TechCodeview

Pokud studujete trig nebo kalkul – nebo se na to chystáte – budete se muset seznámit s jednotkovým kruhem. Jednotkový kruh je základní nástroj používaný k řešení pro sinus, kosinus a tangens úhlu. Ale jak to funguje? A jaké informace potřebujete vědět, abyste je mohli používat?

V tomto článku vysvětlíme, co je jednotkový kruh a proč byste ho měli znát. Dáme vám také tři tipy, které vám pomohou zapamatovat si, jak používat jednotkový kruh.

Hlavní obrázek: Gustavb /Wikimedia

Jednotkový kruh: Základní úvod

Jednotková kružnice je kružnice o poloměru 1. To znamená, že pro jakoukoli přímku vedenou ze středu kruhu do jakéhokoli bodu podél okraje kruhu bude délka této čáry vždy rovna 1. (To také znamená, že průměr kruhu bude roven 2, protože průměr se rovná dvojnásobku délky poloměru.)

Typicky, střed jednotkové kružnice je v místě, kde se protínají osa x a osa y, nebo v souřadnicích (0, 0):

Jednotkový kruh nebo také trigovací kruh, jak je také znám, je užitečné znát, protože umožňuje nám snadno vypočítat kosinus, sinus a tangens libovolného úhlu mezi 0° a 360° (nebo 0 a 2π radiány).

Jak můžete vidět na obrázku výše, nakreslením poloměru v libovolném úhlu (na obrázku označeno ∝) vytvoříte pravoúhlý trojúhelník. Na tomto trojúhelníku je kosinus vodorovná čára a sinus je svislá čára. Jinými slovy, kosinus =x-ová souřadnice a sinus = y-ová souřadnice. (Nejdelší čára trojúhelníku neboli přepona má poloměr, a proto se rovná 1.)

Proč je to všechno důležité? Pamatujte, že délky stran trojúhelníku můžete řešit pomocí Pythagorova věta neboli $a^2+b^2=c^2$ (ve kterém A a b jsou délky stran trojúhelníku a C je délka přepony).

Víme, že kosinus úhlu je roven délce vodorovné přímky, sinus je roven délce svislé přímky a přepona je rovna 1. Proto můžeme říci, že vzorec pro jakýkoli pravoúhlý trojúhelník v jednotkové kružnici je následující:

$$cos^2θ+sin^2θ=1^2$$

Protože ^2=1$, můžeme tuto rovnici zjednodušit takto:

neměnný seznam

$$cos^2θ+sin^2θ=1$$

Buďte si toho vědomi tyto hodnoty mohou být záporné v závislosti na vytvořeném úhlu a na tom, do kterého kvadrantu spadají souřadnice x a y (vysvětlím to podrobněji později).

Zde je přehled všech hlavních úhlů ve stupních a radiánech na jednotkové kružnici:

Jednotkový kruh — stupně

Jednotkový kruh — Radiány

Ale co když žádný trojúhelník nevznikne? Pojďme se podívat co se stane, když je úhel 0° a vytvoří se vodorovná přímka podél osy x:

Na tomto řádku se x-ová souřadnice rovná 1 a y-ová souřadnice 0. Víme, že kosinus se rovná souřadnici x a sinus se rovná souřadnici y, takže můžeme napsat toto:

• $cos0°=1$
• $sin0°=0$

Co když úhel je 90° a tvoří dokonale svislou čáru podél osy y?

Zde vidíme, že x-ová souřadnice se rovná 0 a y-ová souřadnice se rovná 1. To nám dává následující hodnoty pro sinus a kosinus:

• $cos90°=0$
• $sin90°=1$

Tento slogan rozhodně platí, pokud nejste milovníky matematiky.

Proč byste měli znát Unit Circle

Jak je uvedeno výše, jednotkový kruh je užitečný, protože umožňuje nám to snadno řešit pro sinus, kosinus nebo tangens libovolného stupně nebo radiánu. Je zvláště užitečné znát jednotkový kruhový graf, pokud potřebujete vyřešit určité hodnoty trig pro domácí úkol z matematiky nebo pokud se připravujete na studium kalkulu.

Ale jak přesně vám může znalost jednotkového kruhu pomoci? Řekněme, že jste v testu z matematiky dostali následující problém – a jste ne povoleno použít kalkulačku k vyřešení:

$$sin30°$$

kde začít? Podívejme se znovu na jednotkový kruhový graf – tentokrát se všemi hlavními úhly (ve stupních i radiánech) a jejich odpovídajícími souřadnicemi:

Jim.belk /Wikimedia

Nenechte se zahltit! Pamatujte, že vše, za co řešíte, je $sin30°$. Když se podíváme na tento graf, můžeme to vidět y-ová souřadnice se rovná /2$ při 30°. A protože y-ová souřadnice se rovná sinu, naše odpověď je následující:

$$sin30°=1/2$$

Ale co když se objeví problém, který místo stupňů používá radiány? Postup řešení je stále stejný. Řekněme například, že máte problém, který vypadá takto:

$$cos{{3π}/4}$$

Opět pomocí výše uvedeného grafu můžeme vidět, že x-ová souřadnice (nebo kosinus) pro ${3π}/4$ (což se rovná 135°) je $-{√2}/2$. Naše odpověď na tento problém by pak vypadala následovně:

$$cos({3π}/4)=-{√2}/2$$

To vše je docela snadné, pokud máte výše uvedený jednotkový kruhový graf, který můžete použít jako referenci. Ale většinou (pokud ne všichni) tomu tak nebude a bude se od vás očekávat, že na tyto typy matematických otázek budete odpovídat pouze pomocí svého mozku.

