rozdíl aritmetické progrese

Společný rozdíl se značí d v aritmetickém postupu. Je to rozdíl mezi dalším obdobím a tím před ním. U aritmetické progrese je vždy konstantní nebo stejná. Jedním slovem, pokud je společný rozdíl konstantní v určité posloupnosti, můžeme říci, že se jedná o A.P. Pokud je posloupnost_1,A₂, a₃, a₄, a tak dále.

Jinými slovy, společný rozdíl v aritmetickém postupu je označen d. Rozdíl mezi po sobě jdoucím obdobím a jeho předchozím obdobím. Pro aritmetický postup je vždy konstantní nebo stejný. Jinými slovy, můžeme říci, že v dané posloupnosti, pokud je společný rozdíl konstantní nebo stejný, můžeme říci, že daná posloupnost je v Aritmetická progrese (AP).

Vzorec k nalezení společného rozdílu je,

d = (a _{n + 1} – a _n ) = (a _n – a _n-1 )

• Pokud je společný rozdíl kladný, pak AP se zvyšuje . Například 4, 8, 12, 16… v těchto sériích se AP zvyšuje

• Pokud je společný rozdíl záporný, pak AP klesá . Například -4, -6, -8…, zde AP klesá.

• Pokud je společný rozdíl nula, pak AP bude konstantní . Například 1, 2, 3, 4, 5…, zde je AP konstantní.

Posloupnost aritmetické progrese bude jako a ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Společný rozdíl (d) = A ₂ – a ₁ = d

A ₃ – a ₂ = d

A ₄ – a ₃ = d a tak dále.

První termín aritmetického postupu

Aritmetickou progresi lze zapsat z hlediska společného rozdílu (d) jako:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

kde,

• a je první termín AP
• d je společný rozdíl AP

N. člen aritmetické progrese

N-tý člen lze nalézt pomocí vzorce uvedeného níže,

T _n = a + (n - 1)d

kde,

• a je první termín AP
• d je společný rozdíl
• n je počet termínů
• T_nje n-tý termín

N. člen aritmetické progrese

Poznámka: Chování aritmetické posloupnosti je založeno na hodnotě společného rozdílu.

formátovač řetězců

• Je-li d kladné, členy se zvětší do kladného nekonečna.
• Je-li d záporné, členy členů rostou do záporného nekonečna

Součet aritmetické progrese

Vzorec součtu aritmetického postupu je vysvětleno níže; zvažte AP skládající se z n členů.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Součet aritmetického postupu, když je dán první a poslední termín,

S = n/2 (první termín AP + poslední termín AP)

S = N/2[a+ a _n ]

Vzorec aritmetického postupu (AP vzorce)

Pro AP s prvním výrazem „a“ a společným rozdílem „d“ jsou jeho různé vzorce:

• Společný rozdíl AP: d = a ₂ – a ₁ = a ₃ – a ₂ = a ₄ – a ₃ = … = a _n – a _n-1

• n-té období AP: A _n = a + (n – 1)d

• Součet n podmínek AP: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , kde l je poslední člen aritmetické posloupnosti.

Shrnutí aritmetické progrese

• Aritmetická progrese (AP) je posloupnost čísel, ve které je rozdíl mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími čísly konstantní hodnotou. Například řada čísel: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

• Obecná forma aritmetické posloupnosti je a, a + d, a + 2d, a + 3d …

• Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti je A _n = a + (n – 1)d

• Součet prvních n členů nebo vzorec aritmetického součtu je S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Článek související s aritmetickým postupem:

• Sumační vzorec
• Součet přirozených čísel
• Aritmetická a geometrická progrese

Příklady aritmetického postupu

Příklad 1: Najděte AP, pokud je první člen 15 a společný rozdíl je 4.

Řešení:

Jak víme,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Zde a = 15 a d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, …a tak dále.

Takže AP je 15, 19, 23, 27, 31…

Příklad 2: Najděte 20. člen pro daný AP: 3, 5, 7, 9, …

Řešení:

Dáno, 3, 5, 7, 9, 11……

Tady,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

A_n= a + (n - 1)d

1nf 2nf 3nf

A_dvacet= 3 + (20-1)2

A_dvacet= 3 + 38

A_dvacet= 41

Zde je 20. termín a_dvacet= 41

Příklad 3: Najděte součet prvních 20 násobků 5.

Řešení:

Prvních 20 násobků 5 je 5, 10, 15, … 100.

Zde je jasné, že vytvořená sekvence je aritmetickou posloupností, kde

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

S_n= 1050

Cvičné otázky o aritmetickém postupu

Q1. Součet prvních nn členů aritmetické posloupnosti je dán S _n = 3n ² + 2n. Najděte společný rozdíl a první termín.

Q2. První člen aritmetické posloupnosti je 7 a 11. člen je 31. Najděte součet prvních 11 členů.

Q3. V aritmetickém postupu je součet prvních 10 členů 150 a součet dalších 10 členů je 550. Najděte první člen a společný rozdíl.

Q4. Pokud je 4. člen aritmetické progrese 10 a 9. člen je 25, najděte 15. člen.

příkaz arp-a

Q5. Aritmetická posloupnost má společný rozdíl 5. Pokud je 6. člen 22, najděte první člen a součet prvních 12 členů.

Časté otázky o aritmetickém postupu

Co je aritmetická progrese s příkladem?

Aritmetická progrese je posloupnost čísel, kde dva po sobě jdoucí členy mají společný rozdíl. Například: 3, 6, 9, 12, 15,…

Jak zjistíte součet aritmetické progrese?

K nalezení aritmetického součtu progrese lze použít následující vzorce na základě poskytnutých informací:

S = n/2 (první termín AP + poslední termín AP) = n/2[a+ a _n ]

Jaký je rozdíl mezi aritmetickou progresí a aritmetickou řadou?

Aritmetická progrese je počet sekvencí v libovolném rozsahu, který poskytuje společný rozdíl. Zatímco aritmetická řada/posloupnost je součtem všech členů přítomných v aritmetické posloupnosti.

Jaký je vzorec pro AP a GP?

Vzorec pro AP a GP je:

• AP: A _n = a + (n – 1).d
• GP: A _n = a.r

Jaké je použití aritmetické progrese?

Aritmetická progrese je řada, která dává společný rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími termíny. Používá se v každodenním životě ke zobecnění souboru vzorů. Například při čekání na autobus předpokládejme, že se autobusy pohybují konstantní rychlostí, s pomocí AP můžete zjistit, kdy autobus přijede. AP lze také použít při vytváření struktur podobných pyramidám atd.