Jak si tedy vzpomenout na jednotkový kruh? Přečtěte si naše nejlepší tipy!

Jak si zapamatovat jednotkový kruh: 3 základní tipy

V této části vám nabízíme naše nejlepší tipy, jak si zapamatovat trigovací kruh, abyste jej mohli snadno použít pro jakýkoli matematický problém, který to vyžaduje.

Nedoporučoval bych cvičit jednotkový kruh s post-it, ale, hej, je to začátek.

#1: Zapamatujte si společné úhly a souřadnice

Abyste mohli efektivně používat kruh jednotek, musíte to udělat zapamatovat si nejběžnější úhly (ve stupních i radiánech) a také jejich odpovídající souřadnice x a y.

Výše uvedený diagram je užitečný jednotkový kruhový graf, na který se můžete podívat, protože zahrnuje všechny hlavní úhly ve stupních i radiánech, kromě jejich odpovídajících souřadnicových bodů podél os x a y.

Zde je graf se stejnými informacemi ve formě tabulky:

Nyní, když jste více než vítáni, pokuste se zapamatovat si všechny tyto souřadnice a úhly, je to tak mnoho věcí k zapamatování.

Naštěstí existuje trik, který vám pomůže zapamatovat si nejdůležitější části kruhu jednotek.

Podívejte se na souřadnice výše a všimnete si jasného vzoru: všechny body (kromě těch na 0°, 90°, 270° a 360°) střídejte pouze tři hodnoty (ať už kladné nebo záporné):

• $ 1/2 $
• ${√2}/2$
• ${√3}/2$

Každá hodnota odpovídá krátká, střední nebo dlouhá čára pro kosinus i sinus:

Co tyto délky znamenají:

Krátká horizontální nebo vertikální čára= $ 1/2 $ Střední horizontální nebo vertikální čára= ${√2}/2$ Dlouhá horizontální nebo vertikální čára= ${√3}/2$

Pokud se například pokoušíte vyřešit $cos{π/3}$, měli byste hned vědět, že tento úhel (který se rovná 60°) označuje krátká vodorovná čára na jednotkové kružnici. Proto, jeho odpovídající x-ová souřadnice se musí rovnat /2$ (kladná hodnota, protože $π/3$ vytváří bod v prvním kvadrantu souřadnicového systému).

Nakonec, i když je užitečné zapamatovat si všechny úhly ve výše uvedené tabulce, poznamenejte si to zdaleka nejdůležitější úhly k zapamatování jsou následující:

• 30° / $p/
• 45° / $p/4 $
• 60° / $p/3 $

Zacházejte se svými negativy a pozitivy jako s kabely, které vás při nesprávném zapojení mohou potenciálně zabít.

#2: Naučte se, co je negativní a co pozitivní

Je důležité, abyste byli schopni rozlišit kladné a záporné souřadnice x a y, abyste našli správnou hodnotu pro problém s trigem. Jako připomenutí, v závisí na tom, zda souřadnice na jednotkové kružnici bude kladná nebo záporná do kterého kvadrantu (I, II, III nebo IV) bod spadá:

Zde je graf ukazující, zda bude souřadnice kladná nebo záporná na základě kvadrantu, ve kterém se nachází konkrétní úhel (ve stupních nebo radiánech):

Řekněme například, že jste v matematickém testu dostali následující problém:

$$cos210°$$

Než se to vůbec pokusíte vyřešit, měli byste být schopni rozpoznat, že odpověď bude záporné číslo protože úhel 210° spadá do kvadrantu III (kde jsou souřadnice x vždy negativní).

Nyní pomocí triku, který jsme se naučili v tipu 1, můžete zjistit, že úhel 210° vytváří dlouhá vodorovná čára. Naše odpověď je tedy následující:

$$cos210°=-{√3}/2$$

#3: Vědět, jak řešit tečnu

Nakonec je nezbytné vědět, jak používat všechny tyto informace o trigovém kruhu a sinus a kosinus, abychom mohli vyřešit tečnu úhlu.

Chcete-li v trigu najít tangens úhlu θ (ve stupních nebo radiánech), jednoduše vydělte sinus kosinusem:

$$ anθ={sinθ}/{cosθ}$$

Řekněme například, že se snažíte odpovědět na tento problém:

$$ an300°$$

Prvním krokem je nastavení rovnice z hlediska sinus a kosinus:

$$ an300°={sin300°}/{cos300°}$$

Nyní, abychom vyřešili tečnu, musíme najít sinus a kosinus 300°. Měli byste být schopni rychle rozpoznat, že úhel 300° spadá do čtvrtého kvadrantu, tzn kosinus neboli x-ová souřadnice bude kladná a sinusová neboli y-ová souřadnice bude záporná.

To byste také měli hned vědět vytváří úhel 300° krátká vodorovná čára a dlouhá svislá čára. Proto se kosinus (horizontální čára) bude rovnat /2$ a sinus (svislá čára) se bude rovnat $-{√3}/2$ (záporná hodnota y, protože tento bod je v kvadrantu IV) .

Nyní, abyste našli tečnu, vše, co musíte udělat, je zapojit a vyřešit:

$$ an300°={-{√3}/2}/{1/2} $$

$$ an300°=-√3$$

Je čas procvičit si své matematické dovednosti!

Sada otázek pro kroužek jednotky

Nyní, když víte, jak jednotkový kruh vypadá a jak jej používat, pojďme otestovat, co jste se naučili, pomocí několika praktických problémů.

Otázky

1. $sin45°$
2. $cos240°$
3. $cos{5π}/3$
4. $ an{2π}/3$

Odpovědi

1. ${√2}/2$
2. $-1/2 $
3. $ 1/2 $
4. $-√3 $

Odpověď Vysvětlení

#1: $sin45°$

S tímto problémem byste měli být schopni okamžitě identifikovat dvě informace:

Odpověď bude kladná,protože úhel 45° je v kvadrantu I a sinus úhlu je roven souřadnici y

• Úhel 45° vytváří středně dlouhá svislá čára (pro jejich)

Protože 45° označuje kladnou, středně dlouhou čáru, správná odpověď je ${√2}/2$.

Pokud si nejste jisti, jak to zjistit, nakreslete diagram, který vám pomůže určit, zda bude délka čáry krátká, střední nebo dlouhá.

#2: $cos240°$

Stejně jako u problému č. 1 výše, existují dvě informace, které byste měli být schopni rychle pochopit s tímto problémem:

Odpověď bude záporná,protože úhel 240° je v kvadrantu III a kosinus úhlu je roven souřadnici x

• Úhel 240° vytváří krátká vodorovná čára (pro kosinus)

Protože 240° označuje zápornou krátkou čáru, správná odpověď je $-1/2 $.

#3: $cos{5π}/3$

Na rozdíl od výše uvedených problémů tento problém používá radiány místo stupňů. Ačkoli to může způsobit, že řešení problému bude složitější, ve skutečnosti používá stejné základní kroky jako zbývající dva problémy.

Nejprve byste měli uznat, že úhel ${5π}/3$ je v kvadrantu IV, takže x-ová souřadnice neboli kosinus bude kladné číslo. To byste také měli umět říct${5π}/3$vytváří krátká vodorovná čára.

To vám dává dostatek informací, abyste to mohli určit a odpověď je $ 1/2 $.

#4: $ an{2π}/3$

Tento problém se zabývá tečnou místo sinus nebo kosinus, což znamená, že to bude vyžadovat trochu více matematiky na našem konci. Nejprve si vzpomeňte základní vzorec pro nalezení tečny:

$$ an θ={sin θ}/{cos θ}$$

Nyní si vezměme titul, který jsme dostali – ${2π}/3$-a zapojte to do této rovnice:

$$ an {2π}/3={sin {2π}/3}/{cos {2π}/3}$$

Nyní byste měli být schopni samostatně řešit sinus a kosinus pomocí toho, co jste si zapamatovali o jednotkovém kruhu. Protože úhel ${2π}/3$ je v kvadrantu II, x-ová souřadnice (nebo kosinus) bude záporná a y-ová souřadnice (nebo sinus) kladná.

Dále byste měli být schopni určit na základě samotného úhlu, kterým je vodorovná čára krátká čára, a svislá čára je dlouhá řada. To znamená, že kosinus je roven $-1/2$ a sinus je roven ${√3}/2$.

Nyní, když jsme zjistili tyto hodnoty, vše, co musíme udělat, je zapojit je do naší počáteční rovnice a vyřešit tečnu:

$$ an {2π}/3={{√3}/2}/{-1/2} $$

$$ an {2π}/3=-√3$$

Co bude dál?

Pokud brzy absolvujete SAT nebo ACT, budete potřebovat znát nějaký trig, abyste si vedli dobře v matematické sekci. Podívejte se na naše odborné průvodce spouštěním na SAT a ACT, abyste se naučili přesně to, co budete potřebovat vědět pro testovací den!

Kromě zapamatování jednotkového kruhu, je dobré se naučit, jak vkládat čísla a jak vkládat odpovědi. Přečtěte si naše průvodce, kde se dozvíte vše o těchto dvou užitečných strategiích, které můžete použít v jakémkoli matematickém testu – včetně SAT a ACT!